From 3ea3e0740f5f7cd4fb2289ba50e88b206c9b85eb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 8 Apr 2021 19:22:12 +0200
Subject: Start writing test.

---
 controle-20210414.tex | 259 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 259 insertions(+)
 create mode 100644 controle-20210414.tex

(limited to 'controle-20210414.tex')

diff --git a/controle-20210414.tex b/controle-20210414.tex
new file mode 100644
index 0000000..a40e088
--- /dev/null
+++ b/controle-20210414.tex
@@ -0,0 +1,259 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
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+\usepackage{amsthm}
+%
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+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
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+\newif\ifcorrige
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+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
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+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\else
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\fi
+\author{}
+\date{14 avril 2021}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
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+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+\textcolor{red}{À écrire}
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des appareils électroniques est interdit.
+
+\medbreak
+
+Durée : 2h
+
+\ifcorrige
+Ce corrigé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse).
+\else
+Cet énoncé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse).
+\fi
+
+\vfill
+{\noindent\tiny
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
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+
+\pagebreak
+
+
+%
+%
+%
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on
+pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
+clôture algébrique.
+
+\smallbreak
+
+\textbf{(1)} Montrer le fait suivant (théorème d'Euler sur les
+polynômes homogènes) : si $h$ est un polynôme homogène de degré $\ell$
+en les variables $t_0,\ldots,t_n$ alors $t_j\,\sum_{j=0}^n
+\frac{\partial h}{\partial t_j} = \ell h$ (égalité dans
+$k[t_0,\ldots,t_n]$).  Pour cela, on pourra justifier qu'il suffit de
+le prouver lorsque $h$ est un monôme.
+
+\smallbreak
+
+Dans la question qui suit, on s'intéresse à une équation de degré $2$
+sur la droite :
+
+\textbf{(2)} (a) Pour $c_0,c_1\in k$, considérons le polynôme unitaire
+$q := t^2 + c_1 t + c_0$ (en une indéterminée $t$) : en posant $\Delta
+:= c_1^2 - 4 c_0$, expliquer pourquoi, si $\Delta$ est nul, $q$ est le
+carré d'un polynôme unitaire de degré $1$ dans $k[t]$, tandis que si
+$\Delta$ est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[t]$ de deux
+polynômes unitaires de degré $1$ distincts, ces polynômes étant dans
+$k[t]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré
+dans $k$. $\bullet$ (b) En déduire que, si $c_0,c_1,c_2$ sont trois
+éléments de $k$ non tous nuls, et si on on appelle $q := c_2 x^2 + c_1
+x y + c_0 y^2$ (polynôme homogène de degré $2$ en les
+indéterminées $x,y$) et si on pose $\Delta := c_1^2 - 4 c_0 c_2$,
+alors, de façon analogue, si $\Delta$ est nul, $q$ est le carré d'un
+polynôme homogène de degré $1$ dans $k[x,y]$, tandis que si $\Delta$
+est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[x,y]$ de deux polynômes
+homogènes de degré $1$ non proportionnels, ces polynômes étant dans
+$k[x,y]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré
+dans $k$. $\bullet$ (c) Reformuler ce résultat concernant le fermé de
+Zariski $\{c_2 x^2 + c_1 x y + c_0 y^2 = 0\}$ de la droite projective
+$\mathbb{P}^1$ (de coordonnées homogènes notées $(x:y)$) sur $k$ :
+pour $\Delta\neq 0$, ce fermé a exactement deux points géométriques
+(c'est-à-dire à coefficients dans $k^{\alg}$) distincts, qui sont
+rationnels (c'est-à-dire à coefficients dans $k$) si et seulement si
+$\Delta$ est un carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a
+exactement un point géométrique, et celui-ci est rationnel.
+
+\smallbreak
+
+\textbf{(3)} Si $u,v,w$ sont trois éléments de $k$ non tous nuls, de
+sorte que $\{ux+vy+wz = 0\}$ définit une droite $D$ dans le plan
+projectif $\mathbb{P}^2$ sur $k$ de coordonnées homogènes $(x:y:z)$,
+expliquer pourquoi si $w\neq 0$ alors $(x:y:z) \mapsto (x:y)$ définit
+un isomorphisme $D \to \mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire un morphisme de
+variétés algébriques dont la réciproque est encore un morphisme de
+variétés algébriques).  Donner de même des isomorphismes $D \to
+\mathbb{P}^1$ dans les autres cas possibles.
+
+\medbreak
+
+On va maintenant s'intéresser à une équation de degré $2$ dans le
+plan.
+
+Plus précisément, on appelle \emph{conique} plane sur $k$ une variété
