From 9c49b39a885b9af88ddf2620340f709a40adf075 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 7 Apr 2022 17:15:44 +0200 Subject: Continue writing test. --- controle-20220413.tex | 92 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 91 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/controle-20220413.tex b/controle-20220413.tex index 1d76aa3..dfb7bec 100644 --- a/controle-20220413.tex +++ b/controle-20220413.tex @@ -34,6 +34,7 @@ \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\val}{\operatorname{val}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -236,10 +237,99 @@ automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad que $v(f) = 1$. De plus, on rappelle que pour chaque point $P$ de $C^+$ il existe une unique telle valuation discrète $v =: \ord_P$ vérifiant en outre \textbf{(r)} $v(f) \geq 0$ si $f$ est régulière -en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$) ; et +en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$). Et réciproquement, toute valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$ est de cette forme (est un $\ord_P$ pour un certain $P$). +\smallbreak + +(1) Si $v$ est une valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$, +expliquer pourquoi sa restriction à $k(x)$ vérifie encore les +propriétés (o), (i), (ii) et (k) de la définition d'une valuation +discrète. En déduire qu'elle est de la forme $e\cdot v'$ où $v'$ est +une valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$, et où $e\geq 1$ est +entier. + +\smallbreak + +On rappelle que toute valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$ +est de la forme $\val_{x_0}$ pour $x_0 \in k$ ou bien $\val_\infty$, +où $\val_{x_0}(g)$ est l'ordre d'annulation\footnote{C'est-à-dire que + $\val_{x_0}(g)$ est l'exposant de la plus grande puissance de + $x-x_0$ qui divise $g$ si $g \in k[x]$, et $\val_{x_0}(g/h) = + \val_{x_0}(g) - \val_{x_0}(h)$ en général.} de la fraction +rationnelle $g$ en $x_0$, et $\val_\infty(g)$ est le degré du +dénominateur moins le degré du numérateur. (NB : c'est pour éviter la +confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a écrit +$\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en un +point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une +fonction sur $\mathbb{P}^1$ en un point $Q$ de $\mathbb{P}^1$. Il +s'agit du même type d'objet sur deux courbes différentes.) + +\smallbreak + +(2) Soit $P_i$ le point $(\xi_i,0)$ de $C$ (pour $1\leq i\leq 5$ +fixé). On cherche à calculer $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y)$. Montrer que +$\ord_{P_i}(g) = e\, \val_{\xi_i}(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est +un entier restant à déterminer. En déduire que $\ord_{P_i}(y) = +\frac{e}{2}$. En déduire que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) = +e\,\min(\val_{\xi_i}(g_0),\; \val_{\xi_i}(g_1)+\frac{1}{2})$. En +déduire que $e=2$ exactement, et donc que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) = +\min(2\val_{\xi_i}(g_0),\; 2\val_{\xi_i}(g_1)+1)$. + +\smallbreak + +(3) Soit $\infty$ le point à l'infini de $C^+$ (non situé sur $C$). +On cherche à calculer $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y)$ de façon analogue à +la question précédente. Montrer que $\ord_\infty(g) = e\, +\val_\infty(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est un entier restant à +déterminer (\textit{a priori} sans lien avec celui de la question +précédente). En déduire que $\ord_\infty(y) = -\frac{5e}{2}$. En +déduire que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = e\,\min(\val_\infty(g_0),\; +\val_\infty(g_1)-\frac{5}{2})$. En déduire que $e=2$ exactement, et +donc que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = \min(2\val_\infty(g_0),\; +2\val_\infty(g_1)-5)$. + +\smallbreak + +(4) Soit $Q := (x_Q,y_Q)$ un point de $C$ avec $y_Q \neq 0$ (ou, ce +qui revient au même, $x_Q \not\in \{\xi_1,\ldots,\xi_5\}$) ; on notera +$Q' := (x_Q,-y_Q)$ son symétrique. En quels points de $C^+$ la +fonction $h := x - x_Q$ a-t-elle un zéro ? En utilisant le fait que +$\sum_{Q\in C^+} \ord_Q(h) = 0$, montrer que $\ord_Q(x-x_Q) = +\ord_{Q'}(x-x_Q) = 1$. En déduire que $\ord_Q(g) = \val_{x_Q}(g)$ +pour tout $g \in k(x)$. En déduire que $\ord_Q(y - y_Q) = 1$ (on +pourra remarquer que $y^2 - y_Q^2 = p(x) - p(x_Q)$ et que $p'(x_Q) +\neq 0$). Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ est régulière en +$Q$ et en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra +écrire $g_0 = \frac{1}{2}(f+\tilde f)$ et $g_1 = \frac{1}{2y}(f-\tilde +f)$ où $\tilde f = g_0 - g_1\,y$ est la composée de $f$ par la +symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$). + +\smallbreak + +(5) Pour $n \in \mathbb{N}$, on s'intéresse à l'espace vectoriel +$\mathscr{L}(n[\infty])$ des fonctions rationnelles $f = g_0 + g_1\,y$ +sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $n$ en $\infty$ (c'est-à-dire +$\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs. Montrer que cela +équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$ et +$g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$. En déduire que +la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut +$\max(0,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1) + +\max(0,\lfloor\frac{n-5}{2}\rfloor+1)$ où $\lfloor v\rfloor$ désigne +la partie entière de $v$. En déduire que +\[ +\ell(n[\infty]) = +\left\{ +\begin{array}{ll} +1,1,2&\hbox{~si $n=0,1,2$ respectivement}\\ +n-1&\hbox{~si $n\geq 3$}\\ +\end{array} +\right. +\] +(on pourra par exemple calculer les valeurs pour $n=0,1,2,3,4,5$ +séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair). + % -- cgit v1.2.3