From 7d8e8c4cd1f54978c6a8fd202ff02141b075fe48 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 31 Mar 2019 20:54:13 +0200
Subject: Write answers to exam (and fix/update a few questions).

---
 controle-20190403.tex | 246 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 225 insertions(+), 21 deletions(-)

(limited to 'controle-20190403.tex')

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index b0f1c1a..f11e247 100644
--- a/controle-20190403.tex
+++ b/controle-20190403.tex
@@ -49,7 +49,7 @@
 %
 \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
 \newif\ifcorrige
-\corrigefalse
+\corrigetrue
 \newenvironment{corrige}%
 {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
 \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
@@ -75,7 +75,16 @@
 
 \noindent\textbf{Consignes.}
 
-\textcolor{red}{À remplir.}
+Ce contrôle est formé d'un unique exercice.  Les questions dépendent
+parfois les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à
+ce que le fait de ne pas savoir répondre à l'une d'elles ne bloque pas
+toute la suite.
+
+La difficulté des questions étant inégale, il vaut mieux ne pas rester
+bloqué trop longtemps.
+
+Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut
+valoir une partie des points.
 
 \medbreak
 
@@ -88,6 +97,12 @@ L'usage des appareils électroniques est interdit.
 
 Durée : 2h
 
+\ifcorrige
+Ce corrigé comporte 6 pages (page de garde incluse)
+\else
+Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse)
+\fi
+
 \vfill
 {\noindent\tiny
 \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
@@ -107,7 +122,7 @@ pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
 clôture algébrique.
 
 On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C :=
-\{(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate
+\{(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate
 de Bernoulli », définie dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de
 coordonnées $(x,y)$ par le polynôme $h := (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$.
 Autrement dit, $C$ est l'ensemble des points $(x,y)$ à coordonnées
@@ -123,32 +138,64 @@ l'équation de l'adhérence $\overline{C}$ de $C$ dans $\mathbb{P}^2$
 (= « projectivisée » de $C$).  On rappelle qu'on attend une équation
 homogène en $Z,X,Y$.
 
+\begin{corrige}
+Il s'agit d'homogénéiser $h = (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$, ce qui donne
+$h^\sharp = (X^2+Y^2)^2 - Z^2(X^2-Y^2)$.  L'équation de $\overline{C}$
+est donc : $(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)$.
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(1)}(b) Quels sont les points (géométriques)
 d'intersection de $\overline{C}$ avec la droite $\{Z=0\}$ de
 $\mathbb{P}^2$ (« droite à l'infini ») ?  On pourra appeler
-$\{\xi,-\xi\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$
+$\{\sqrt{-1},-\sqrt{-1}\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$
 dans $k^{\alg}$.
 
+\begin{corrige}
+L'intersection de $\{(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)\}$ avec $\{Z=0\}$ est
+$\{(X^2+Y^2)^2 = 0\}$, ce qui revient à $\{X^2+Y^2 = 0\}$ pour avoir
+une équation réduite dans $\mathbb{P}^1$ de coordonnées $(X{:}Y)$.  En
+notant $\sqrt{-1}$ une racine primitive quatrième de l'unité comme
+suggéré, $X^2+Y^2 = (X+\sqrt{-1}\, Y)(X-\sqrt{-1}\, Y)$, si bien que
+les points (géométriques) de $\{X^2+Y^2 = 0\}$ dans $\mathbb{P}^1$
+sont $(1{:}\sqrt{-1})$ et $(1{:}{-\sqrt{-1}})$, ou, dans
+$\mathbb{P}^2$ sur $\{Z=0\}$, les points $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$
+et $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$ (ce sont les « points cycliques à
+l'infini »).
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(1)}(c) Quelle est l'équation de l'intersection
 de $\overline{C}$ avec $\{Y \neq 0\}$, lui aussi identifié à un plan
-affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ?  On notera $(u,v)$ les coordonnées sur
-$\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(u,v) \mapsto
-(v{:}1{:}u)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont
-écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$).
+affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ?  On notera $(w,u)$ les coordonnées sur
+$\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(w,u) \mapsto
+(w{:}u{:}1)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont
+écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$, ce qui explique la notation un peu
+curieuse).  Préciser comment les points trouvés en (1)(b) se voient
+dans $\mathbb{A}^{2\prime}$.
+
+\begin{corrige}
+L'intersection de $\{(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)\}$ avec $\{Y\neq 0\}$
+s'obtient en déshomogénéisant l'équation par rapport à $Y$, ce qui
+donne $(u^2+1)^2 = w^2(u^2-1)$ en notant $u = X/Y$ et $w = Z/Y$ comme
+suggéré par l'énoncé.
+
+Les points $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et
+$(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$ se voient maintenant comme les points
+$(w,u)$ de coordonnées $(0,\sqrt{-1})$ et $(0,-\sqrt{-1})$.
+\end{corrige}
 
