From d3244774a361cb5fad9638de1cb908cd12082c5c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 5 Apr 2022 20:22:12 +0200
Subject: Start writing test for 2022.

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 controle-20220413.tex | 155 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 155 insertions(+)
 create mode 100644 controle-20220413.tex

diff --git a/controle-20220413.tex b/controle-20220413.tex
new file mode 100644
index 0000000..da108d6
--- /dev/null
+++ b/controle-20220413.tex
@@ -0,0 +1,155 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\else
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\fi
+\author{}
+\date{14 avril 2021}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
+dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
+très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+
+La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé est long parce
+que des rappels ont été faits et que la rédaction des questions
+cherche à éviter toute ambiguïté.  Les réponses attendues sont
+généralement beaucoup plus courtes que les questions elles-mêmes.
+
+La difficulté des questions étant varié, il vaut mieux ne pas rester
+bloqué trop longtemps.
+
+Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut
+valoir une partie des points.
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des appareils électroniques est interdit.
+
+\medbreak
+
+Durée : 2h
+
+\ifcorrige
+Ce corrigé comporte 9 pages (page de garde incluse).
+\else
+Cet énoncé comporte 4 pages (page de garde incluse).
+\fi
+
+\vfill
+{\noindent\tiny
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$.  Soit $C$ le fermé de
+Zariski de $\mathbb{A}^2$ sur $k$ d'équation $x^2 + y^2 = 2$ (ainsi,
+pour $k = \mathbb{R}$, les points réels de $C$ forment un cercle
+euclidien de rayon $\sqrt{2}$).
+
+(1) Décrire la complétée projective $C^+$ de $C$ (c'est-à-dire
+l'adhérence de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ où on identifie comme
+d'habitude $\mathbb{A}^2$ à l'ouvert $T\neq 0$ du $\mathbb{P}^2$ de
+coordonnées $(T:X:Y)$ en envoyant $(x,y)$ sur $(1:x:y)$).
+
+(2) En remarquant que $P := (1,1)$ est un $k$-point de $C$ et en
+considérant une droite $D_t$ de pente $t$ variable passant par $P$,
+construire un morphisme d'un ouvert\footnote{C'est-à-dire qu'il peut
+  admettre un nombre fini de points (géométriques) où il n'est pas
+  défini.} de $\mathbb{A}^1$ vers $C$ (défini sur $k$), en envoyant
+$t$ sur le point d'intersection autre que $P$ de $C$ avec la
+droite $D_t$.
+
+(3) En déduire un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ (défini sur $k$) en
+prolongeant le morphisme de la question précédente.
+
+(4) Donner un exemple de solution entière $(u,v,w) \in \mathbb{Z}^3$
+de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm
+1, \pm 1)$.
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3