From cd27ebbd64c50d235bb6b8da9b444290c91af3f7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 14 Apr 2025 20:18:32 +0200
Subject: Draft of a test for 2025.

---
 controle-20250416.tex | 466 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 466 insertions(+)
 create mode 100644 controle-20250416.tex

(limited to 'controle-20250416.tex')

diff --git a/controle-20250416.tex b/controle-20250416.tex
new file mode 100644
index 0000000..b382d2b
--- /dev/null
+++ b/controle-20250416.tex
@@ -0,0 +1,466 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
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+\usepackage{amsthm}
+%
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+%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
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+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Whatever}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercise{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercise~\thecomcnt.}\par\nobreak}
+\let\exercice=\exercise
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+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
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+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
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+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
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+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
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+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{FMA-4AC05-TP / ACCQ205\\Contrôle de connaissances — corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\else
+\title{FMA-4AC05-TP / ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\fi
+\author{}
+\date{2025-04-16}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Instructions.}
+
+Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire
+est précisé.  Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais
+on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies
+où commence chaque exercice.
+
+La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les exercices ont été
+formulés de manière à rappeler le contexte et certaines notions du
+cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes
+que les questions.
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des calculatrices électroniques est interdit.
+
+Les réponses peuvent être écrites en français ou en anglais.
+
+\ifcorrige
+Ce corrigé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
+\else
+Cet énoncé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse).
+\fi
+
+\vfill
+{\noindent\tiny
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et $C$ la variété
+algébrique d'équation
+\[
+x^3 + y^3 + z^3 = 0
+\]
+dans $\mathbb{P}^2$ de coordonnées $(x{:}y{:}z)$ sur $k$.
+
+(1) Montrer que $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial
+  f}{\partial y}$ et $\frac{\partial f}{\partial z}$, où $f := x^3 +
+y^3 + z^3$, n'ont pas de zéro commun dans $\mathbb{P}^2$.  On rappelle
+que ceci nous permet de conclure que $C$ est une courbe (plane).
+
+(2) Quels sont les points géométriques de $C$ situés la droite
+$\{z=0\}$ ?  On pourra noter $\omega$ une racine primitive cubique de
+l'unité dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.  Par symétrie,
+on donnera aussi les points géométriques de $C$ sur les droites
+$\{x=0\}$ et $\{y=0\}$.
+
+(3) Quelle est l'équation affine de la partie de $C$ située dans
+l'espace affine $\mathbb{A}^2$ complémentaire de la droite $\{z=0\}$
+dans $\mathbb{P}^2$ ?  On appellera $u,v$ les coordonnées affines sur
+ce $\mathbb{A}^2$, qu'on exprimera par rapport aux coordonnées
+homogènes $x,y,z$ sur $\mathbb{P}^2$.
+
+(4) Calculer la droite tangente à $C$ au point $(0{:}-1{:}1)$.  Quel
+est l'ordre d'annulation la fonction $\frac{x}{z}$ en ce point ?  En
+déduire quel est l'ordre d'annulation de la fonction $\frac{y}{z}+1$
+en ce point.  (On recommande de faire les calculs dans $\mathbb{A}^2$,
+et éventuellement de faire une translation pour se ramener à l'origine
+de $\mathbb{A}^2$.)
+
+(5) Quels sont les diviseurs principaux associés aux fonctions
+rationnelles $\frac{x}{z}$ et $\frac{y}{z}+1$ sur $C$ ?  On vérifiera
+que le degré est bien ce qu'il doit être.
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $K = k(C)$ le corps de fonctions\footnote{I.e., le corps des
+fonctions rationnelles sur $C$.} d'une courbe $C$ sur un corps $k$.
+Soit $P$ un point géométrique de $C$.  Pour $f \in K$, on notera $v(f)
+:= \ord_P(f)$ l'ordre d'annulation de $f$ en $P$ (aussi appelé
+« valuation » de $f$ en $P$).
+
+On rappelle que $v \colon K \to \mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ vérifie
+notamment les propriétés suivantes :
+\begin{itemize}
+\item $v(f) = +\infty$ ssi $f=0$, et $v(c)=0$ si $c\in k^\times$ ;
+\item $v(f+g) \leq \min(v(f),v(g))$ avec égalité si $v(f)\neq v(g)$ ;
+\item $v(fg) = v(f)+v(g)$.
+\end{itemize}
+
+\smallskip
+
+Soit $z \in K$ une uniformizante en $P$ (autrement dit, $v(z) = 1$).
+Soit enfin $d \geq 2$ un entier naturel.
+
+On cherche à montrer que la variété algébrique projective définie dans
+$\mathbb{P}^{d-1}$ de coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_{d-1})$
+par l'équation
+\[
+x_0^d + z x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0
+\]
+n'a pas de $K$-point, c'est-à-dire que l'équation ci-dessus
+(algébrique homogène de degré $d$ en $d$
+indéterminées\footnote{Attention, $z$ est un élément de $K$, ce n'est
+pas une indéterminée !} $x_0,\ldots,x_{d-1}$) n'a pas de solution
+dans $K$ autre que $(0,\ldots,0)$.
