From b8d2c03db36a2a3f73e1c868cf7fa39c896789aa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 25 Jun 2025 18:12:35 +0200
Subject: Fix various small mistakes in test and answer key.

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@@ -146,15 +146,15 @@ alors il vérifie $x^3 + y^3 = 0$.  On ne peut pas aussi avoir $x=0$
 car ceci forcerait $y=0$ ce qui n'est pas possible : on a donc
 $(-\frac{y}{x})^3 = 1$, c'est-à-dire que $-\frac{y}{x}$ est l'une des
 trois racines cubiques de l'unité $1,\omega,\omega^2$.  Bref, les
-trois points de $C$ sur la droite $\{z=0\}$ sont $(1{:}-1{:}0)$,
-$(1{:}-\omega{:}0)$ et $(1{:}-\omega^2{:}0)$.  Symétriquement, les
-trois points de $C$ sur la droite $\{x=0\}$ sont $(0{:}1{:}-1)$,
-$(0{:}1{:}-\omega)$ et $(0{:}1{:}-\omega^2)$, et les trois points de
-$C$ sur la droite $\{x=0\}$ sont $(-1{:}0{:}1)$, $(-\omega{:}0{:}1)$
+trois points de $C$ sur la droite $\{z=0\}$ sont $(1{:}{-1}{:}0)$,
+$(1{:}{-\omega}{:}0)$ et $(1{:}{-\omega^2}{:}0)$.  Symétriquement, les
+trois points de $C$ sur la droite $\{x=0\}$ sont $(0{:}1{:}{-1})$,
+$(0{:}1{:}{-\omega})$ et $(0{:}1{:}{-\omega^2})$, et les trois points de
+$C$ sur la droite $\{y=0\}$ sont $(-1{:}0{:}1)$, $(-\omega{:}0{:}1)$
 et $(-\omega^2{:}0{:}1)$.  Notons que chacun de ces neuf points peut
 se réécrire de diverses manières, par exemple les trois derniers
-s'écrivent aussi $(1{:}0{:}-1{:})$, $(1{:}0{:}-\omega^2)$ et
-$(1{:}0{:}-\omega)$ respectivement.
+s'écrivent aussi $(1{:}0{:}{-1})$, $(1{:}0{:}{-\omega^2})$ et
+$(1{:}0{:}{-\omega})$ respectivement.
 \end{corrige}
 
 (3) Quelle est l'équation affine de la partie de $C$ située dans
@@ -172,7 +172,7 @@ u^3 + v^3 + 1 = 0
 \vskip-3ex\leavevmode
 \end{corrige}
 
-(4) Calculer la droite tangente à $C$ au point $(0{:}-1{:}1)$.  Quel
+(4) Calculer la droite tangente à $C$ au point $(0{:}{-1}{:}1)$.  Quel
 est l'ordre d'annulation la fonction $\frac{x}{z}$ en ce point ?  En
 déduire quel est l'ordre d'annulation de la fonction $\frac{y}{z}+1$
 en ce point.  (On recommande de faire les calculs dans $\mathbb{A}^2$,
@@ -187,7 +187,7 @@ l'équation $u^3 + v^3 + 1$ de la partie affine de $C$ en ce point, ce
 qui donne $-3(v+1) = 0$, c'est-à-dire $v=1$.  Autrement dit, il s'agit
 de la droite horizontale par le point $(0,-1)$ considéré.
 
-La coordonnée $v$ s'annulant à l'ordre $1$ en $0$ sur la droite $v=1$
+La coordonnée $u$ s'annulant à l'ordre $1$ en $0$ sur la droite $v=1$
 tangente à $C$, elle s'annule aussi à l'ordre $1$ en $0$ sur $C$,
 c'est-à-dire $\ord_{(0,-1)}u = 1$.
 