+algébrique projective (i.e., un fermé de Zariski) $C_q$ dans
+$\mathbb{P}^2$ définie par une équation $q = 0$ où $q \in k[x,y,z]$
+est un polynôme homogène de degré $2$ (on dit aussi « forme
+quadratique ») non nul\footnote{\label{nonsquare-footnote}On pourra
+  aussi librement faire l'hypothèse que $q$ n'est pas le carré d'un
+  polynôme $l$ de degré $1$ (= forme linéaire) ; en effet, s'il l'est,
+  la conique $\{q=0\}$ est simplement réduite à la droite $\{l=0\}$
+  mais l'idéal $(q)$ n'est pas radical (il faut imaginer la conique
+  comme la droite « doublée ») : on ignorera donc ce cas.} en trois
+variables $x,y,z$ qu'on identifie aux coordonnées homogènes
+sur $\mathbb{P}^2$.  À titre d'exemple, $\{x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ est
+une telle conique.  En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q
+= a_x\, x^2 + a_y\, y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$
+avec $a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$.
+
+\smallbreak
+
+\textbf{(4)} On rappelle qu'un point $(x_0:y_0:z_0)$ de $C_q$ est dit
+\emph{singulier} lorsque $\frac{\partial q}{\partial x}$,
+$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$
+s'annulent simultanément en $(x_0:y_0:z_0)$.  Expliquer pourquoi un
+point vérifiant ces conditions est automatiquement sur $C_q$ (i.e.,
+pourquoi l'annulation de $\frac{\partial q}{\partial x}$,
+$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ en
+$(x_0:y_0:z_0)$ quelconque de $\mathbb{P}^2$ implique celle de $q$).
+Donner une condition sur les coefficients de leurs équations pour que
+trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient concourantes.  En déduire que
+la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si ses
+coefficients vérifient
+\[
+4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z = 0
+\]
+et qu'il revient au même de dire qu'elle a un point singulier
+rationnel (c'est-à-dire à coordonnées dans $k$) ou géométrique
+(c'est-à-dire à coordonnées dans $k^{\alg}$).
+
+\smallbreak
+
+\textbf{(5)} Dans cette question, on souhaite mieux comprendre la
+structure d'une conique ayant un point singulier $(x_0:y_0:z_0)$.
+Expliquer pourquoi on peut supposer que ce point singulier est le
+point $(0:0:1)$.  Montrer que la conique est alors $\{a_x\, x^2 +
+b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$.  En utilisant le résultat de la
+question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x a_y$, qu'on
+supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}), montrer que la
+conique $C_q$ est la réunion de deux droites géométriques
+(c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients dans $k^{\alg}$),
+s'intersectant au point singulier, et que si $\Delta$ est un carré
+dans $k$, ces droites sont, en fait, rationnelles (c'est-à-dire que
+leurs équations sont à coefficients dans $k$).  $\bullet$ Donner un
+exemple aussi simple que possible, sur $\mathbb{R}$, de conique réelle
+ayant un point singulier (disons $(0:0:1)$), d'une part dans la
+situation où les deux droites dont elle est réunion sont réelles, et
+d'autre part dans la situation où elles sont complexes.
+
+\smallbreak
+
+On supposera maintenant la conique $C_q$ \emph{lisse}, c'est-à-dire
+vérifiant $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y
+b_z \neq 0$ (cf. question (4)).
+
+On appellera \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$)
+d'un point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non
+nécessairement situé sur $C_q$) la droite $\{ux+vy+wz = 0\}$ dont les
+coefficients $u,v,w$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial x}$,
+$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$
+respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$.
+
+\textbf{(6)} Pourquoi cette définition a-t-elle un sens ?  (Autrement
+dit, pourquoi $u,v,w$ ne s'annulent-ils pas simultanément ?  Et
+pourquoi la droite ne dépend-elle pas du choix des coordonnées
+homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?)  Montrer que $P_0 :=
+(x_0:y_0:z_0)$ est sur $C_q$ si et seulement si il est situé sur sa
+propre droite polaire.  Montrer que, lorsque c'est le cas, la droite
+polaire $D_0$ en question rencontre $C_q$ en l'unique point
+(géométrique) $P_0$ ; on dit que c'est la \emph{tangente} à $C_q$
+en $P_0$.
+
+\textbf{(7)} Si $P_0$ et $P_1$ sont deux points de $\mathbb{P}^2$,
+montrer que $P_1$ est sur la droite polaire de $P_0$ si et seulement
+si $P_0$ est sur la droite polaire de $P_1$ (on pourra exprimer ce
+fait de comme une équation symétrique entre les coordonnées homogènes
+$(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles $(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$).
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