 \medskip
 
 (2) On rappelle que l'espace vectoriel tangent à $\{h=0\}$ en un de
-ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(u,v)$ tels que
-$\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot u = 0$ et
-$\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v = 0$
-(on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de façon à
-le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant par le
-point de tangence).
+ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(v_x, v_y)$ tels
+que $\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v_x =
+0$ et $\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v_y
+= 0$ (on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de
+façon à le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant
+par le point de tangence).
 
 \smallskip
 
@@ -156,19 +203,56 @@ point de tangence).
   h}{\partial x}$ et $h'_y := \frac{\partial h}{\partial y}$ (on
 cherchera à factoriser l'écriture).
 
+\begin{corrige}
+On trouve $h'_x = 2x(2x^2+2y^2-1)$ et $h'_y = 2y(2x^2+2y^2+1)$.
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(2)}(b) Déterminer l'espace tangent à $C$
 en $(0,0)$.  Quelle est sa dimension ?
 
+\begin{corrige}
+En $(0,0)$, on a $h'_x = 0$ et $h'_y = 0$, de sorte que l'espace
+tangent est de dimension $2$.
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(2)}(c) En étudiant chacun des quatre cas selon
 que $x_0 = 0$ ou $x_0 \neq 0$ d'une part, et que $y_0 = 0$ ou $y_0
-\neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques) de $C$
-tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent.  Un tel point est dit
-« singulier ».  (On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des
-points de $C$, c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même.)
+\neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques)
+$(x_0,y_0)$ de $C$ tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent.  Un tel point
+est dit « singulier ».
+
+(On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des points de $C$,
+c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même : on cherche à
+déterminer tous les points $(x_0,y_0)$ où $h(x_0,y_0)$,
+$h'_x(x_0,y_0)$ et $h'_y(x_0,y_0)$ s'annulent simultanément.)
+
+\begin{corrige}
+On cherche à déterminer tous les points $(x_0,y_0)$ où $h(x_0,y_0)$,
+$h'_x(x_0,y_0)$ et $h'_y(x_0,y_0)$ s'annulent simultanément :
+\begin{itemize}
+\item Si $x_0 = 0$ et $y_0 = 0$, qui est bien sur $C$, on observé
+  en (2)(b) que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent, donc il s'agit d'un point
+  singulier.
+\item Si $x_0 \neq 0$ et $y_0 = 0$, on doit annuler $h(x_0,0) = x_0^4
+  - x_0^2 = x_0^2(x_0^2 - 1)$ donc $x_0^2 - 1$ donc $x_0 = \pm 1$,
+  mais alors $h'_x(x_0,0) = \pm 2$ ne s'annule pas.  Il n'y a donc pas
+  de tel point singulier.
+\item Si $x_0 = 0$ et $y_0 \neq 0$, on doit annuler $h(0,y_0) = y_0^4
+  + y_0^2 = y_0^2(y_0^2 + 1)$ donc $y_0^2 + 1$ donc $y_0 =
+  \pm\sqrt{-1}$, mais alors $h'_y(0,y_0) = \mp 2\sqrt{-1}$ ne s'annule
+  pas.  Il n'y a donc pas de tel point singulier.
+\item Si $x_0 \neq 0$ et $y_0 \neq 0$, l'annulation simultanée de
+  $h'_x$ et $h'_y$ demande celle de $2x_0^2 + 2y_0^2 - 1$ et de
+  $2x_0^2 + 2y_0^2 + 1$, ce qui est manifestement impossible.  Il n'y
+  a donc pas de tel point singulier.
+\end{itemize}
+Bref, le seul point singulier dans $\mathbb{A}^2$ est en $(x_0,y_0) =
+(0,0)$.
+\end{corrige}
 
 \smallskip
 
@@ -177,6 +261,18 @@ en (1)(c), déterminer si les points « à l'infini » trouvés en (1)(b)
 sont singuliers.  Récapituler tous les point singuliers
 de $\overline{C}$.
 
