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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 1 Apr 2019 15:07:00 +0200
Subject: Re-read exam and make some slight changes.

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 controle-20190403.tex | 107 ++++++++++++++++++++++++++++----------------------
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index f11e247..636edc6 100644
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+++ b/controle-20190403.tex
@@ -98,9 +98,9 @@ L'usage des appareils électroniques est interdit.
 Durée : 2h
 
 \ifcorrige
-Ce corrigé comporte 6 pages (page de garde incluse)
+Ce corrigé comporte 6 pages (page de garde incluse).
 \else
-Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse)
+Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse).
 \fi
 
 \vfill
@@ -117,8 +117,8 @@ Git: \input{vcline.tex}
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 %
 
-Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on
-pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
+Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire
+qu'on pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
 clôture algébrique.
 
 On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C :=
@@ -277,8 +277,8 @@ et $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$.
 
 (3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini
 par l'équation $D_\tau := \{x^2+y^2 = \tau(x-y)\}$, où $\tau$ est un
-paramètre qu'on va faire varier.  On notera $f_\tau := x^2+y^2 -
-\tau(x-y)$
+paramètre qu'on va faire varier (dans $k$ ou même dans $k^{\alg}$).
+On notera $f_\tau := x^2+y^2 - \tau(x-y)$
 
 \smallskip
 
@@ -356,72 +356,74 @@ ces équations « paramétrisent » la courbe $C$ (ou $\overline{C}$).
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(4)}(a) Les équations (*) définissent un
-morphisme $\tau \mapsto \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
+morphisme $\psi\colon \tau \mapsto
+\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
 \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ d'un ouvert (de définition) $V
 \subseteq \mathbb{A}^1$ vers $\mathbb{A}^2$.  Que vaut $V$ ?  Quel
 calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un
 morphisme $V \to C$ ?  (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer
-ce qu'il faudrait faire.)
+quelle(s) égalité(s) il s'agit de vérifier.)
 
 \begin{corrige}
 L'ouvert $V$ est $\{\tau^4 + 1 \neq 0\}$, domaine de définition des
-fractions rationnelles définissant le morphisme.  Pour vérifier que le
-morphisme tombe ien dans $C$, il s'agit de vérifier que
+fractions rationnelles définissant le morphisme $\psi$.  Pour vérifier
+que le morphisme tombe bien dans $C$, il s'agit de vérifier que
 $h\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\,
 \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big) = 0$ (ce qui est bien le cas).
 \end{corrige}
 
 \smallskip
 
-\leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V
-\to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en un morphisme
-$\psi\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C} \subset \mathbb{P}^2$.  On
-écrira explicitement les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un
-point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme.  (Bien sûr,
-$\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de
-$\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.)
+\leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme
+$\psi\colon V \to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en
+un morphisme $\overline{\psi}\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C}
+\subset \mathbb{P}^2$.  On écrira explicitement les coordonnées
+$(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$
+par ce morphisme.  (Bien sûr, $\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert
+$\{t_0\neq 0\}$ de $\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.)
 
 \begin{corrige}
-Le point $\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
+Le point $\psi(\tau) = \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
 \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ de $\mathbb{A}^2$ est le point
 $(\tau^4+1 : \tau\,(\tau^2+1) : \tau\,(\tau^2-1))$ de $\mathbb{P}^2$
 (les coordonnées étant, comme d'habitude, dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$).
 En identifiant $\mathbb{A}^1$ à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$
-de $\mathbb{P}^1$, on obtient, en homogénéisant, $\psi \colon (t_0 :
-t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0
-t_1\,(t_1^2-t_0^2))$.  On vérifie facilement que les trois coordonnées
-de ce morphisme ne peuvent jamais s'annuler simultanément (sauf si
-$t_0$ et $t_1$ s'annulent, ce qui est exclu sur $\mathbb{P}^1$), donc
-on a bien défini un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$, qui
-tombe dans $\overline{C}$ car les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ qu'on
-vient de dire vérifient l'équation $(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)$
-trouvée en (1)(a) (c'est la même vérification que (4)(a) une fois
-chassés les dénominateurs).
+de $\mathbb{P}^1$, on obtient, en homogénéisant, $\overline{\psi}
+\colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) :
+t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$.  On vérifie facilement que les trois
+coordonnées de ce morphisme ne peuvent jamais s'annuler simultanément
+(sauf si $t_0$ et $t_1$ s'annulent, ce qui est exclu
+sur $\mathbb{P}^1$), donc on a bien défini un morphisme $\mathbb{P}^1
+\to \mathbb{P}^2$, qui tombe dans $\overline{C}$ car les coordonnées
+$(Z{:}X{:}Y)$ qu'on vient de dire vérifient l'équation $(X^2+Y^2)^2 =
+Z^2(X^2-Y^2)$ trouvée en (1)(a) (c'est la même vérification que (4)(a)
+une fois chassés les dénominateurs).
 \end{corrige}
 