+
+\smallskip
+
+Pour cela, on va raisonner sur la valuation $v(x_j)$ des $x_j$ :
+expliquer pourquoi, si $x \in K^\times$ alors $v(z^i x^d)$ est congru
+à $i$ modulo $d$ ; en déduire que deux termes de la somme $x_0^d + z
+x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$ n'ont jamais la même
+valuation, et conclure.
+
+\smallskip
+
+On pourra au préalable prouver l'affirmation suivante : si dans la
+somme $g_1 + \cdots + g_m$ d'éléments de $K$ un des termes a une
+valuation \emph{strictement plus petite} que tous les autres, alors la
+somme n'est pas nulle.
+
+\begin{corrige}
+On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un
+multiple de $d$.  Par conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est
+congru à $i$ modulo $d$.  Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z
+x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que
+deux termes aient la même valuation (puisqu'elles sont congrues à des
+valeurs différentes modulo $d$) sauf si cette valuation est $\infty$,
+c'est-à-dire que les termes sont nuls.  Donc dès lors que tous les
+termes ne sont pas nuls, il y en a un qui a une valuation
+\emph{strictement} plus petite que tous les autres.  La somme ne peut
+pas être nulle, ce qui prouve le résultat voulu.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Dans cet exercice, on \emph{admet} le résultat suivant.  Soit $k$ un
+corps \emph{algébriquement clos}, soient $n \geq m$ des entiers
+naturels, et soient $f_1,\ldots,f_m \in k[t_0,\ldots,t_n]$ des
+polynômes \emph{homogènes} de degrés\footnote{Non supposés égaux.}
+tous $\geq 1$ en les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$.
+Alors\footnote{L'explication intuitive est que chaque polynôme $f_j$
+fait tomber la dimension d'au plus $1$ et comme on part de
+$\mathbb{P}^n$ qui est de dimension $n$ et qu'on considère $m\leq n$
+polynômes, il reste forcément quelque chose à la fin.} la variété
+algébrique projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f_1,\ldots,f_m)$ définie dans
+$\mathbb{P}^n$ par les équations $f_1 = \cdots = f_m = 0$ n'est pas
+vide, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun autre que
+le zéro trivial $(0,\ldots,0)$.
+
+\smallskip
+
+Soit maintenant $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, et soit $K$
+le corps de fonctions d'une courbe $C$ sur $k$ (dans les questions
+(1) et (2), on supposera même que cette courbe est $\mathbb{P}^1$).
+
+\smallskip
+
+On considère $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ un polynôme \emph{homogène} en
+les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0
+< d \leq n$.  Le but de l'exercice est de montrer que la variété
+algébrique projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f)$ définie dans
+$\mathbb{P}^n$ de coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_n)$ par
+l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, a un $K$-point, c'est-à-dire que
+l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution avec
+$(x_0,\ldots,x_n$ dans $K$ qui soit non-triviale, i.e. différente
+de $(0,\ldots,0)$.
+
+\smallbreak
+
+(1) \emph{Dans un premier temps,} on suppose que $K$ est simplement
+égal au corps $k(z)$ des fractions rationnelles en une
+indéterminée $z$, et on suppose de plus que $f$, qui \textit{a priori}
+vit dans $k(z)[t_0,\ldots,t_n]$, est en fait dans
+$k[z,t_0,\ldots,t_n]$ (et toujours de degré $0<d\leq n$ en
+$t_0,\ldots,t_n$).  On cherche une solution $(x_0,\ldots,x_n)$ de
+$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, où les $x_i$ soient dans $k[z]$ (et non tous
+nuls).  On va écrire $x_i = \sum_{j=0}^N c_{i,j} z^j$ où les $c_{i,j}
+\in k$ sont des coefficients indéterminés et où $N$ est un entier.
+
+\phantom{(1)}(a) Expliquer pourquoi la condition $f(x_0,\ldots,x_n) =
+0$ recherchée se traduit sous la forme d'un système d'équations
+algébriques en les $c_{i,j}$, toutes homogènes.  On ne demande pas
+d'écrire ce système, mais on précisera au moins clairement le nombre
+d'équations, leur degré, et le nombre de variables ; on pourra appeler
+$\delta$ le degré de $f$ en la variable $z$, et raisonner sur degré en
+$z$ et le degré total en les $c_{i,j}$ d'un terme $a_{r_0,\ldots,r_n}
+x_0^{r_0} \cdots x_n^{r_n}$ de $f(x_0,\ldots,x_n)$.
+
+\phantom{(1)}(b) En utilisant le résultat admis, montrer ensuite que
+ce système a, en effet, une solution en les $c_{i,j}$ si $N$ est assez
+grand.
