From 695af75b31b535fa5a0192e0553927f348ce3abc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 15 Apr 2016 15:33:21 +0200 Subject: First exercise of exam. --- controle-20160421.tex | 145 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 141 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'controle-20160421.tex') diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index 9244928..e23dad4 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -15,11 +15,15 @@ \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % +\usepackage{xr-hyper} +% \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} -%\usepackage{hyperref} +\usepackage{hyperref} +% +\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} @@ -92,9 +96,10 @@ \noindent\textbf{Consignes.} -Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être -traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître -de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. +Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire +est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais +on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies +où commence chaque exercice. Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. @@ -112,6 +117,138 @@ Durée : 3h % % +\exercice + +Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère +$f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes} +de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées +$t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de +degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses +monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de +l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un +zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à +$f_1,\ldots,f_m$. On suppose donc par l'absurde que l'ensemble +$Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à +$\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$. + +(1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de +degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$ +engendré par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. On pourra +pour cela observer que chaque $t_i$ s'annule sur $Z(f_1,\ldots,f_m)$ +et chercher à en conclure qu'une puissance de $t_i$ appartient à $I$. + +\begin{corrige} +L'hypothèse faite est que le fermé de Zariski $Z(I)$ défini par +$f_1=\ldots=f_m=0$ est le même que celui défini par +$t_1=\ldots=t_n=0$, notamment, chaque $t_i$ s'annule sur $Z(I)$ (soit +$t_i \in \mathfrak{I}(Z(I))$). Le Nullstellensatz fort +(\ref{strong-nullstellensatz}) permet de conclure que pour chaque $i$ +il existe $r_i$ tel que $t_i^{r_i}$ appartienne à l'idéal $I$ engendré +par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. Si on appelle $r$ la +somme des $r_i$ alors tout monôme de degré total au moins $r$ comporte +nécessairement un facteur $t_i^{r_i}$ pour un certain $i$, et +appartient donc à $I$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en +$t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m +f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg +q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra +pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total. + +\begin{corrige} +La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total +$\geq r$ en les $t_i$ il existe $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ +tels que $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$. Observons à présent qu'en +remplaçant $h_j$ par sa composante homogène de degré total $\deg q - +d_j$, c'est-à-dire la somme des monômes ayant ce degré total (ou zéro +si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et +que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total +$\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en +effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans +cette égalité). +\end{corrige} + +\smallbreak + +Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de +$k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$. + +(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$ +de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme +combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de +degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant +des monômes chacun de degré $< r$. + +\begin{corrige} +En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total +$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue +en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme +$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de +degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui. + +En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq +r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit +qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand +degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire +décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à +$r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes +chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. +\end{corrige} + +\smallbreak + +Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à +l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension +$k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée +par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. + +(4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de +$k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des +combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un +$K$-espace vectoriel de dimension finie. Conclure que +$K[t_1,\ldots,t_n]$ est un corps, qu'il coïncide avec +$k(t_1,\ldots,t_n)$, donc que ce dernier est un $K$-espace vectoriel +de dimension finie. + +\begin{corrige} +On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme +combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison +dans $K$, des monômes de degré $