From 1540a402fd5d3709958c7825cb1cf7e311fd2682 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 15 Apr 2016 10:18:25 +0200 Subject: Start writing exam questions for 2015-2016. --- controle-20160421.tex | 120 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 120 insertions(+) create mode 100644 controle-20160421.tex diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex new file mode 100644 index 0000000..9244928 --- /dev/null +++ b/controle-20160421.tex @@ -0,0 +1,120 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +%\usepackage{hyperref} +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} +\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} +\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} +\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} +\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} +\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} +\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} +\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{21 avril 2016} +\maketitle + +%% {\footnotesize +%% \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +%% \begin{center} +%% Git: \input{vcline.tex} +%% \end{center} +%% \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +%% \par} + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être +traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître +de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. + +Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des calculatrices électroniques est interdit. + +Durée : 3h + +\pagebreak + + +% +% +% + + + +% +% +% +\end{document} -- cgit v1.2.3 From 695af75b31b535fa5a0192e0553927f348ce3abc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 15 Apr 2016 15:33:21 +0200 Subject: First exercise of exam. --- controle-20160421.tex | 145 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 141 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index 9244928..e23dad4 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -15,11 +15,15 @@ \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % +\usepackage{xr-hyper} +% \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} -%\usepackage{hyperref} +\usepackage{hyperref} +% +\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} @@ -92,9 +96,10 @@ \noindent\textbf{Consignes.} -Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être -traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître -de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. +Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire +est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais +on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies +où commence chaque exercice. Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. @@ -112,6 +117,138 @@ Durée : 3h % % +\exercice + +Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère +$f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes} +de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées +$t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de +degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses +monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de +l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un +zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à +$f_1,\ldots,f_m$. On suppose donc par l'absurde que l'ensemble +$Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à +$\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$. + +(1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de +degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$ +engendré par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. On pourra +pour cela observer que chaque $t_i$ s'annule sur $Z(f_1,\ldots,f_m)$ +et chercher à en conclure qu'une puissance de $t_i$ appartient à $I$. + +\begin{corrige} +L'hypothèse faite est que le fermé de Zariski $Z(I)$ défini par +$f_1=\ldots=f_m=0$ est le même que celui défini par +$t_1=\ldots=t_n=0$, notamment, chaque $t_i$ s'annule sur $Z(I)$ (soit +$t_i \in \mathfrak{I}(Z(I))$). Le Nullstellensatz fort +(\ref{strong-nullstellensatz}) permet de conclure que pour chaque $i$ +il existe $r_i$ tel que $t_i^{r_i}$ appartienne à l'idéal $I$ engendré +par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. Si on appelle $r$ la +somme des $r_i$ alors tout monôme de degré total au moins $r$ comporte +nécessairement un facteur $t_i^{r_i}$ pour un certain $i$, et +appartient donc à $I$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en +$t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m +f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg +q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra +pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total. + +\begin{corrige} +La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total +$\geq r$ en les $t_i$ il existe $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ +tels que $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$. Observons à présent qu'en +remplaçant $h_j$ par sa composante homogène de degré total $\deg q - +d_j$, c'est-à-dire la somme des monômes ayant ce degré total (ou zéro +si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et +que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total +$\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en +effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans +cette égalité). +\end{corrige} + +\smallbreak + +Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de +$k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$. + +(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$ +de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme +combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de +degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant +des monômes chacun de degré $< r$. + +\begin{corrige} +En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total +$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue +en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme +$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de +degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui. + +En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq +r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit +qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand +degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire +décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à +$r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes +chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. +\end{corrige} + +\smallbreak + +Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à +l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension +$k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée +par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. + +(4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de +$k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des +combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un +$K$-espace vectoriel de dimension finie. Conclure que +$K[t_1,\ldots,t_n]$ est un corps, qu'il coïncide avec +$k(t_1,\ldots,t_n)$, donc que ce dernier est un $K$-espace vectoriel +de dimension finie. + +\begin{corrige} +On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme +combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison +dans $K$, des monômes de degré $ Date: Sat, 16 Apr 2016 16:24:12 +0200 Subject: Simplify exam questions slightly (remove useless definition). --- controle-20160421.tex | 27 +++++++++++---------------- 1 file changed, 11 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index e23dad4..ae93c7d 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -173,12 +173,12 @@ cette égalité). \smallbreak -Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de -$k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$. +Soit $K = k(f_1,\ldots,f_m)$ le sous-corps de $k(t_1,\ldots,t_n)$ +engendré par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. (3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$ de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme -combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de +combinaison $K$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant des monômes chacun de degré $< r$. @@ -186,25 +186,20 @@ des monômes chacun de degré $< r$. En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total $\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme -$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de +$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui. En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand -degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire +degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à -$r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes +$r$), on finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. \end{corrige} \smallbreak -Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à -l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension -$k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée -par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. - (4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un @@ -215,11 +210,11 @@ de dimension finie. \begin{corrige} On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme -combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison -dans $K$, des monômes de degré $ Date: Sat, 16 Apr 2016 19:19:15 +0200 Subject: New exercise for exam: Tsen's theorem. --- controle-20160421.tex | 258 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 253 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index ae93c7d..9da37a6 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -46,6 +46,7 @@ \newcommand{\divis}{\operatorname{div}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\norm}{\operatorname{N}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -117,7 +118,7 @@ Durée : 3h % % -\exercice +\exercice\label{basic-dimension-fact} Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes} @@ -126,10 +127,11 @@ $t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un -zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à -$f_1,\ldots,f_m$. On suppose donc par l'absurde que l'ensemble -$Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à -$\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$. +zéro commun non-trivial à $f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution +de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans $k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$). On +suppose donc par l'absurde que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des +zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on +va montrer $n \leq m$. (1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$ @@ -245,6 +247,252 @@ donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$. On a bien prouvé $n \end{corrige} +% +% +% + +\exercice + +Cet exercice utilise le résultat de +l'exercice \ref{basic-dimension-fact} : il \emph{n'est pas nécessaire} +d'avoir traité l'exercice en question, seulement d'avoir pris +connaissance de sa conclusion, formulée dans le premier paragraphe de +son énoncé. + +Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, et soit $K$ un corps de +fonctions de courbe sur $k$ (c'est-à-dire, une extension finie du +corps $k(z)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $z$). + +On considère $f \in K[t_1,\ldots,t_n]$ un polynôme \emph{homogène} en +les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0 +< d < n$. Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe dans $K^n$ +un zéro non-trivial à $f$ (c'est-à-dire une solution de +$f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ différente de $(0,\ldots,0)$). + +\smallbreak + +(1) \emph{Dans un premier temps,} on suppose que $K = k(z)$ est le +corps des fractions rationnelles en une indéterminée $z$, et on +suppose de plus que $f$, \textit{a priori} dans +$k(z)[t_1,\ldots,t_n]$, est en fait dans $k[z,t_1,\ldots,t_n]$ (et +toujours de degré $0 0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, +on peut conclure à l'existence d'un zéro commun non-trivial à +$f_1,\ldots,f_m$ dans $K^n$ sous une certaine hypothèse sur +$d_1,\ldots,d_m$. Sans réécrire les démonstrations, indiquer quelle +serait cette condition. + +\begin{corrige} +Si on reprend les questions précédentes avec maintenant $m$ polynômes, +dans la question (1), on obtiendra maintenant un système de +$\sum_{j=1}^m (N d_j + \delta + 1) = N(d_1+\cdots+d_m) + m\delta + m$ +équations en $n(N+1)$ variables, qui a donc une solution pour $N$ +grand lorsque $d_1 + \cdots + d_m < n$. Les arguments des questions +(2) et (4) ne sont essentiellement pas modifiés, et on arrive à la +conclusion que : + +Si $K$ est le corps des fonctions d'une courbe sur un corps $k$ +algébriquement clos et si $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ sont +des polynômes homogènes de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > +0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, qui vérifient +$d_1+\cdots+d_m < n$, alors $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun +non-trivial dans $K^n$. [Théorème de Tsen.] +\end{corrige} + + % % -- cgit v1.2.3 From 681be0036aced272dd324ef97dbf39328fb89b0c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 17 Apr 2016 16:08:34 +0200 Subject: Add another exercise to exam. --- controle-20160421.tex | 32 ++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 32 insertions(+) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index 9da37a6..16bd62f 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -114,6 +114,38 @@ Durée : 3h \pagebreak +% +% +% + +\exercice + +Soit $K$ un corps de fonctions sur un corps $k$ (c'est-à-dire, une +extension de type fini de $k$ de degré de transcendance $1$), soit $P$ +une place de $K$ au-dessus de $k$ (dont on pourra noter $v$ +ou $\ord_P$ la valuation), et soit $z$ une uniformizante en $P$ +(autrement dit, $v(z) = 1$). Soit enfin $d \geq 2$ un entier naturel. + +En raisonnant sur la valuation des $x_i$, montrer qu'il n'existe pas +de solution autre que $(0,\ldots,0)$ à l'équation $x_0^d + z x_1^d + +z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (homogène de degré $d$ en +$d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$ dans $K$). + +\begin{corrige} +On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un +multiple de $d$. Par conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est +congru à $i$ modulo $d$. Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z +x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que +deux termes aient la même valuation (puisqu'elles sont congrues à des +valeurs différentes modulo $d$) sauf si cette valuation est $\infty$, +c'est-à-dire que les termes sont nuls. Donc dès lors que tous les +termes ne sont pas nuls, il y en a un qui a une valuation +\emph{strictement} plus petite que tous les autres. +D'après \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}, la somme ne peut pas +être nulle, ce qui prouve le résultat voulu. +\end{corrige} + + % % % -- cgit v1.2.3 From b20ffa4ce1e7df3c6fde5b51a796ed4baffdd1fa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 17 Apr 2016 17:29:22 +0200 Subject: An exercise on the curve y^2 = x^5 - 1. --- controle-20160421.tex | 102 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 102 insertions(+) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index 16bd62f..bd069f6 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -525,6 +525,108 @@ non-trivial dans $K^n$. [Théorème de Tsen.] \end{corrige} +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2,3,5$. On +considère la courbe $C$ plane sur $k$ d'équation $y^2 = x^5 - 1$. On +admettra sans vérification que le polynôme $h := y^2 - x^5 + 1 \in +k[x,y]$ est géométriquement irréductible, et on posera $K := k(C) = +k(x)[y]/(h)$. + +(1) Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, montrer qu'on a +$w(x)<0$ si et seulement si $w(y)<0$. Exprimer le rapport entre +$w(y)$ et $w(x)$ lorsque c'est le cas. + +\begin{corrige} +Si $w(x)<0$ alors $w(x^5 - 1) = 5 w(x)$ (puisque $w(x^5) < w(1)$), +autrement dit $w(y^2) = 5 w(x)$, d'où on déduit $w(y) = \frac{5}{2} +w(x) < 0$. Réciproquement, si $w(x) \geq 0$ alors $w(x^5 - 1) \geq +0$, autrement dit $w(y^2) \geq 0$, d'où on déduit $w(y) \geq 0$. On a +bien montré l'équivalence entre $w(x)<0$ et $w(y)<0$ et, de plus, +$w(y) = \frac{5}{2} w(x)$ lorsque ces propriétés sont vérifiées. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2) Rappeler pourquoi tout élément de $K$ s'écrit de façon unique sous +la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$. + +\begin{corrige} +Le corps $K$ est le corps de rupture de $h := y^2 - x^5 + 1$ sur le +corps $k(x)$ des fractions rationnelles en l'indéterminée $x$. Tout +élément de $K = k(x)[y]/(h)$ est donc représenté de façon unique sous +la forme d'un polynôme de degré $<2$ en $y$, à savoir le reste de la +division euclidienne par $h$ (dans $k(x)[y]$) de n'importe quel +représentant, ce qui est bien la forme demandée. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(3) En déduire qu'il existe au plus une valuation $w$ de $K$ au-dessus +de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la restriction de +$w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante près, la valuation +$v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$ est complètement +déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce que vaut cette +quantité). Montrer qu'il existe effectivement une telle valuation. + +\begin{corrige} +La restriction de $w$ à $k(x)$ vérifie les propriétés (o), (i) et (ii) +de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} qui définissent une +valuation : c'est donc \emph{à multiplication près par un entier + $e\geq 1$} une valuation sur $k(x)$, au-dessus de $k$ ; et puisque +$w(x) < 0$, cette valuation est la valuation à l'infini. Autrement +dit, en notant $w(x) = -e$, on a $w(f_0) = e\,v_\infty(f_0)$ pour +tout $f_0 \in k(x)$. Mais on sait aussi que $w(y) = \frac{5}{2} w(x) += -\frac{5}{2} e$, donc dans une forme $f_0 + f_1 y$, le premier terme +a une valuation multiple de $e$ et le second en a une qui vaut +$-\frac{5}{2}e$ plus un multiple de $e$, et notamment les deux termes +sont forcément de valuations \emph{différentes} : ainsi, $w(f_0 + f_1 +y)$ est complètement déterminé par la donnée de $e$, à savoir $e\, +\min(v_\infty(f_0), v_\infty(f_1) - \frac{5}{2})$. Mais puisque +l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de +normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et +$w(y) = -5$. + +Il existe forcément une telle valuation, car $x$ n'est pas constant +(il est transcendant sur $k$), donc il a un pôle, ce qui signifie +exactement qu'il existe une place $w$ comme on vient de le décrire. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(4) On note $M$ la place de $C$ qui a été trouvée (c'est-à-dire que $w += \ord_M$ est l'unique valuation de $K$ au-dessus de $k$ pour laquelle +$w(x) < 0$). Montrer que pour tout $r \in \mathbb{N}$ les fonctions +$1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans l'espace de +Riemann-Roch $\mathscr{L}(2r(M))$ et sont linéairement indépendants +sur $k$. En déduire un minorant de $\ell(2r(M))$. En prenant $r$ +grand, en déduire un majorant sur le genre $g$ de $C$. + +\begin{corrige} +On vient de voir que $\ord_M(x) = -2$ et $\ord_M(y) = -5$. Par +conséquent, $\ord_M(x^i) = -2i$ et $\ord_M(x^i y) = -5-2i$. Ces +quantités sont $\geq -2r$ lorsque respectivement $i\leq r$ et $i\leq +r-\frac{5}{2}$ (c'est-à-dire en fait $i \leq r-3$ puisque $i,r$ sont +entiers). On a bien montré que $1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 +y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans $\mathscr{L}(2r(M))$. Ils sont +linéairement indépendants sur $k$ car d'une part les puissances +de $x$, qui sont dans $k(x)$, sont linéairement indépendantes sur $k$, +et d'autre part $1$ et $y$ sont linéairement indépendants sur $k(x)$ +(cf. question (2)). Bref, on a trouvé $(r+1) + (r-2) = 2r-1$ éléments +$k$-linéairement indépendants dans $\mathscr{L}(2r(M))$, donc +$\ell(2r(M)) \geq 2r-1$. + +Or on sait par \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) que si $r$ est +assez grand (à savoir $2r > 2g - 2$ mais peu importe), on a +$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$. On en déduit $1 - g \geq -1$, +c'est-à-dire $g \leq 2$. +\end{corrige} + + % % -- cgit v1.2.3 From 12def522ce4870c88efffef46241f0f4256825ec Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 17 Apr 2016 17:42:06 +0200 Subject: Change indications slightly. --- controle-20160421.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 29 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index bd069f6..e986735 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -102,15 +102,28 @@ est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. -Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. +La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les questions ont été +formulées de manière à rappeler le contexte et certaines notions du +cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes +que les questions. + +\medbreak L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. L'usage des calculatrices électroniques est interdit. +\medbreak + Durée : 3h +\medbreak + +Barème indicatif : chaque question a approximativement la même valeur. +Il ne sera pas nécessaire de tout traiter pour avoir le maximum des +points. + \pagebreak @@ -118,7 +131,7 @@ Durée : 3h % % -\exercice +\exercice\label{equation-with-no-solutions} Soit $K$ un corps de fonctions sur un corps $k$ (c'est-à-dire, une extension de type fini de $k$ de degré de transcendance $1$), soit $P$ @@ -283,7 +296,7 @@ donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$. On a bien prouvé $n % % -\exercice +\exercice\label{tsens-theorem} Cet exercice utilise le résultat de l'exercice \ref{basic-dimension-fact} : il \emph{n'est pas nécessaire} @@ -521,7 +534,12 @@ algébriquement clos et si $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ sont des polynômes homogènes de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, qui vérifient $d_1+\cdots+d_m < n$, alors $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun -non-trivial dans $K^n$. [Théorème de Tsen.] +non-trivial dans $K^n$. + +(Ce résultat s'appelle le théorème de Tsen. On pourra remarquer que +l'exercice \ref{equation-with-no-solutions} montre que l'inégalité est +optimale sur n'importe quel corps, puisqu'on y a trouvé un polynôme +homogène de degré $d$ en $n=d$ varaibles sans zéro non-trivial.) \end{corrige} @@ -539,7 +557,7 @@ k(x)[y]/(h)$. (1) Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, montrer qu'on a $w(x)<0$ si et seulement si $w(y)<0$. Exprimer le rapport entre -$w(y)$ et $w(x)$ lorsque c'est le cas. +$w(y)$ et $w(x)$ si c'est le cas. \begin{corrige} Si $w(x)<0$ alors $w(x^5 - 1) = 5 w(x)$ (puisque $w(x^5) < w(1)$), @@ -566,12 +584,12 @@ représentant, ce qui est bien la forme demandée. \smallbreak -(3) En déduire qu'il existe au plus une valuation $w$ de $K$ au-dessus -de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la restriction de -$w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante près, la valuation -$v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$ est complètement -déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce que vaut cette -quantité). Montrer qu'il existe effectivement une telle valuation. +(3) En déduire qu'il existe une et une seule valuation $w$ de $K$ +au-dessus de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la +restriction de $w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante +près, la valuation $v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$ +est complètement déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce +qu'elle vaut). \begin{corrige} La restriction de $w$ à $k(x)$ vérifie les propriétés (o), (i) et (ii) -- cgit v1.2.3 From ea4999e897bb3469d878f7af1d595b7bf3c90ec1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 17 Apr 2016 18:32:22 +0200 Subject: Re-read exam questions. --- controle-20160421.tex | 161 ++++++++++++++++++++++++++++---------------------- 1 file changed, 90 insertions(+), 71 deletions(-) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index e986735..935ca0e 