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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 16 Apr 2016 19:19:15 +0200
Subject: New exercise for exam: Tsen's theorem.

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 controle-20160421.tex | 258 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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+++ b/controle-20160421.tex
@@ -46,6 +46,7 @@
 \newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
 \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
 \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\norm}{\operatorname{N}}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
@@ -117,7 +118,7 @@ Durée : 3h
 %
 %
 
-\exercice
+\exercice\label{basic-dimension-fact}
 
 Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}.  On considère
 $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes}
@@ -126,10 +127,11 @@ $t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de
 degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses
 monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$).  Le but de
 l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un
-zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à
-$f_1,\ldots,f_m$.  On suppose donc par l'absurde que l'ensemble
-$Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à
-$\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$.
+zéro commun non-trivial à $f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution
+de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans $k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$).  On
+suppose donc par l'absurde que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des
+zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on
+va montrer $n \leq m$.
 
 (1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de
 degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$
@@ -245,6 +247,252 @@ donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$.  On a bien prouvé $n
 \end{corrige}
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Cet exercice utilise le résultat de
+l'exercice \ref{basic-dimension-fact} : il \emph{n'est pas nécessaire}
+d'avoir traité l'exercice en question, seulement d'avoir pris
+connaissance de sa conclusion, formulée dans le premier paragraphe de
+son énoncé.
+
+Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, et soit $K$ un corps de
+fonctions de courbe sur $k$ (c'est-à-dire, une extension finie du
+corps $k(z)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $z$).
+
+On considère $f \in K[t_1,\ldots,t_n]$ un polynôme \emph{homogène} en
+les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0
+< d < n$.  Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe dans $K^n$
+un zéro non-trivial à $f$ (c'est-à-dire une solution de
+$f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ différente de $(0,\ldots,0)$).
+
+\smallbreak
+
+(1) \emph{Dans un premier temps,} on suppose que $K = k(z)$ est le
+corps des fractions rationnelles en une indéterminée $z$, et on
+suppose de plus que $f$, \textit{a priori} dans
+$k(z)[t_1,\ldots,t_n]$, est en fait dans $k[z,t_1,\ldots,t_n]$ (et
+toujours de degré $0<d<n$ en $t_1,\ldots,t_n$).  On cherche une
+solution $(x_1,\ldots,x_n)$ de $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$, où les $x_i$
+soient dans $k[z]$ (et non tous nuls).  On va écrire $x_i =
+\sum_{j=0}^N c_{i,j} z^j$ où les $c_{i,j} \in k$ sont des coefficients
+indéterminés et où $N$ est un entier.  Expliquer pourquoi la condition
+$f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ recherchée se traduit sous la forme d'un
+système d'équations algébriques en les $c_{i,j}$, toutes homogènes.
+On ne demande pas forcément d'écrire ce système, mais on précisera au
+moins clairement le nombre d'équations, leur degré, et le nombre de
+variables ; on pourra appeler $\delta$ le degré de $f$ en la
+variable $z$, et considérer le degré en $z$ et le degré total en les
+$c_{i,j}$ d'un monôme $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$
+intervenant dans $f(x_1,\ldots,x_n)$.  En utilisant le résultat de
+l'exercice \ref{basic-dimension-fact}, montrer que ce système a, en
+effet, une solution en les $c_{i,j}$ si $N$ est assez grand.
+
+\begin{corrige}
+Disons qu'on ait
+\[
+f(t_1,\ldots,t_n) = \sum_{r_1+\cdots+r_n=d}
+a_{r_1,\ldots,r_n} t_1^{r_1}\cdots t_n^{r_n}
+\]
+où on a fait l'hypothèse que les coefficients $a_{\underline{r}}$ sont
+dans $k[z]$.  Soit $\delta$ le plus grand de leurs degrés, qui est
+donc le degré de $f$ en la variable $z$.  Comme suggéré par l'énoncé,
+on cherche un zéro non-trivial dans $(k[z])^n$ par la méthode des
+coefficients indéterminés, en écrivant chaque $x_i$ (pour $i$ allant
+de $1$ à $n$) comme un polynôme de degré $\leq N$ en $z$, à savoir
+$x_i = \sum_{j=0}^N c_{i,j} z^j$.
