From e6b8cd42e5b6f7ad2395204bf050af5aaddccb75 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 20 Apr 2017 01:53:58 +0200
Subject: Write test (computation of the genus of y^2 = x^5 - x).

---
 controle-20170421.tex | 277 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index ff1364c..ea3ddb7 100644
--- a/controle-20170421.tex
+++ b/controle-20170421.tex
@@ -15,7 +15,7 @@
 \usepackage{wasysym}
 \usepackage{url}
 %
-%\usepackage{xr-hyper}
+\usepackage{xr-hyper}
 %
 \usepackage{graphics}
 \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
@@ -23,7 +23,7 @@
 \usetikzlibrary{matrix,calc}
 \usepackage{hyperref}
 %
-%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
+\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
 %
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{comcnt}{Tout}
@@ -97,9 +97,13 @@
 
 \noindent\textbf{Consignes.}
 
-Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
-dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
-très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+Ce contrôle est formé d'un unique exercice.  Les questions dépendent
+les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à ce que
+le fait de ne pas savoir répondre à une question ne bloque pas toute
+la suite.
+
+Des notations étant introduites au fur et à mesure de l'énoncé, il est
+conseillé de le lire attentivement.
 
 \medbreak
 
@@ -126,6 +130,269 @@ Git: \input{vcline.tex}
 %
 %
 
+Dans tout ce qui suit $k$, désigne un corps algébriquement clos de
+caractéristique $\not\in\{2,5\}$.
+
+On s'intéresse à la courbe plane d'équation $y^2 = x^5 - x$.  Plus
+exactement, on pose $K = k(x)[y]/(y^2 - x^5 + x)$.  On admettra sans
+démonstration que $h := y^2 - x^5 + x$ est irréductible dans $k[x,y]$,
+ce qui implique que $K$, corps de rupture de $h$ sur $k(x)$, est un
+corps de fonction de courbe.  On notera abusivement $x$ et $y$ les
+images dans $K$ des indéterminées de même nom.  On appelle $C$ la
+courbe associée à $K$, qu'on peut considérer comme son ensemble de
+places (=valuations discrètes de $K$ au-dessus de $k$).  Pour $P$ une
+place de $C$, on note $\ord_P$ la valuation en question.  On rappelle
+que comme $k$ est supposé algébriquement clos, le degré de toute place
+vaut $1$ (et son corps résiduel $\varkappa_P$ s'identifie à $k$).
+
+\medbreak
+
+(1) Rappeler brièvement pourquoi un élément de $K$ admet une écriture
+unique sous la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$.
+
+\begin{corrige}
+On a $K = k(x)[y]/(h)$ où $h \in k(x)[y]$ est irréductible de
+degré $2$ (vu comme un polynôme en $y$) : tout élément de $k(x)[y]$
+est donc congru modulo $h$ à un unique polynôme (en $y$) de
+degré $<2$, à savoir le reste de sa division euclidienne par $h$, donc
+il s'écrit $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$ ce qui est
+précisément ce qui était demandé.
+\end{corrige}
+
+\medbreak
+
+(2) Le but de cette question est d'étudier la place « à l'infini »
+de $C$.
+
+(2.1) Soit $P$ une place telle que $\ord_P(x) < 0$ (autrement dit, $x$
+a un pôle en $P$).  Posons $e = -\ord_P(x)$.  (a) Que vaut
+$\ord_P(x^n)$ pour $n\in\mathbb{N}$ ?  Que vaut $\ord_P(f(x))$ pour $f
+\in k[x]$ un polynôme en $x$ ?  (b) En déduire que si $f \in k(x)$
