From c11514163d2da42eb466ec101533ed965f879319 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sat, 5 Mar 2016 17:46:41 +0100 Subject: Various hopefully intuitive explanations of Galois theory. --- notes-accq205.tex | 78 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 78 insertions(+) diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 04b6544..75404ae 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1894,6 +1894,84 @@ les résultats suivants : \end{itemize} \end{thm} +\thingy La partie la plus importante du résultat ci-dessus est la +suivante : \emph{si un élément de $L$ (séparable et normal sur $K$) + est fixé par le groupe $G$ de tous les $K$-automorphismes de $L$, + alors cet élément appartient à $K$}. Il s'agit donc d'une +généralisation du fait qu'un complexe stable par conjugaison complexe +est réel, et qu'un élément d'un corps fini stable par $\Frob_p \colon +x \mapsto x^p$ appartient à $\mathbb{F}_p$. + +Une des applications de la théorie de Galois est de montrer que +certains objets définis \textit{a priori} sur un « gros » corps $L$ +(par exemple la clôture séparable $K^{\sep}$ de $K$) sont, en fait, +définis sur le « petit » corps $K$. Le slogan général s'énonce sous +la forme +\begin{center} +rationnel = stable par Galois +\end{center} +où « rationnel », dans ce contexte, signifie que l'objet est défini +sur le « petit » corps $K$, et « stable par Galois » signifie que le +groupe de Galois fixe l'objet considéré (pour une certaine action +provenant de l'action naturelle sur $L$ : par exemple, pour un +polynôme, l'action sur les coefficients du polynôme). + +\thingy Le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$ sur un corps +$K$ est le groupe de Galois $G$ du corps de décomposition +(cf. \ref{definition-decomposition-field}) $L$ de $f$ : il s'agit bien +d'une extension galoisienne, et par ailleurs, tout $\sigma \in G$ doit +envoyer une racine de $f$ sur une racine de $f$ (puisque $\sigma(f(x)) += f(\sigma(x))$ vu que $f \in K[t]$), donc permute les racines de $f$, +et en fait $\sigma$ est complètement déterminé par cette permutation +(puisque $L$ est engendré par les racines de $f$, un automorphisme de +$L$ est déterminé par son action sur les racines en question). On +peut donc dire : \emph{le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$ + sur un corps $K$ est le groupe des permutations des racines de $f$ + qui définissent un automorphisme du corps de décomposition}. + +On peut montrer que la formulation suivante, peut-être plus intuitive, +est encore équivalente : le groupe de Galois de $f$ (séparable +sur $K$) est le groupe de toutes les permutations $\sigma$ des racines +$x_1,\ldots,x_n$ de $f$ (dans son corps de décomposition sur $K$) +telles que si $h(t_1,\ldots,t_n) \in K[t_1,\ldots,t_n]$ est une +quelconque « relation algébrique » entre les racines définie sur $K$, +autrement dit, vérifie $h(x_1,\ldots,x_n) = 0$, alors on a encore +$h(\sigma(x_1),\ldots,\sigma(x_n)) = 0$. + +Une telle permutation doit certainement préserver la décomposition de +$f$ en facteurs irréductibles sur $K$ (i.e., envoyer une racine d'un +facteur irréductible sur une racine du même), et d'après +\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b) il opère +\emph{transitivement} sur les racines de n'importe quel facteur +irréductible, mais il n'est pas forcément évident de comprendre en +quoi toute permutation n'est pas forcément possible au sein des +racines d'un même polynôme irréductible, et il n'est pas non plus +évident de \emph{calculer} effectivement un groupe de Galois. + +\thingy Dans beaucoup de cas, le groupe de Galois d'un polynôme $f \in +K[t]$ irréductible séparable de degré $n$ est égal au groupe +$\mathfrak{S}_n$ de toutes les permutations des racines de $f$ (ceci +se produit, bien sûr, exactement quand le corps de décomposition +de $f$ a pour degré $n!$ sur $K$). + +Un exemple où ceci se produit est le polynôme $t^3 - 2$ +sur $\mathbb{Q}$ dont le corps de décomposition est +$\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[3]{2})$ (où $\zeta$ est racine primitive +cubique de l'unité) qui a degré $6$ sur $\mathbb{Q}$ : toutes les +permutations des racines $\sqrt[3]{2},\zeta\sqrt[3]{2},\zeta^2 +\sqrt[3]{2}$ est possible (i.e., définit un automorphisme du corps de +décomposition). + +Un exemple où ceci \emph{ne} se produit \emph{pas} est le polynôme +$t^4 + t^3 + t^2 + t + 1$ sur $\mathbb{Q}$ dont les racines sont les +racines primitives cinquièmes de l'unité : ici le corps de +décomposition est égal au corps de rupture car dès qu'on a une racine +$\zeta$ les autres sont de la forme $\zeta^i$ — cette même remarque +prouve qu'un élément du groupe de Galois est déterminé par l'image de +la seule racine $\zeta$, et on peut se convaincre que le groupe est +exactement $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times \cong +\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. + \bigbreak Terminons cette section par deux résultats dus à Emil Artin : -- cgit v1.2.3