+
+Considérons une expression de la forme $x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$ :
+si on la développe complètement, elle est un polynôme en $z$ de degré
+au plus $N(r_1+\cdots+r_n)$ (puisque chaque $x_i$ est un polynôme
+en $z$ de degré $\leq N$) ; et elle est homogène de degré total
+$r_1+\cdots+r_n$ en les $c_{i,j}$ (puisqu'un produit de polynômes
+homogènes est un polynôme homogène de la somme des degrés totaux), au
+sens où le coefficient devant chaque puissance de $z$ est homogène de
+degré total $r_1+\cdots+r_n$ en les $c_{i,j}$.  Concernant
+$a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$, si
+$r_1+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est de degré $\leq N d +
+\delta$ en $z$, et (que son coefficient de chaque puissance de $z$
+est) homogène de degré $d$ en les $c_{i,j}$.  Il en va donc de même de
+la somme $f(x_1,\ldots,x_n)$ des $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots
+x_n^{r_n}$.
+
+On en déduit que l'équation $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ se traduit, en
+exprimant la nullité du coefficient devant chaque $z^j$, comme un
+système d'équations homogènes de degré $d$ en les $c_{i,j'}$.  Le
+nombre d'équations est donné par le nombre de coefficients de $z$ à
+écrire, soit $1$ de plus que la borne trouvée sur le degré en $z$,
+bref $N d + \delta + 1$.  Enfin, le nombre de variables est le nombre
+de $c_{i,j}$, c'est-à-dire $n\,(N+1)$.
+
+Si on tient absolument à écrire le système, ce qui n'était pas
+demandé, c'est :
+\[
+(\forall j)\;
+\sum_{\mathop{}^{s_{1,0}+\cdots+s_{n,N}=d}_{s_{1,1}+\cdots+N s_{n,N}+\rho=j}}
+\frac{\scriptstyle(\Sigma s_{1,\bullet})!\cdots
+  (\Sigma s_{n,\bullet})!}{\scriptstyle s_{1,0}!\cdots s_{n,N}!}\,
+a_{(\Sigma s_{1,\bullet}),\ldots,(\Sigma s_{n,\bullet});\rho}\,
+c_{1,0}^{s_{1,0}}\cdots c_{n,N}^{s_{n,N}}
+= 0
+\]
+où $\Sigma s_{i,\bullet}$ désigne $s_{i,0}+\cdots+s_{i,N}$ et
+$a_{r_1,\ldots,r_n;\rho}$ est le coefficient de $z^\rho$ dans le polynôme
+$a_{r_1,\ldots,r_n} \in k[z]$, et où $j$ parcourt les entiers de $0$ à
+$N d + \delta$.
+
+Bref, on a un système de $N d + \delta + 1$ équations, chacune
+homogène de degré total $d$, en $n\,(N+1) = N n + n$ variables.
+Puisque $d<n$, on a $N d + \delta + 1 < N n + n$ lorsque $N$ est assez
+grand.  On conclut d'après le résultat de
+l'exercice \ref{basic-dimension-fact} que le système a une solution
+avec les $c_{i,j}$ non tous nuls, c'est-à-dire les $x_i$ non tous
+nuls.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(2) On suppose toujours que $K = k(z)$.  On a montré en (1) que si $f
+\in k[z,t_1,\ldots,t_n]$ alors $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution
+non-triviale (dans $(k[z])^n$, donc dans $K^n$).  En déduire que si $f
+\in k(z)[t_1,\ldots,t_n]$ alors $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a encore une
+solution non-triviale dans $K^n$.
+
+\begin{corrige}
+Il suffit de chasser les dénominateurs.  Plus précisément, si $f \in
+k(z)[t_1,\ldots,t_n]$, soit $q \in k[z]$ un dénominateur commun à tous
+les coefficients $a_{r_1,\ldots,r_n}$ de $f$ (en les variables
+$t_1,\ldots,t_n$).  Alors $q\,f \in k[z,t_1,\ldots,t_n]$, et comme on
+a vu en (1) que l'équation $q\,f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution,
+il en va de même de l'équation $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ (dans $k(z)$).
