From 80e1c27924501d4c685efcbbb138bae851bac7e0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 5 Mar 2016 18:34:26 +0100
Subject: Note example of Artin's theorem on automorphisms.

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 notes-accq205.tex | 25 ++++++++++++++++++++++++-
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@@ -1978,7 +1978,7 @@ Terminons cette section par deux résultats dus à Emil Artin :
 
 \begin{thm}\label{artin-theorem-on-automorphisms}
 Soit $L$ un corps et $G$ un groupe \emph{fini} d'automorphismes
-de $L$ : si $K := \Fix(G) := \{x \in L : \forall \sigma\in
+de $L$ : si $K := \Fix_L(G) := \{x \in L : \forall \sigma\in
 G\penalty-100\; (\sigma(x) = x)\}$ est le corps des éléments de $L$
 fixés par tous les éléments de $G$, alors $K \subseteq L$ est une
 extension galoisienne de groupe de Galois $G$ (en particulier, $[L:K]
@@ -2012,6 +2012,29 @@ automorphismes, tous ces nombres sont égaux, et $G = \Gal(K \subseteq
 L)$.
 \end{proof}
 
+\thingy L'intérêt du résultat ci-dessus est de construire des
+extensions galoisiennes d'intérêt géométrique.
+
+Un exemple important est celui de l'action du groupe $\mathfrak{S}_n$
+des permutations des indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur le corps $L =
+k(t_1,\ldots,t_n)$ des fractions rationnelles en $n$ indéterminées sur
+un corps $k$ : si on appelle $K = \Fix_L(\mathfrak{S}_n)$ le corps des
+fractions rationnelles fixes par toutes les permutations des
+indéterminées, alors le théorème \ref{artin-theorem-on-automorphisms}
+assure que $K\subseteq L$ est galoisienne de groupe $\mathfrak{S}_n$
+et en particulier $[L:K] = n!$ ; il est par ailleurs bien connu que
+$K$ est une extension \emph{transcendante pure} de $k$ engendrée par
+les polynômes symétriques élémentaires $e_r := \sum_{i_1<\cdots<i_r}
+t_{i_1} \cdots t_{i_r}$ des $t_i$.  Le degré de n'importe quel $t_i$
+sur $K$ est égal à $n$ car il est racine du polynôme $t^n - e_1
+t^{n-1} + \cdots + (-1)^n e_n \in K[t]$, et on peut se convaincre que
+$t_j$ est alors de degré $n-1$ sur $K(t_i)$ et plus généralement que
+$t_j$ est de degré $n-r$ sur $K(t_{i_1},\ldots,t_{i_r})$ si
+$i_1,\ldots,i_r,j$ sont deux à deux distincts (en effet, les degrés ne
+peuvent pas être plus grands que ça, et ils ne peuvent pas être plus
+petits non plus puisque l'extension $K\subseteq L$ tout entière est de
+degré $n!$).
+
 \begin{thm}\label{linear-independence-of-characters}
 Soit $G$ un groupe ou même simplement un monoïde (=ensemble muni d'une
 opération binaire associative avec un élément unité), noté
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