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -74,9 +74,9 @@ % \begin{document} \ifcorrige -\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} \else -\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} \date{21 avril 2016} @@ -102,8 +102,8 @@ est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. -La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les questions ont été -formulées de manière à rappeler le contexte et certaines notions du +La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les exercices ont été +formulés de manière à rappeler le contexte et certaines notions du cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes que les questions. @@ -124,6 +124,14 @@ Barème indicatif : chaque question a approximativement la même valeur. Il ne sera pas nécessaire de tout traiter pour avoir le maximum des points. +\medbreak + +On rappelle qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_n]$ est dit +« homogène de degré $d$ » lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de +chacun des monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ qui apparaissent +dans $f$ est égal à $d$. Le produit de deux polynômes homogènes de +degrés $d,d'$ est évidemment homogène de degré $d+d'$. + \pagebreak @@ -141,8 +149,8 @@ ou $\ord_P$ la valuation), et soit $z$ une uniformizante en $P$ En raisonnant sur la valuation des $x_i$, montrer qu'il n'existe pas de solution autre que $(0,\ldots,0)$ à l'équation $x_0^d + z x_1^d + -z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (homogène de degré $d$ en -$d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$ dans $K$). +z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (algébrique homogène de +degré $d$ en $d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$) dans $K$. \begin{corrige} On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un @@ -168,15 +176,13 @@ D'après \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}, la somme ne peut pas Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes} de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées -$t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de -degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses -monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de -l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un -zéro commun non-trivial à $f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution -de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans $k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$). On -suppose donc par l'absurde que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des -zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on -va montrer $n \leq m$. +$t_1,\ldots,t_n$. Le but de l'exercice est de montrer que si $n>m$ +alors il existe dans $k^n$ un zéro commun non-trivial à +$f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans +$k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$). On suppose donc par l'absurde +que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à +$f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n +\leq m$. (1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$ @@ -202,8 +208,8 @@ appartient donc à $I$. (2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg -q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra -pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total. +q - d_j$ (ou bien nuls, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra +pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total dans $h_j$. \begin{corrige} La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total @@ -215,7 +221,7 @@ si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total $\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans -cette égalité). +cette égalité, et on a retiré tous ceux d'un autre degré). \end{corrige} \smallbreak @@ -223,26 +229,36 @@ cette égalité). Soit $K = k(f_1,\ldots,f_m)$ le sous-corps de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendré par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. -(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$ -de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme -combinaison $K$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de -degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant -des monômes chacun de degré $< r$. +(3) Déduire du (2) que tout polynôme $q$ de degré total $s \geq r$ en +$t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme combinaison $K$-linéaire de monômes en +$t_1,\ldots,t_n$ chacun de degré total $< s$. En déduire la même +conclusion avec maintenant des monômes chacun de degré $< r$. \begin{corrige} -En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total -$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue -en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme -$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de -degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui. - -En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq -r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit -qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand -degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire -décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à -$r$), on finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes -chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. +Soit $q$ un monôme de degré total $\deg q \geq r$. En décomposant +chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total $\deg q - d_j$, +l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue en (2) signifie que +le monôme $q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des +monômes de degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que +lui. + +Si maintenant $q$ est un polynôme de degré total $s \geq r$, chacun de +ses monômes est soit déjà de degré $ 2g - 2$ mais peu importe), on a -$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$. On en déduit $1 - g \geq -1$, +$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$. On en déduit $2r + 1 - g \geq 2r-1$, c'est-à-dire $g \leq 2$. \end{corrige} -- cgit v1.2.3