 \smallskip
 
-\leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des
-points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement
-$(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ?  En déduire que $\psi$
-n'est pas un isomorphisme.
+\leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images
+par $\overline{\psi}$ des points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire
+respectivement $(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ?  En déduire
+que $\overline{\psi}$ n'est pas un isomorphisme (entre $\mathbb{P}^1$
+et $\overline{C}$).
 
 \begin{corrige}
-La valeur $\psi(0)$ peut se calculer directement à partir de la
-description affine $\tau \mapsto
+La valeur $\overline{\psi}(0) = \psi(0)$ peut se calculer directement
+à partir de la description affine $\psi\colon \tau \mapsto
 \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
 \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ et on trouve $(0,0)$.  On peut
 bien sûr aussi substituer $t_0 = 1$ et $t_1 = 0$ dans $(t_1^4+t_0^4 :
 t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne
 (heureusement !) le même résultat.
 
-La valeur $\psi(\infty)$ s'obtient en substituant $t_0 = 0$ et $t_1 =
-1$ dans $(t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0
+La valeur $\overline{\psi}(\infty)$ s'obtient en substituant $t_0 = 0$
+et $t_1 = 1$ dans $(t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0
 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne le même point $(1{:}0{:}0)$,
 origine de $\mathbb{A}^2$.
 
 Le point en question étant parcouru deux fois par le paramétrage,
-$\psi$ n'est pas bijective, donc n'est pas un isomorphisme.
+$\overline{\psi}$ n'est pas bijective, donc n'est pas un isomorphisme.
 \end{corrige}
 
 \smallskip
@@ -433,15 +435,21 @@ de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 =
 trouvés en (1)(b) ?
 
 \begin{corrige}
+Comme $\overline{\psi}$ est donné par des polynômes à coefficients
+dans $k$, si on l'applique à un point rationnel (i.e., à coordonnées
+dans $k$) de $\mathbb{P}^1$, on obtient un point rationnel
+de $\overline{C}$.  Rien ne dit que la réciproque soit vraie (et on va
+observer qu'elle ne l'est pas).
+
 En substituant les six points ($(0{:}1)$ et $(1{:}i)$ pour
-$i\in\{0,1,2,3,4\}$) de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}$ dans $\psi
-\colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) :
-t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, on obtient les points $(0,0)$ (deux fois),
-$(1, 0)$, $(0, 2)$, $(0, 3)$, $(4, 0)$, tous dans $\mathbb{A}^2$
-(c'est-à-dire $(1{:}0{:}0)$, $(1{:}1{:}0)$, $(1{:}0{:}2)$,
-$(1{:}0{:}3)$, $(1{:}4{:}0)$ dans $\mathbb{P}^2$).  (Pour simplifier
-les calculs à la main, il est bien sûr préférable d'écrire $4$
-comme $-1$ et $3$ comme $-2$.)
+$i\in\{0,1,2,3,4\}$) de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}$ dans
+$\overline{\psi} \colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1
+\,(t_1^2+t_0^2) : t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, on obtient les points
+$(0,0)$ (deux fois), $(1, 0)$, $(0, 2)$, $(0, 3)$, $(4, 0)$, tous dans
+$\mathbb{A}^2$ (c'est-à-dire $(1{:}0{:}0)$, $(1{:}1{:}0)$,
+$(1{:}0{:}2)$, $(1{:}0{:}3)$, $(1{:}4{:}0)$ dans $\mathbb{P}^2$).
+(Pour simplifier les calculs à la main, il est bien sûr préférable
+d'écrire $4$ comme $-1$ et $3$ comme $-2$.)
 
 Les points singuliers à l'infini $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et
 $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$, c'est-à-dire, sur $\mathbb{F}_5$,
@@ -449,7 +457,14 @@ $(0{:}2{:}1)$ et $(0{:}3{:}1)$, n'ont pas été atteints par le
 paramétrage sur des points rationnels de $\mathbb{P}^1$.  (On les
 obtient, chacun deux fois, en $(1{:}\tau)$ pour $\tau$ valant une des
 racines de $2$ ou $3$ dans $\mathbb{F}_{25}$, c'est-à-dire une des
-racines quatrièmes de $-1$ dans $\mathbb{F}_5$.)
+racines quatrièmes de $-1$.)
+
+(En fait, on peut se rendre compte que si un point géométrique de
+$\overline{C}$ n'est atteint par $\overline{\psi}$ qu'en un unique
+point géométrique $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$, ce $(t_0{:}t_1)$
+est forcément invariant par Galois puisque son image
+par $\overline{\psi}$ l'est, donc en fait $(t_0{:}t_1)$ est rationnel.
+On n'attendait bien sûr pas une telle analyse.)
 \end{corrige}
 
 \medskip
-- 
cgit v1.2.3