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(3) Dans cette question indépendante des précédentes, on suppose que
+$K_0 \subseteq K$ est une extension de corps de degré $\ell := [K :
+  K_0]$ fini.  Soit $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme
+$K_0$-espace vectoriel.  Lorsque $w \in K$, on notera $\mathbf{M}(w)$
+la matrice $\ell\times \ell$ à coefficients dans $K_0$ qui représente
+l'application $K \to K, \penalty0\; y\mapsto w\cdot y$ de
+multiplication par $w$ (vue comme une application $K_0$-linéaire sur
+le $K_0$-espace vectoriel $K$ de dimension $\ell$), sur la base
+$e_1,\ldots,e_\ell$, et on notera $\norm(w) := \det(\mathbf{M}(w))$
+son déterminant (c'est donc un élément de $K_0$).\spaceout
+(a) Expliquer pourquoi $\mathbf{M}(ww') = \mathbf{M}(w)\,
+\mathbf{M}(w')$ si $w,w'\in K$, pourquoi $\norm(ww') = \norm(w)\,
+\norm(w')$, et pourquoi $\norm(w) = 0$ si et seulement
+si $w=0$.\spaceout (b) Expliquer pourquoi si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j
+e_j$ avec $w_j \in K_0$, alors les coefficients de $\mathbf{M}(w)$
+s'écrivent comme des combinaisons $K_0$-linéaires des $w_j$, et
+pourquoi $\norm(w)$ s'écrit comme un polynôme homogène de degré $\ell$
+en $w_1,\ldots,w_\ell$.
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $\mathbf{M}(ww') = \mathbf{M}(w)\,\mathbf{M}(w')$ car la
+  multiplication par $ww'$ est la composée, dans n'importe quel ordre,
+  de celle par $w$ et de celle par $w'$.  L'identité $\norm(ww') =
+  \norm(w)\, \norm(w')$ s'en déduit par la multiplicativité du
+  déterminant.  On en déduit que $\norm(w)\, \norm(w') = 1$ si $w'$
+  est l'inverse de $w$, et donc que $\norm(w) \neq 0$ si $w \neq 0$
+  (l'autre implication est triviale).
+
+(b) Si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j e_j$ alors on a $\mathbf{M}(w) =
+  \sum_{j=1}^\ell w_j E_j$, où on a noté $E_j := \mathbf{M}(e_j)$ :
+  comme $E_j$ est une certaine matrice $\ell\times \ell$ à
+  coefficients dans $K_0$, ceci montre bien que les coefficients de
+  $\mathbf{M}(w)$ s'écrivent comme des combinaisons $K_0$-linéaires
+  des $w_j$.  Comme le déterminant d'une matrice $\ell\times \ell$ est
+  un polynôme homogène de degré $\ell$ en les coefficients de la
+  matrice, on en déduit que $\norm(w)$ s'écrit comme un polynôme
+  homogène de degré $\ell$ en $w_1,\ldots,w_\ell$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(4) On suppose maintenant que $K$ est un corps de fonctions de courbe
+sur $k$, disons de degré $\ell := [K : K_0]$ sur le corps des
+fractions rationnelles $K_0 := k(z)$.  On reprend les notations
+$\mathbf{M}(w)$ et $\norm(w)$ de la question (3), en appelant
+$e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme $K_0$-espace vectoriel.
+Soit $f \in K[t_1,\ldots,t_n]$ (toujours de degré total $0<d<n$ en
+$t_1,\ldots,t_n$).  On va écrire $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$
+où les $x_{i,j} \in K_0$ sont des coefficients indéterminés.
+Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_1,\ldots,x_n)) = 0$
+recherchée se traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène
+de degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées.  En déduire qu'elle a une
+solution non-triviale.
