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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 15 Jun 2020 19:08:40 +0200
Subject: More questions + slight fixes.

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 controle-2020qcm.tex | 174 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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+++ b/controle-2020qcm.tex
@@ -166,8 +166,8 @@ aucun de ceux-ci
 \begin{question}
 
 Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel
-$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) reliant les
-points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ?
+$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$)
+reliant les points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ?
 
 \rightanswer
 $x - 2y + z = 0$
@@ -183,8 +183,8 @@ $x - 2y + z = 0$ et $y - 2 = 0$
 \begin{question}
 
 Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel
-$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) sur le
-corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et
+$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$)
+sur le corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et
 $(2{:}2{:}1)$ ?
 
 \rightanswer
@@ -201,6 +201,29 @@ $x + y + z = 0$ et $y - 2 = 0$
 \end{qvar}
 
 
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Quelle est l'équation du plan de l'espace projectif réel
+$\mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ (de coordonnées
+homogènes $(t{:}x{:}y{:}z)$) passant par $(1{:}1{:}0{:}0)$,
+$(1{:}0{:}1{:}0)$ et $(1{:}0{:}0{:}1)$ ?
+
+\rightanswer
+$t-x-y-z = 0$
+
+\answer
+$t=1$
+
+\answer
+$t=1$ et $x+y+z=1$
+
+\end{question}
+
+
 %
 %
 %
@@ -286,8 +309,8 @@ $8$
 
 Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
 du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ du plan
-projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$)
-sur le corps à $5$ éléments ?
+projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées
+homogènes $(x{:}y{:}z)$) sur le corps à $5$ éléments ?
 
 \rightanswer
 $6$
@@ -307,8 +330,8 @@ $7$
 
 Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
 du fermé de Zariski $\{(x,y) : x^2 + y^2 - 1 = 0\}$ du plan
-affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x,y)$) sur le
-corps à $5$ éléments ?
+affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées homogènes $(x,y)$)
+sur le corps à $5$ éléments ?
 
 \rightanswer
 $4$
@@ -389,6 +412,49 @@ $\infty$
 \end{qvar}
 
 
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$) de
+coordonnées homogènes $(T{:}X{:}Y{:}Z)$, les équations $T+X+Y+Z = 0$
+et $T-X-Y+Z = 0$ définissent...
+
+\rightanswer
+une droite
+
+\answer
+un plan
+
+\answer
+un point
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$) de
+coordonnées homogènes $(T{:}X{:}Y{:}Z)$, les équations $T-X-Y+Z =
+T-X+Y-Z = T+X-Y-Z = 0$ définissent...
+
+\rightanswer
+le point $(1{:}1{:}1{:}1)$
+
+\answer
+une droite
+
+\answer
+l'ensemble vide
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
 %
 %
 %
@@ -469,6 +535,34 @@ complexes
 \end{question}
 
 
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Soit $\mathbb{F}_2$ le corps fini à deux éléments et
+$\mathbb{F}_2^{\alg}$ sa clôture algébrique ($\bigcup_{n=1}^{+\infty}
+\mathbb{F}_{2^n}$), et considérons le fermé de Zariski $F := \{x^4 y +
+x y^4 = 0\}$ dans la droite projective $\mathbb{P}^1$ (de coordonnées
+homogènes $(x{:}y)$) sur $\mathbb{F}_2$.  Qu'est-ce qui décrit le
+mieux les points de $F$ ?
+
+\rightanswer
+$F$ a trois points sur $\mathbb{F}_2$ (“points rationnels”) et deux
+autres points sur $\mathbb{F}_2^{\alg}$ (“points géométriques”) qui ne
+sont pas définis sur $\mathbb{F}_2$
+
+\answer
+$F$ a cinq points sur $\mathbb{F}_2$ (“points rationnels”)
+
+\answer
+$F$ a cinq points sur $\mathbb{F}_2^{\alg}$ (“points géométriques”)
+dont aucun n'est défini sur $\mathbb{F}_2$
+
+\end{question}
+
+
 %
 %
 %
@@ -502,7 +596,7 @@ $x(x-1)y(y-1)$
 Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{R}[x,y,z]$ des
 polynômes réels en trois variables engendré par les polynômes
 homogènes s'annulant au point $(0{:}0{:}1)$ de $\mathbb{P}^2$ de
-coordonnées homogènes $(x,y,z)$ (autrement dit, $I =
+coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$ (autrement dit, $I =
 \mathfrak{I}(\{(0{:}0{:}1)\})$).  Cet idéal $I$ est engendré par...
 
 \rightanswer
@@ -579,6 +673,68 @@ $(0{:}1{:}0)$, $(0{:}-1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}0{:}-1)$
 \end{qvar}
 
 
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{F}_5[t]$ formé des polynômes
+sur le corps fini à cinq éléments en la variable $t$ qui s'annulent en
+chacun des cinq points $0,1,2,3,4$ de $\mathbb{A}^1$ (autrement dit,
+$I = \mathfrak{I}(\{0,1,2,3,4\})$).  Cet idéal est engendré par...
+
+\rightanswer
+$t^5 - t$
+
+\answer
+$0$ (c'est l'idéal nul)
+
+\answer
+$t$, $t-1$, $t-2$, $t-3$ et $t-4$
+
+\answer
+$t^5 - 1$
+
+\answer
+$t^4 - 1$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{F}_5[x,y,z]$ des
+polynômes en trois variables (sur le corps à cinq éléments) engendré
+par les polynômes homogènes s'annulant en chaque $\mathbb{F}_5$-point
+(= “point rationnel” ; c'est-à-dire s'annulant en chaque point dont
+les coordonnées homogènes sont toutes dans $\mathbb{F}_5$) du plan
+projectif $\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$ ;
+autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5))$).  Cet
+idéal $I$ est engendré par...
+
+\rightanswer
+$x^5 y - y^5 x$, $y^5 z - z^5 y$ et $z^5 x - x^5 z$
+
+\answer
+$0$ (c'est l'idéal nul)
+
+\answer
+$1$ (c'est l'idéal unité)
+
+\answer
+$x$, $y$ et $z$
+
+\answer
+$x^5 - x$, $y^5 - y$ et $z^5 - z$
+
+\end{question}
+
+
 \end{qcm}
 %
 %
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