From 2bf8e8beddcdd835b5047d4698c7690289e0f589 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 30 Mar 2019 12:07:11 +0100
Subject: Start writing an exam for 2019-04-03.

---
 controle-20190403.tex | 266 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 266 insertions(+)
 create mode 100644 controle-20190403.tex

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diff --git a/controle-20190403.tex b/controle-20190403.tex
new file mode 100644
index 0000000..b0f1c1a
--- /dev/null
+++ b/controle-20190403.tex
@@ -0,0 +1,266 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
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+\usepackage{amsthm}
+%
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+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
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+\newif\ifcorrige
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+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\else
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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+\author{}
+\date{3 avril 2019}
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+
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+
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+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+\textcolor{red}{À remplir.}
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des appareils électroniques est interdit.
+
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+
+Durée : 2h
+
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+Git: \input{vcline.tex}
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+
+\pagebreak
+
+
+%
+%
+%
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on
+pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
+clôture algébrique.
+
+On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C :=
+\{(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate
+de Bernoulli », définie dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de
+coordonnées $(x,y)$ par le polynôme $h := (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$.
+Autrement dit, $C$ est l'ensemble des points $(x,y)$ à coordonnées
+dans $k^{\alg}$ (« points géométriques ») ou dans $k$ (« points
+rationnels ») qui annulent $h$.
+
+\smallskip
+
+(1)(a) En notant $(Z{:}X{:}Y)$ les coordonnées du plan projectif
+$\mathbb{P}^2$ dont on identifie comme d'habitude $\mathbb{A}^2$ à
+l'ouvert $\{Z\neq 0\}$ par $(x,y) \mapsto (1{:}x{:}y)$, déterminer
+l'équation de l'adhérence $\overline{C}$ de $C$ dans $\mathbb{P}^2$
+(= « projectivisée » de $C$).  On rappelle qu'on attend une équation
+homogène en $Z,X,Y$.
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(1)}(b) Quels sont les points (géométriques)
+d'intersection de $\overline{C}$ avec la droite $\{Z=0\}$ de
+$\mathbb{P}^2$ (« droite à l'infini ») ?  On pourra appeler
+$\{\xi,-\xi\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$
+dans $k^{\alg}$.
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(1)}(c) Quelle est l'équation de l'intersection
+de $\overline{C}$ avec $\{Y \neq 0\}$, lui aussi identifié à un plan
+affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ?  On notera $(u,v)$ les coordonnées sur
+$\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(u,v) \mapsto
+(v{:}1{:}u)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont
+écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$).
+
+\medskip
+
+(2) On rappelle que l'espace vectoriel tangent à $\{h=0\}$ en un de
+ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(u,v)$ tels que
+$\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot u = 0$ et
+$\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v = 0$
+(on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de façon à
+le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant par le
+point de tangence).
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(2)}(a) Calculer $h'_x := \frac{\partial
+  h}{\partial x}$ et $h'_y := \frac{\partial h}{\partial y}$ (on
+cherchera à factoriser l'écriture).
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(2)}(b) Déterminer l'espace tangent à $C$
+en $(0,0)$.  Quelle est sa dimension ?
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(2)}(c) En étudiant chacun des quatre cas selon
+que $x_0 = 0$ ou $x_0 \neq 0$ d'une part, et que $y_0 = 0$ ou $y_0
+\neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques) de $C$
+tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent.  Un tel point est dit
+« singulier ».  (On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des
+points de $C$, c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même.)
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(2)}(d) En utilisant l'équation trouvée
+en (1)(c), déterminer si les points « à l'infini » trouvés en (1)(b)
+sont singuliers.  Récapituler tous les point singuliers
+de $\overline{C}$.
+
+\medskip
+
+(3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini
+par l'équation $D_\tau := \{x^2+y^2 = \tau(x-y)\}$, où $\tau$ est un
+paramètre qu'on va faire varier.  On notera $f_\tau := x^2+y^2 -
+\tau(x-y)$
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(3)}(a) Si $k = \mathbb{R}$, que représente
+$D_\tau$ du point de vue de la géométrie euclidienne élémentaire ?
+(On pourra chercher à réécrire son équation de la forme $(x-x_c)^2 +
+(y-y_c)^2 = \rho^2$ où $x_c,y_c,\rho$ sont des réels dont on donnera
+la valeur en fonction de $\tau$.)
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(3)}(b) On s'intéresse à un point $(x,y)$ à
+l'intersection de $C$ et $D_\tau$ (c'est-à-dire annulant à la fois
+$h$ et $f_\tau$), et qui ne soit pas $(0,0)$.  En substituant dans $h$
+la valeur de $x^2+y^2$ donnée par l'annulation de $f_\tau$, et en
+observant que $x-y \neq 0$ (ce qu'on justifiera), montrer que [le
+  point est sur la droite d'équation]
+\[
+(\tau^2+1) y = (\tau^2-1) x
+\]
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(3)}(c) Toujours dans les conditions de la
+question (3)(b), montrer que par le calcul que, lorsque $\tau^2 - 1$,
+$\tau^2 + 1$ et $\tau^4 + 1$ sont tous non nuls, on a :
+\[
+x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}
+\hbox{\quad et\quad}
+y = \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}
+\tag{*}
+\]
+(On pourra remplacer dans $f_\tau$ la valeur de $y$ découlant de
+l'équation trouvée en (3)(b), et factoriser.)
+
+\medskip
+
+(4) \underline{Indépendamment} de la question (3) qui a permis de
+trouver les équations (*) ci-dessus, on cherche maintenant à dire que
+ces équations « paramétrisent » la courbe $C$ (ou $\overline{C}$).
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(4)}(a) Les équations (*) définissent un
+morphisme $\tau \mapsto \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
+\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ d'un ouvert (de définition) $V
+\subseteq \mathbb{A}^1$ vers $\mathbb{A}^2$.  Que vaut $V$ ?  Quel
+calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un
+morphisme $V \to C$ ?  (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer
+ce qu'il faudrait faire.)
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V
+\to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en un morphisme
+$\psi\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C} \subset \mathbb{P}^2$.  On
+écrira explicitement les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un
+point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme.  (Bien sûr,
+$\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de
+$\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.)
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des
+points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement
+$(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ?  En déduire que $\psi$
+n'est pas un isomorphisme.
+
+\smallskip
+
+\leavevmode\hphantom{(4)}(d) En utilisant la paramétrisation qu'on a
+trouvée, énumérer un maximum de points rationnels de $C$ et
+de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 =
+\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments.
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

