From a39c28c6f9d56b9874b06e13203237dccac73027 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 12 Feb 2016 16:19:35 +0100 Subject: Decomposition field for infinite families of polynomials. --- notes-accq205.tex | 78 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 60 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 18ebf26..aa4d2e3 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -756,6 +756,12 @@ Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque. On appelle $f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient dominant de $f$, et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et que $L = K(x_1,\ldots,x_n)$. + +On définit de même la notion de corps de décomposition sur $K$ d'une +famille $(f_i)$ quelconque de polynômes : il s'agit d'une extension +de $K$ dans laquelle tous les $f_i$ sont complètement décomposés, et +qui est engendrée (en tant que corps, cf. \ref{subfield-generated}) +par l'ensemble de toutes les racines de tous les $f_i$. \end{defn} \begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field} @@ -807,6 +813,52 @@ les racines $x'_1,\ldots,x'_n$ de $f$ dans $L'$, or on a $L = K(x'_1,\ldots,x'_n)$. \end{proof} +On peut obtenir l'existence et l'unicité du corps de décomposition +d'une famille finie de polynômes en appliquant le résultat ci-dessus à +leur produit (puisque visiblement, décomposer complètement +$f_1,\ldots,f_n$ revient à décomposer complètement leur produit +$f_1\cdots f_n$). Le même résultat vaut pour un nombre possiblement +infini de polynômes : +\begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field-infinite-family} +Soit $K$ un corps et $(f_i)$ une famille quelconque d'éléments +de $K[t]$. Alors : (1) Il existe un corps de décomposition des $f_i$ +sur $K$. (2) Si $K \subseteq L$ est un corps de décomposition des +$f_i$ sur $K$, et si $K \subseteq L'$ est une extension dans laquelle +tous les $f_i$ sont complètement décomposés, il existe un morphisme de +corps $L \to L'$ qui soit l'identité sur $K$ ; de plus, (2b) dans les +conditions, si un des $f_i$ est irréductible, et si $x$ et $x'$ sont +une racine de $f_i$ dans $L$ et $L'$ respectivement, on peut de plus +choisir l'isomorphisme pour envoyer $x$ sur $x'$. (3) Si en outre $K +\subseteq L'$ est aussi un corps de décomposition des $f_i$ sur $K$, +tout morphisme comme en (2) est un isomorphisme ; autrement dit : si +$K \subseteq L$ et $K \subseteq L'$ sont deux corps de décomposition +des $f_i$ sur $K$, il existe un morphisme $L \to L'$ qui soit +l'identité sur $K$, et un tel morphisme est un isomorphisme ; +notamment, deux corps de décomposition des $f_i$ sur $K$ sont +isomorphes. +\end{prop} +\begin{proof}[Esquisse de démonstration] +Le (1) se montre comme +\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de +passage à l'infini : pour chaque polynôme $f_i \in K[t]$, on construit +un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs +de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont +algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4). +Le (2) et (2b) se montrent comme +\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2), de nouveau en +passant à l'infini : quitte à supposer que $L$ a été construit comme +on vient de l'indiquer, pour chaque polynôme $f_i \in K[t]$, on +construit un morphisme entre le corps de décomposition de ce polynôme +au-dessus de tous les précédents, et un sous-corps de $L'$, jusqu'à +obtenir un morphisme de $L$ dans $L'$. Pour le (3), il s'agit de +nouveau d'observer que si $L'$ est engendré par toutes les racines de +tous les $f_i$, comme elles sont dans l'image du morphisme, le +morphisme est surjectif.. +\end{proof} + +L'intérêt principal de la proposition qu'on vient de démontrer est de +montrer l'existence et l'unicité de la clôture algébrique : + \begin{defn} Soit $K$ un corps. On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$ @@ -814,7 +866,10 @@ soit complètement décomposé sur $L$. \end{defn} De toute évidence, un corps est algébriquement clos si et seulement si -il est égal à sa propre clôture algébrique. +il est égal à sa propre clôture algébrique. Remarquons également +qu'une cloture algébrique de $K$ est exactement la même chose qu'un +corps de décomposition de \emph{tous} les polynômes à coefficients +dans $K$. \begin{prop}[théorème de Steinitz] Soit $K$ un corps quelconque. Alors il existe une clôture algébrique @@ -823,23 +878,10 @@ de $K$, il existe un isomorphisme entre elles qui soit l'identité sur $K$. Enfin, une clôture algébrique de $K$ est algébriquement close. \end{prop} -\begin{proof}[Esquisse de démonstration] -L'existence se montre comme -\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de -passage à l'infini : pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on construit -un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs -de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont -algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4). -L'unicité se montre comme -\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2), de nouveau en -passant à l'infini : quitte à supposer que $L$ a été construit comme -on vient de l'indiquer, pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on -construit un morphisme entre le corps de décomposition de ce polynôme -au-dessus de tous les précédents, et un sous-corps de $L'$, jusqu'à -obtenir un morphisme de $L$ dans $L'$ (qui est l'identité au-dessus -de $K$), qui est forcément un isomorphisme puisque $L'$ est -algébrique, donc engendré par tous les éléments algébriques au-dessus -de $K$. +\begin{proof} +L'existence et l'unicité résultent de la +proposition \ref{existence-uniqueness-decomposition-field-infinite-family} +appliquée à la famille de tous les polynômes à coefficients dans $K$. Enfin, si $M$ est une clôture algébrique de $L$, qui est lui-même une clôture algébrique de $K$, on voit que $M$ est algébrique sur $K$ -- cgit v1.2.3