From bb80e649862bc664dbdeef21ca6f3b3ba7d102e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 10 Apr 2016 01:17:04 +0200 Subject: The Riemann-Roch theorem. --- notes-accq205.tex | 105 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 102 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 5d2f702..7ca54f8 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3586,7 +3586,9 @@ géométriquement (=absolument) irréductible proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, que dans le corps $K.k^{\alg} = \Frac(k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/(I.k^{\alg}))$, les sous-corps $K$ et -$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$. +$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$. En dimension $1$ on +dira que la courbe associée au corps $K$ est elle-même géométriquement +irréductible. \thingy\label{remark-separating-transcendence-basis-geometrically} Si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier tel @@ -4912,7 +4914,8 @@ principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle \defin[Picard zéro) de la courbe $C$, et est noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). \end{defn} -\thingy À titre d'exemple, calculons le groupe de Picard de la droite +\thingy\label{picard-group-of-the-projective-line} +À titre d'exemple, calculons le groupe de Picard de la droite projective $\mathbb{P}^1_k$ sur un corps $k$. On a vu en \ref{subsection-places-of-the-projective-line} que les places de $\mathbb{P}^1_k$ sont en correspondance avec les polynômes @@ -5018,6 +5021,23 @@ En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe : diminuer $\ell(D)$). \end{proof} +\begin{prop}\label{negative-degree-divisors-have-no-sections} +En notant $D$ un diviseur sur une courbe : +\begin{itemize} +\item Si $\deg D < 0$ alors $\ell(D) = 0$. +\item Si $\deg D = 0$ et $\ell(D) \neq 0$ alors $\ell(D) = [\tilde k : +k]$ et $D \sim 0$. +\end{itemize} +\end{prop} +\begin{proof} +Dire que $\ell(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := +\divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le +degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le +degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim +0$, qui entraîne $\ell(D) = 1$. +\end{proof} + \subsection{Différentielles de Kähler}\label{subsection-kaehler-differentials} @@ -5345,7 +5365,8 @@ dont le coefficient devant chaque place $P$ est l'ordre de $\omega$ en cette place (cf. \ref{definition-order-of-a-differential}). \end{defn} -\thingy À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$ +\thingy\label{canonical-divisor-of-the-projective-line} +À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$ où $t$ est l'indéterminée du corps $k(t)$ des fractions rationnelles, lorsque $k$ est un corps parfait. En $0$, on a $\ord_0(t) = 1$ donc $\ord_0(dt) = 0$. En $\infty$, on a @@ -5378,6 +5399,84 @@ classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par canonique. +\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch} + +\thingy Dans toute cette section, on va à chaque fois supposer la +courbe $C$ \emph{géométriquement} irréductible +(cf. \ref{geometric-irreducibility}, +et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}). Ceci implique +notamment $\tilde k = k$ (on remplace donc par $1$ toutes les +occurrences de la quantité $[\tilde k : k]$). + +\begin{thm}[Riemann-Roch]\label{riemann-roch} +Soit $C$ une courbe géométriquement irréductible sur un corps $k$. Il +existe un entier $g \geq 0$, appelé \defin[genre (d'une + courbe)]{genre} de $C$ tel que pour tout diviseur $D$ on ait, en +notant $W$ un diviseur canonique : +\[ +\ell(D) - \ell(W-D) = \deg D + 1 - g +\] +\end{thm} +\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} + +\begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor} +\begin{itemize} +\item[(A)] Pour $W$ un diviseur canonique sur une courbe $C$ + géométriquement irréductible sur un corps $k$, on a : +\[ +\begin{aligned} +\ell(W) &= g\\ +\deg(W) &= 2g-2\\ +\end{aligned} +\] +\item[(B)] Si $D$ est un diviseur avec $\deg D > 2g-2$, alors $\ell(D) = \deg + D + 1 - g$. +\end{itemize} +\end{cor} +\begin{proof} +Pour la première affirmation, appliquer \ref{riemann-roch} à $D=0$ +donne $1-\ell(W) = 0+1-g$, d'où $\ell(W) = g$ ; puis à $D=W$ donne +$g-1 = \deg W + 1 - g$ d'où $\deg W = 2g-2$. Pour la seconde +affirmation, on utilise +\ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} pour conclure que +$\ell(W-D) = 0$. +\end{proof} + +\thingy S'agissant de la droite projective $\mathbb{P}^1$, il résulte +du calcul fait en \ref{canonical-divisor-of-the-projective-line} que +sa classe canonique est celle de $-2(\infty)$ (on peut tout simplement +dire que c'est $-2$ vu qu'on a vu +en \ref{picard-group-of-the-projective-line} que son groupe de Picard +s'identifie à $\mathbb{Z}$ via le degré des diviseurs). Ce degré $-2$ +nous permet de calculer $g_{\mathbb{P}^1}$ par $2g_{\mathbb{P}^1} - 2 += -2$ soit $g_{\mathbb{P}^1} = 0$. Voici une forme de réciproque : + +\begin{prop} +Soit $C$ une courbe géométriquement intègre de genre $0$ et ayant une +place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}). Alors $C$ est +isomorphe à $\mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire que $k(C)$ est $k(t)$ : la +courbe est \emph{rationnelle}). +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $P$ une place rationnelle. En +appliquant \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) à $(P)$, on trouve +$\ell((P)) = 2$. Il existe donc une fonction $f$ non-constante, +admettant au plus un pôle simple, en $P$ ; comme elle est +non-constante, d'après \ref{constant-functions-on-a-curve}, elle doit +aussi avoir un pôle, donc $\divis(f)$, qui doit être de degré $0$, est +de la forme $(P) - (Q)$. + +On applique encore \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) au diviseur $D +:= (P)-(Q)$ : il montre que $\ell(D) = 1$. +Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D +\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) = +(P) - (Q)$. D'après \ref{degree-identity}, on voit que $\deg f +:=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$ est +transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$ est +le corps des fractions rationnelles en une indéterminée. +\end{proof} + + % -- cgit v1.2.3