+alors $\ord_P(f(x)) = e \ord_\infty(f)$ où $\ord_\infty$ désigne la
+valuation usuelle à l'infini\footnote{C'est-à-dire la fonction qui à
+  $f\in k(x)$ associe le degré de son dénominateur moins celui de son
+  numérateur.}  de $k(x)$.  (c) Montrer que $\ord_P(y) =
+-\frac{5}{2}e$.  (d) En déduire ce que vaut $\ord_P(f_0 + f_1 y)$.
+(e) En déduire que $e=2$, et réexprimer $\ord_P(f_0 + f_1 y)$ compte
+tenu de cette information.
+
+\begin{corrige}
+(a) Si on a $\ord_P(x) = -e < 0$ alors $\ord_P(x^n) = -ne$.  On en
+  déduit que $\ord_P(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = -ne$ si
+  $a_n\neq 0$, parce que le terme $a_n x^n$ a une valuation
+  strictement inférieure à tous les autres, c'est-à-dire $\ord_P(f(x))
+  = -e\,\deg f$.  (b) En écrivant $f$ comme rapport de deux polynômes,
+  on en déduit immédiatement $\ord_P(f(x)) = e \ord_\infty(f)$.
+  (c) On a $y^2 = x^5 - x$ donc $\ord_P(y^2) = -5e$, c'est-à-dire
+  $\ord_P(y) = -\frac{5}{2}e$.  (d) On en déduit que $\ord_P(f_0 + f_1
+  y) = e \min(\ord_\infty(f_0), \ord_\infty(f_1)-\frac{5}{2})$ (car
+  les deux termes ne peuvent pas avoir la même valuation).  (e) Comme
+  la valeur $1$ doit être atteinte par $\ord_P$, on a nécessairement
+  $e=2$, donc $\ord_P(f_0 + f_1 y) = \min(2\ord_\infty(f_0),
+  2\ord_\infty(f_1)-5)$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(2.2) Montrer que réciproquement, $\ord_P(y) < 0$ implique $\ord_P(x)
+< 0$ (on pourra procéder par contraposée).
+
+\begin{corrige}
+Si $\ord_P(x) \geq 0$ alors $\ord_P(x^5 - x) \geq 0$ (on rappelle que
+$\mathcal{O}_P := \{f\in K : \ord_P(f)\geq 0\}$ est un anneau),
+c'est-à-dire $\ord_P(y^2) \geq 0$ donc $\ord_P(y) \geq 0$ : on a donc
+montré la contraposée de ce qui était demandé.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(2.3) Déduire des questions précédentes que la courbe $C$ a une unique
+place $P$ telle que $\ord_P(x) < 0$, qui est aussi l'unique place $P$
+telle que $\ord_P(y) < 0$.
+
+\begin{corrige}
+On a vu que $\ord_P(x) < 0$ équivaut à $\ord_P(y) < 0$ et implique
+$\ord_P(f_0 + f_1 y) = \min(2\ord_\infty(f_0), 2\ord_\infty(f_1)-5)$,
+ce qui détermine complètement $\ord_P$.  Par ailleurs, une telle place
+existe bien car la fonction $x$, qui n'est pas constante, doit avoir
+un pôle quelque part sur $C$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+\emph{Cette place sera appelée « place à l'infini » sur $C$ et
+  notée $\heartsuit$ dans ce qui suit.}
+
+\smallbreak
+
+(2.4) Montrer que le diviseur des pôles\footnote{On rappelle que le
+  diviseur des pôles de $f\in K$ est défini comme
+  $\sum_{P\;:\;\ord_P(f) < 0} -\ord_P(f)\cdot (P)$.} de $x$
+vaut $2\cdot(\heartsuit)$.  Quel est le diviseur des pôles de $y$ ?
+Quel sont les degrés de $x$ et $y$ en tant que fonctions sur $C$
+(c'est-à-dire, les degrés $[K:k(x)]$ et $[K:k(y)]$) ?
+
+\begin{corrige}
+On vient de voir que $x$ n'a de pôle qu'en $\heartsuit$, et
+$\ord_\heartsuit(x) = -2$ : ceci signifie exactement que son diviseur
+des pôles est $2\cdot(\heartsuit)$.  On a de même vu que $y$ n'a de
+pôle qu'en $\heartsuit$, et $\ord_\heartsuit(y) = -5$ : ceci signifie
+exactement que son diviseur des pôles est $5\cdot(\heartsuit)$.  Les