+\begin{corrige}
+On a trouvé $(u^2+1)^2 = w^2(u^2-1)$ comme équation de $\overline C
+\cap \mathbb{A}^{2\prime}$.  Les dérivées de $(u^2+1)^2 - w^2(u^2-1)$
+par rapport à $w$ et $u$ donnent respectivement $-2 w (u-1)(u+1)$ et
+$-2 u (w^2 - 2u^2 -2)$, et en en y substituant $w_0=0$ et $u_0 =
+\pm\sqrt{-1}$, on trouve $0$ dans les deux cas.  Donc les points
+$(w_0,u_0)$ en question sont singuliers.
+
+Finalement, les points singuliers de $\overline{C}$ sont $(1{:}0{:}0)$
+et $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$.
+\end{corrige}
+
 \medskip
 
 (3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini
@@ -192,6 +288,13 @@ $D_\tau$ du point de vue de la géométrie euclidienne élémentaire ?
 (y-y_c)^2 = \rho^2$ où $x_c,y_c,\rho$ sont des réels dont on donnera
 la valeur en fonction de $\tau$.)
 
+\begin{corrige}
+En écrivant $f_\tau = (x-\frac{\tau}{2})^2 + (y+\frac{\tau}{2})^2 -
+\frac{\tau^2}{2}$, on voit que $D_\tau$ est le cercle de centre
+$(\frac{\tau}{2}, -\frac{\tau}{2})$ et de
+rayon $\frac{|\tau|}{\sqrt{2}}$.
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(3)}(b) On s'intéresse à un point $(x,y)$ à
@@ -204,6 +307,20 @@ observant que $x-y \neq 0$ (ce qu'on justifiera), montrer que [le
 (\tau^2+1) y = (\tau^2-1) x
 \]
 
+\begin{corrige}
+Si on a à la fois $(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2$ et $x^2+y^2 = \tau(x-y)$, on
+a $(x^2-y^2) = \tau^2(x-y)^2$, c'est-à-dire $(x-y)((x+y)-\tau^2(x-y))
+= 0$ ou encore $(x-y)((\tau^2+1)y-(\tau^2-1)x) = 0$.
+
+Maintenant, doit point d'intersection de $C$ et de la droite $x=y$
+vérifie $(2x^2)^2 = 0$ donc $x = 0$ et du coup $y = 0$ aussi ; par
+contraposée, un point de $C$ autre que $(0,0)$ vérifie $x\neq y$,
+c'est-à-dire $x-y \neq 0$.
+
+Bref, un point de $C$ et $D_\tau$ autre que $(0,0)$ vérifie
+$(\tau^2+1)y-(\tau^2-1)x = 0$, comme annoncé.
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(3)}(c) Toujours dans les conditions de la
@@ -215,8 +332,20 @@ x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}
 y = \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}
 \tag{*}
 \]
-(On pourra remplacer dans $f_\tau$ la valeur de $y$ découlant de
-l'équation trouvée en (3)(b), et factoriser.)
+(On pourra remplacer dans $f_\tau = 0$ la valeur de $y$ en fonction de
+$x$ et $\tau$ découlant de l'équation trouvée en (3)(b), et
+factoriser.)
+
+\begin{corrige}
+Lorsque $\tau^2 + 1 \neq 0$, on trouve $y = \frac{\tau^2-1}{\tau^2+1}
+x$.  En substituant cette valeur dans $f_\tau$, on trouve $2 x
+\frac{\tau^4 x - \tau^3 + x - \tau}{(\tau^2 +1)^2}$, et l'annulation
+de $f_\tau$ (puisque $x \neq 0$ vu que le seul point de $C$ sur $x=0$
+est $(0,0)$) impose donc $\tau^4 x - \tau^3 + x - \tau = 0$,
+c'est-à-dire $x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}$.  En substituant
+$y = \frac{\tau^2-1}{\tau^2+1} x$, on obtient $y =
+\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}$, comme annoncé.
+\end{corrige}
 
 \medskip
 
@@ -234,6 +363,14 @@ calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un
 morphisme $V \to C$ ?  (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer
 ce qu'il faudrait faire.)
 