@@ -207,22 +207,22 @@ que le degré est bien ce qu'il doit être.
 
 \begin{corrige}
 On a vu que la fonction rationnelle $\frac{x}{z}$ s'annule exactement
-aux points $(0{:}1{:}-1)$, $(0{:}1{:}-\omega)$ et
-$(0{:}1{:}-\omega^2)$, et à chaque fois c'est à l'ordre $1$ (la
+aux points $(0{:}1{:}-1)$, $(0{:}1{:}{-\omega})$ et
+$(0{:}1{:}{-\omega^2})$, et à chaque fois c'est à l'ordre $1$ (la
 question précédente le donne pour le premier de ces points, mais pour
 les deux autres on peut par exemple appliquer la transformation
 projective multipliant la coordonnée $z$ par $\omega$, qui laisse
 invariante la courbe $C$).  Son inverse $\frac{z}{x}$ s'annule
-exactement aux trois points $(1{:}-1{:}0)$, $(1{:}-\omega{:}0)$ et
-$(1{:}-\omega^2{:}0)$, là aussi à l'ordre $1$ à chaque fois, par
+exactement aux trois points $(1{:}{-1}{:}0)$, $(1{:}{-\omega}{:}0)$ et
+$(1{:}{-\omega^2}{:}0)$, là aussi à l'ordre $1$ à chaque fois, par
 permutation des coordonnées.  Le diviseur de la fonction $\frac{x}{z}$
 est donc
 \[
 \begin{aligned}
-& [(0{:}1{:}-1)] + [(0{:}1{:}-\omega)] +
-  [(0{:}1{:}-\omega^2)]\\
--\, & [(1{:}-1{:}0)] - [(1{:}-\omega{:}0)] -
-  [(1{:}-\omega^2{:}0)]
+& [(0{:}1{:}{-1})] + [(0{:}1{:}{-\omega})] +
+  [(0{:}1{:}{-\omega^2})]\\
+-\, & [(1{:}{-1}{:}0)] - [(1{:}{-\omega}{:}0)] -
+  [(1{:}{-\omega^2}{:}0)]
 \end{aligned}
 \]
 Son degré vaut bien $0$ comme il sied à un diviseur principal.  Quant
@@ -231,9 +231,9 @@ qui sont eux mêmes les mêmes que ceux de $\frac{x}{z}$ pour les mêmes
 raisons que cei-dessus, et l'unique zéro, triple, de $\frac{y}{z}+1$ a
 été révélé à la question (4): bref, le diviseur de $\frac{y}{z}+1$ est
 \[
-3\cdot [(0{:}1{:}-1)]
-- [(1{:}-1{:}0)] - [(1{:}-\omega{:}0)] -
-  [(1{:}-\omega^2{:}0)]
+3\cdot [(0{:}1{:}{-1})]
+- [(1{:}{-1}{:}0)] - [(1{:}{-\omega}{:}0)] -
+  [(1{:}{-\omega^2}{:}0)]
 \]
 De nouveau, il est bien de degré $0$.
 \end{corrige}
@@ -255,7 +255,7 @@ On rappelle que $v \colon K \to \mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ vérifie
 notamment les propriétés suivantes :
 \begin{itemize}
 \item $v(f) = +\infty$ ssi $f=0$, et $v(c)=0$ si $c\in k^\times$ ;
-\item $v(f+g) \leq \min(v(f),v(g))$ avec égalité si $v(f)\neq v(g)$ ;
+\item $v(f+g) \geq \min(v(f),v(g))$ avec égalité si $v(f)\neq v(g)$ ;
 \item $v(fg) = v(f)+v(g)$.
 \end{itemize}
 
@@ -272,8 +272,8 @@ x_0^d + z x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0
 \]
 n'a pas de $K$-point, c'est-à-dire que l'équation ci-dessus
 (algébrique homogène de degré $d$ en $d$
-indéterminées\footnote{Attention, $z$ est un élément de $K$, ce n'est
-pas une indéterminée !} $x_0,\ldots,x_{d-1}$) n'a pas de solution
+inconnues\footnote{Attention, $z$ est un élément de $K$, ce n'est
+pas une inconnue !} $x_0,\ldots,x_{d-1}$) n'a pas de solution
 dans $K$ autre que $(0,\ldots,0)$.
 
 \smallskip
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cgit v1.2.3