+
+\begin{corrige}
+Disons qu'on ait
+\[
+f(t_1,\ldots,t_n) = \sum_{r_1+\cdots+r_n=d}
+a_{r_1,\ldots,r_n} t_1^{r_1}\cdots t_n^{r_n}
+\]
+les coefficients $a_{\underline{r}}$ sont dans $K$.  Comme suggéré par
+l'énoncé, on cherche un zéro non-trivial dans $K^n$ par la méthode des
+coefficients indéterminés, en écrivant chaque $x_i$ (pour $i$ allant
+de $1$ à $n$) comme $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$.
+
+Considérons une expression de la forme $\mathbf{M}(x_1^{r_1} \cdots
+x_n^{r_n}) = \mathbf{M}(x_1)^{r_1} \cdots \mathbf{M}(x_n)^{r_n}$ :
+d'après la question (3)(b), les coefficients de chaque
+$\mathbf{M}(x_i)$ sont des combinaisons $K_0$-linéaires des $x_{i,j}$
+(pour ce $i$), donc les coefficients du produits sont des polynômes
+homogènes de degré total $r_1+\cdots+r_n$ en les $x_{i,j}$ (en
+utilisant le fait que le produit de matrices est bilinéaire).
+Concernant $\mathbf{M}(a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots
+x_n^{r_n})$, si $r_1+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est de degré
+homogène de degré total $d$ en les $x_{i,j}$.  Il en va donc de même
+de la somme $\mathbf{M}(f(x_1,\ldots,x_n))$ des $a_{r_1,\ldots,r_n}
+x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$.  Par l'homogénéité du déterminant,
+$\norm(f(x_1,\ldots,x_n))$ est un polynome homogène de degré total $d
+\ell$ en les indéterminées $x_{i,j}$ qui sont au nombre de $n \ell$.
+
+Or d'après la question (3)(a), l'annulation de ce déterminant équivaut
+à l'annulation de tous les $x_i$ (i.e., de tous les $x_{i,j}$).  Et
+d'après la question (2), si $d \ell < n \ell$, ce qui équivaut à $d < n$, il
+y a bien une solution non triviale à cette équation algébrique de
+degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées dans $K_0 = k(z)$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(5) Les questions précédentes ont montré que si $K$ est le corps des
+fonctions d'une courbe sur un corps $k$ algébriquement clos et si $f
+\in K[t_1,\ldots,t_n]$ est un polynôme homogène en les indéterminées
+$t_1,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0 < d < n$, alors
+$f$ a un zéro non-trivial dans $K^n$.  On s'est limité à un seul
+polynôme $f$ pour plus de simplicité dans les notations.  Mais en
+fait, les mêmes arguments montrent que si $f_1,\ldots,f_m \in
+k[t_1,\ldots,t_n]$ sont plusieurs polynômes homogènes de degrés totaux
+respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$,
+on peut conclure à l'existence d'un zéro commun non-trivial à
+$f_1,\ldots,f_m$ dans $K^n$ sous une certaine hypothèse sur
+$d_1,\ldots,d_m$.  Sans réécrire les démonstrations, indiquer quelle
+serait cette condition.
+
+\begin{corrige}
+Si on reprend les questions précédentes avec maintenant $m$ polynômes,
+dans la question (1), on obtiendra maintenant un système de
+$\sum_{j=1}^m (N d_j + \delta + 1) = N(d_1+\cdots+d_m) + m\delta + m$
+équations en $n(N+1)$ variables, qui a donc une solution pour $N$
+grand lorsque $d_1 + \cdots + d_m < n$.  Les arguments des questions
+(2) et (4) ne sont essentiellement pas modifiés, et on arrive à la
+conclusion que :
+
+Si $K$ est le corps des fonctions d'une courbe sur un corps $k$
+algébriquement clos et si $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ sont
+des polynômes homogènes de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m >
+0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, qui vérifient
+$d_1+\cdots+d_m < n$, alors $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun
+non-trivial dans $K^n$.  [Théorème de Tsen.]
+\end{corrige}
+
+
 
 %
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cgit v1.2.3