+\begin{corrige}
+L'ouvert $V$ est $\{\tau^4 + 1 \neq 0\}$, domaine de définition des
+fractions rationnelles définissant le morphisme.  Pour vérifier que le
+morphisme tombe ien dans $C$, il s'agit de vérifier que
+$h\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\,
+\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big) = 0$ (ce qui est bien le cas).
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V
@@ -244,6 +381,24 @@ point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme.  (Bien sûr,
 $\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de
 $\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.)
 
+\begin{corrige}
+Le point $\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
+\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ de $\mathbb{A}^2$ est le point
+$(\tau^4+1 : \tau\,(\tau^2+1) : \tau\,(\tau^2-1))$ de $\mathbb{P}^2$
+(les coordonnées étant, comme d'habitude, dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$).
+En identifiant $\mathbb{A}^1$ à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$
+de $\mathbb{P}^1$, on obtient, en homogénéisant, $\psi \colon (t_0 :
+t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0
+t_1\,(t_1^2-t_0^2))$.  On vérifie facilement que les trois coordonnées
+de ce morphisme ne peuvent jamais s'annuler simultanément (sauf si
+$t_0$ et $t_1$ s'annulent, ce qui est exclu sur $\mathbb{P}^1$), donc
+on a bien défini un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$, qui
+tombe dans $\overline{C}$ car les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ qu'on
+vient de dire vérifient l'équation $(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)$
+trouvée en (1)(a) (c'est la même vérification que (4)(a) une fois
+chassés les dénominateurs).
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des
@@ -251,12 +406,61 @@ points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement
 $(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ?  En déduire que $\psi$
 n'est pas un isomorphisme.
 
+\begin{corrige}
+La valeur $\psi(0)$ peut se calculer directement à partir de la
+description affine $\tau \mapsto
+\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
+\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ et on trouve $(0,0)$.  On peut
+bien sûr aussi substituer $t_0 = 1$ et $t_1 = 0$ dans $(t_1^4+t_0^4 :
+t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne
+(heureusement !) le même résultat.
+
+La valeur $\psi(\infty)$ s'obtient en substituant $t_0 = 0$ et $t_1 =
+1$ dans $(t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0
+t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne le même point $(1{:}0{:}0)$,
+origine de $\mathbb{A}^2$.
+
+Le point en question étant parcouru deux fois par le paramétrage,
+$\psi$ n'est pas bijective, donc n'est pas un isomorphisme.
+\end{corrige}
+
 \smallskip
 
 \leavevmode\hphantom{(4)}(d) En utilisant la paramétrisation qu'on a
 trouvée, énumérer un maximum de points rationnels de $C$ et
 de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 =
-\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments.
+\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments.  Qu'en est-il des points
+trouvés en (1)(b) ?
+
+\begin{corrige}
+En substituant les six points ($(0{:}1)$ et $(1{:}i)$ pour
+$i\in\{0,1,2,3,4\}$) de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}$ dans $\psi
+\colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) :
+t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, on obtient les points $(0,0)$ (deux fois),
+$(1, 0)$, $(0, 2)$, $(0, 3)$, $(4, 0)$, tous dans $\mathbb{A}^2$
+(c'est-à-dire $(1{:}0{:}0)$, $(1{:}1{:}0)$, $(1{:}0{:}2)$,
+$(1{:}0{:}3)$, $(1{:}4{:}0)$ dans $\mathbb{P}^2$).  (Pour simplifier
+les calculs à la main, il est bien sûr préférable d'écrire $4$
+comme $-1$ et $3$ comme $-2$.)
+
+Les points singuliers à l'infini $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et
+$(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$, c'est-à-dire, sur $\mathbb{F}_5$,
+$(0{:}2{:}1)$ et $(0{:}3{:}1)$, n'ont pas été atteints par le
+paramétrage sur des points rationnels de $\mathbb{P}^1$.  (On les
+obtient, chacun deux fois, en $(1{:}\tau)$ pour $\tau$ valant une des
+racines de $2$ ou $3$ dans $\mathbb{F}_{25}$, c'est-à-dire une des
+racines quatrièmes de $-1$ dans $\mathbb{F}_5$.)
+\end{corrige}
+
+\medskip
+
+(5) Tracer l'allure de la courbe $C$ dans le cas $k = \mathbb{R}$.
+
+\begin{corrige}
+On obtient une figure à l'allure de $8$ couché (c'est-à-dire,
+symbole $\infty$) avec le point double en $(0,0)$ (et des points ayant
+tangente verticale en $(-1,0)$ et $(1,0)$).
+\end{corrige}
 
 
 
-- 
cgit v1.2.3

