From 4cd7631ecca76fc25e527846a721202494ea5881 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 7 Apr 2022 14:09:37 +0200
Subject: More stuff and ideas for the test.

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 controle-20220413.tex | 93 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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index da108d6..1d76aa3 100644
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+++ b/controle-20220413.tex
@@ -33,6 +33,7 @@
 %
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
@@ -149,6 +150,98 @@ de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm
 1, \pm 1)$.
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Sur un corps $k$ quelconque, considérons l'application $\varphi$
+définie sur une partie de $\mathbb{P}^2$ et à valeurs dans
+$\mathbb{P}^2$ qui envoie le point de coordonnées homogènes $(X:Y:Z)$
+sur $(YZ:XZ:XY)$ si défini.
+
+(1) Quel est l'ouvert de Zariski $U$ de définition de $\varphi$ ?
+Exprimer celui-ci comme le complémentaire de trois points de
+$\mathbb{P}^2$ dont on précisera les coordonnées.
+
+(2) Quel est l'ouvert de Zariski $V$ des points (de $U$) dont l'image
+par $\varphi$ appartient à $U$ ?  Exprimer celui-ci comme le
+complémentaire de trois droites de $\mathbb{P}^2$ dont on précisera
+les équations.
+
+(3) Que vaut $\varphi\circ\varphi$ sur $V$ ?
+
+
+%
+%
+%
+
+%% \exercice
+
+%% On définit deux suites de polynômes $(T_n)$ et $(U_n)$
+%% dans $\mathbb{Z}[x]$ (polynômes de Čebyšëv de première et seconde
+%% espèce) par les formules de récurrence suivantes :
+%% \[
+%% \left\{\begin{aligned}
+%% T_0(x) &= 1\\
+%% T_1(x) &= x\\
+%% T_{n+1}(x) &= 2x\, T_n(x) - T_{n-1}(x)\\
+%% \end{aligned}\right.
+%% \;\;\;\hbox{~et~}\;\;\;
+%% \left\{\begin{aligned}
+%% U_{-1}(x) &= 0\\
+%% U_0(x) &= 1\\
+%% U_{n+1}(x) &= 2x\, U_n(x) - U_{n-1}(x)\\
+%% \end{aligned}\right.
+%% \]
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $0$ et qu'on supposera
+algébriquement clos pour simplifier.  Soient $\xi_1,\ldots,\xi_5 \in
+k$ deux à deux distincts : on appelle $p(x) = (x-\xi_1)\cdots(x-\xi_5)
+\in k[x]$ le polynôme unitaire ayant les $\xi_i$ pour racines.  On
+appelle $C^+$ la courbe (dite « hyperelliptique ») obtenue en ajoutant
+un point à l'infini noté $\infty$ à la variété algébrique affine $C$
+d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$.
+
+On admettra sans justification les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item Que son corps des fonctions $K := k(C^+)$ peut se voir comme le
+  quotient $k(x)[y]/(y^2 - p(x))$ de l'anneau $k(x)[y]$ des polynômes
+  en l'indéterminée $y$ sur le corps $k(x)$ des fractions rationnelles
+  en une indéterminée $x$ sur $k$ par le polynôme $y^2 - p(x)$
+  définissant $C$, c'est-à-dire, concrètement :
+\item que tout élément de $K$ peut s'écrire de façon unique $g_0 +
+  g_1\,y$ où $g_0,g_1 \in k(x)$ sont deux fractions rationnelles
+  en $x$, l'addition se calculant en ajoutant terme à terme, et la
+  multiplication en développant le produit et en remplaçant $y^2$ par
+  $p(x)$.
+\end{itemize}
+
+On rappelle par ailleurs qu'on appelle \emph{valuation discrète} sur
+$K$ au-dessus de $k$ une fonction $v\colon K\to
+\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
+\textbf{(o)} $v(f) = \infty$ si et seulement si $f=0$,\quad
+\textbf{(i)} $v(f_1 + f_2) \geq \min(v(f_1), v(f_2))$ (avec
+automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad
+\textbf{(ii)} $v(f_1 f_2) = v(f_1) + v(f_2)$,\quad \textbf{(k)} $v(c)
+= 0$ si $c\in k$,\quad et enfin \textbf{(n)} il existe $f\in K$ telle
+que $v(f) = 1$.  De plus, on rappelle que pour chaque point $P$
+de $C^+$ il existe une unique telle valuation discrète $v =: \ord_P$
+vérifiant en outre \textbf{(r)} $v(f) \geq 0$ si $f$ est régulière
+en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$) ; et
+réciproquement, toute valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$ est
+de cette forme (est un $\ord_P$ pour un certain $P$).
+
+
+
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cgit v1.2.3