+degrés de $x$ et $y$ valent respectivement $2$ et $5$, comme il
+résulte du degré des diviseurs qu'on vient de dire, ou directement en
+considérant que $K$ est une extension de $k(x)$ et de $k(y)$
+respectivement qui est le corps de rupture de $h$.
+\end{corrige}
+
+\medbreak
+
+(3) (a) Montrer que le polynôme $x^5 - x$ (en une variable $x$) est
+sans racine multiple.  (b) En déduire que les polynômes $h$ et
+$\frac{\partial h}{\partial x}$ et $\frac{\partial h}{\partial y}$ en
+deux variables $x,y$ (où toujours $h = y^2 - x^5 + x$) ne s'annulent
+jamais tous les trois simultanément.
+
+\begin{corrige}
+(a) Les racines de $x^5 - x = x(x^4 - 1)$ sont $0$ et les racines
+  quatrièmes de l'unité dans $k$ : il y a bien cinq racines
+  distinctes, donc pas de racine multiple.  (b) On a $\frac{\partial
+    h}{\partial y} = 2 y$, qui s'annule exactement lorsque $y=0$.  Si
+  $h$ et $\frac{\partial h}{\partial x}$ et $\frac{\partial
+    h}{\partial y}$ s'annulent simultanément en $(x_0,y_0)$, alors
+  $y_0 = 0$ et $x_0$ annule à la fois $x^5 - x$ et sa dérivée, or on
+  vient de voir que ce n'est pas possible.
+\end{corrige}
+
+\medbreak
+
+On rappelle (\ref{smooth-points-give-unique-place} du cours) que ceci
+implique le fait suivant : pour tout $(x_0,y_0) \in k^2$ vérifiant
+$y_0^2 = x_0^5 - x_0$ (i.e., tout $(x_0,y_0) \in Z(h)$), il existe une
+unique place $P$ de $C$ en laquelle l'évaluation de $x$ vaut $x_0$ et
+l'évaluation de $y$ vaut $y_0$ (si on préfère, $\ord_P(x-x_0) > 0$ et
+$\ord_P(y-y_0) > 0$).  \emph{Cette place sera notée $Q(x_0,y_0)$ dans
+  la suite.}
+
+\medbreak
+
+(4) Dans cette question, on considère un $c\in k$, et on va se pencher
+sur les places de $C$ en lesquelles l'évaluation de $x$ vaut $c$.
+
+(4.1) Pourquoi le degré de $x-c$ en tant que fonction sur $C$
+vaut-il $2$ ?
+
+\begin{corrige}
+Le corps $k(x-c)$ engendré par $x-c$ au-dessus de $k$ est égal à celui
+$k(x)$ engendré par $x$, puisque chacun de $x$ et de $x-c$ s'exprime
+rationnellement en fonction de l'autre (à savoir $x = (x-c) + c$ et
+$(x-c) = (x) - c$).  Le degré de $K$ sur ce corps est donc le même
+dans les deux cas, à savoir $2$ comme on l'a vu en (2.4).
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(4.2) On suppose pour cette sous-question que $c^5 - c \neq 0$.
+(a) Expliciter deux places $P$ de $C$ où $x - c$ a un zéro
+(c'est-à-dire $\ord_P(x-c) > 0$).  (b) En déduire que ces deux zéros
+sont simples (c'est-à-dire $\ord_P(x-c) = 1$) : on pourra pour cela
+invoquer l'identité du degré (\ref{degree-identity} du cours).
+
+\begin{corrige}
+(a) Soit $y_0$ une racine carrée de $c^5 - c$ (non nulle par
+  hypothèse).  Alors $y_0^2 = c^5 - c$, ce qui permet de parler de
+  $Q(c,y_0)$, et symétriquement de $Q(c,-y_0)$.  Ces deux places sont
+  bien distinctes car $y$ y a une évaluation différente.  La fonction
+  $x-c$ a un zéro en ces deux places puisque $x$ s'y évalue en $c$.
+  (b) La somme des ordres des zéros de $x-c$ doit valoir $2$ d'après
+  (4.1) et l'identité du degré ; or on a trouvé deux zéros, il
+  s'ensuit qu'ils sont forcément simples.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(4.3) On suppose pour cette sous-question que $c^5 - c = 0$.
+(a) Expliciter la seule place $P$ de $C$ où $x - c$ a un zéro.  (b) En
+déduire que ce zéro est double (c'est-à-dire $\ord_P(x-c) = 2$).
+
+\begin{corrige}
+(a) Le fait que $c^5 - c = 0$ permet de parler de la place $Q(c,0)$.
+  La fonction $x-c$ y a un zéro.  Mais si $x-c$ a un zéro en une place
+  de $C$, forcément $y$ y a aussi un zéro puisque l'évaluation de $y^2
+  = x^5 - x$ vaut $c^5 - c = 0$ : la place évoquée est donc la seule
+  où $x-c$ a un zéro.  (b) La somme des ordres des zéros de $x-c$ doit
+  valoir $2$ d'après (4.1) et l'identité du degré ; or on a vu qu'il y
+  en a exactement une, donc son zéro est double.
+\end{corrige}
+
+\medbreak
+
+(5) On s'intéresse dans cette question à la différentielle $dx$ de la
+fonction $x$.
+
+(5.1) Expliquer pourquoi $\ord_\heartsuit(dx) = -3$.
+
+\begin{corrige}
+On a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$.  Comme $k$ est de
+caractéristique $\neq 2$, cette quantité n'est pas nulle dans $k$,
+donc (cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(dx) = -2-1
+= -3$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(5.2) Montrer que $\ord_{Q(x_0,0)}(dx) = 1$ lorsque $x_0^5 - x_0 = 0$.
+
+\begin{corrige}
+On a vu en (4.3) que lorsque $x_0^5 - x_0 = 0$, on a
+$\ord_{Q(x_0,0)}(x) = 2$.  Comme $k$ est de caractéristique $\neq 2$,
+cette quantité n'est pas nulle dans $k$, donc
+(cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(dx) = 2-1 = 1$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(5.3) (a) Rappeler pourquoi $d(x-c) = dx$ quel que soit $c\in k$.
+(b) Que vaut $\ord_{Q(x_0,y_0)}(dx)$ lorsque $y_0 \neq 0$ (avec bien
+sûr $y_0^2 = x_0^5 - x_0$) ?
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $d(x-c) = dx - dc$, or $dc=0$.  (b) On a vu en (4.2) que
+  lorsque $y_0 \neq 0$, on a $\ord_{Q(x_0,y_0)}(x - x_0) = 1$, donc
+  (cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(d(x-x_0)) =
+  1-1 = 0$.  Mais on vient de voir que ceci signifie
+  $\ord_\heartsuit(dx) = 0$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(5.4) (a) Récapituler la valeur de $\ord_P(dx)$ en toute place $P$
+de $C$ (b) En déduire que le diviseur canonique $\divis(dx)$ est de
+degré $2$.
+
+\begin{corrige}
+(a) Considérons une place $P$ de $C$.  Soit $x$ y a un pôle, auquel
+  cas (cf. (2.3)) $P = \heartsuit$ et on a vu (cf. (5.1)) que
+  $\ord_\heartsuit(dx) = -3$.  Soit $x$ n'a pas un pôle, et si $x_0
+  \in k$ y est son évaluation, on a $P = Q(x_0,y_0)$ où $y_0$ est
+  l'évaluation de $y$, et on a vu (cf. (5.2) et (5.3)) que
+  $\ord_P(dx)$ vaut $1$ ou $0$ selon que $y_0 = 0$ ou $y_0 \neq 0$.
+  Bref, les seules places où $\ord_P(dx) \neq 0$ sont $\heartsuit$ où
+  l'ordre vaut $-3$, et les cinq points $(x_0,0)$ avec $x_0$ valant
+  $0$ ou une racine quatrième de l'unité, où l'ordre vaut $1$.  (b) En
+  particulier, le degré de $dx$ vaut $-3 + 5\times 1 = 2$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(5.5) Quel est le genre de la courbe $C$ ?
+
+\begin{corrige}
+D'après \ref{degree-of-canonical-divisor}, on sait que $g(C) =
+\deg(\divis(dx))$, c'est-à-dire $2$ d'après la question (5.4(b)).
+\end{corrige}
+
+
+
 
 
 %
-- 
cgit v1.2.3