+
+\begin{corrige}
+Disons qu'on ait
+\[
+f(t_0,\ldots,t_n) = \sum_{r_0+\cdots+r_n=d}
+a_{r_0,\ldots,r_n} t_0^{r_0}\cdots t_n^{r_n}
+\]
+où on a fait l'hypothèse que les coefficients $a_{\underline{r}}$ sont
+dans $k[z]$.  Soit $\delta$ le plus grand de leurs degrés, qui est
+donc le degré de $f$ en la variable $z$.  Comme suggéré par l'énoncé,
+on cherche un zéro non-trivial dans $(k[z])^n$ par la méthode des
+coefficients indéterminés, en écrivant chaque $x_i$ (pour $i$ allant
+de $1$ à $n$) comme un polynôme de degré $\leq N$ en $z$, à savoir
+$x_i = \sum_{j=0}^N c_{i,j} z^j$.
+
+Considérons une expression de la forme $x_0^{r_0} \cdots x_n^{r_n}$ :
+si on la développe complètement, elle est un polynôme en $z$ de degré
+au plus $N(r_0+\cdots+r_n)$ (puisque chaque $x_i$ est un polynôme
+en $z$ de degré $\leq N$) ; et elle est homogène de degré total
+$r_0+\cdots+r_n$ en les $c_{i,j}$ (puisqu'un produit de polynômes
+homogènes est un polynôme homogène de la somme des degrés totaux), au
+sens où le coefficient devant chaque puissance de $z$ est homogène de
+degré total $r_0+\cdots+r_n$ en les $c_{i,j}$.  Concernant
+$a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0} \cdots x_n^{r_n}$, si
+$r_0+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est de degré $\leq N d +
+\delta$ en $z$, et (que son coefficient de chaque puissance de $z$
+est) homogène de degré $d$ en les $c_{i,j}$.  Il en va donc de même de
+la somme $f(x_0,\ldots,x_n)$ des $a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0} \cdots
+x_n^{r_n}$.
+
+On en déduit que l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ se traduit, en
+exprimant la nullité du coefficient devant chaque $z^j$, comme un
+système d'équations homogènes de degré $d$ en les $c_{i,j'}$.  Le
+nombre d'équations est donné par le nombre de coefficients de $z$ à
+écrire, soit $1$ de plus que la borne trouvée sur le degré en $z$,
+bref $N d + \delta + 1$.  Enfin, le nombre de variables est le nombre
+de $c_{i,j}$, c'est-à-dire $(n+1)\,(N+1)$.
+
+Si on tient absolument à écrire le système, ce qui n'était pas
+demandé, c'est :
+\[
+(\forall j)\;
+\sum_{\mathop{}^{s_{1,0}+\cdots+s_{n,N}=d}_{s_{1,1}+\cdots+N s_{n,N}+\rho=j}}
+\frac{\scriptstyle(\Sigma s_{1,\bullet})!\cdots
+  (\Sigma s_{n,\bullet})!}{\scriptstyle s_{1,0}!\cdots s_{n,N}!}\,
+a_{(\Sigma s_{1,\bullet}),\ldots,(\Sigma s_{n,\bullet});\rho}\,
+c_{1,0}^{s_{1,0}}\cdots c_{n,N}^{s_{n,N}}
+= 0
+\]
+où $\Sigma s_{i,\bullet}$ désigne $s_{i,0}+\cdots+s_{i,N}$ et
+$a_{r_0,\ldots,r_n;\rho}$ est le coefficient de $z^\rho$ dans le polynôme
+$a_{r_0,\ldots,r_n} \in k[z]$, et où $j$ parcourt les entiers de $0$ à
+$N d + \delta$.
+
+Bref, on a un système de $N d + \delta + 1$ équations, chacune
+homogène de degré total $d$, en $(n+1)\,(N+1) = N n + N + n + 1$
+variables.  Puisque $d\leq n$, on a $N d + \delta + 1 \leq N n + N +
+n$ lorsque $N$ est assez grand.  On conclut d'après le résultat admis
+que le système a une solution avec les $c_{i,j}$ non tous nuls,
+c'est-à-dire les $x_i$ non tous nuls.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(2) On suppose toujours que $K = k(z)$.  On a montré en (1) que si $f
+\in k[z,t_0,\ldots,t_n]$ alors $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution
+non-triviale (dans $(k[z])^n$, donc dans $K^n$).  En déduire que si $f
+\in k(z)[t_0,\ldots,t_n]$ alors $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a encore une
+solution non-triviale dans $K^n$.
+
+\begin{corrige}
+Il suffit de chasser les dénominateurs.  Plus précisément, si $f \in
+k(z)[t_0,\ldots,t_n]$, soit $q \in k[z]$ un dénominateur commun à tous
+les coefficients $a_{r_0,\ldots,r_n}$ de $f$ (en les variables
+$t_0,\ldots,t_n$).  Alors $q\,f \in k[z,t_0,\ldots,t_n]$, et comme on
+a vu en (1) que l'équation $q\,f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution
+non-triviale, cette solution en est aussi une de
+l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(3) Dans cette question (indépendante des précédentes), on suppose que
+$K_0 \subseteq K$ est une extension de corps de degré $\ell := [K :
+  K_0]$ fini.  On rappelle que cela signifie que $K$ est de
+dimension $\ell$ en tant que $K_0$-espace vectoriel.  Soit
+$e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme $K_0$-espace vectoriel.
+
+Lorsque $w \in K$, on notera $\mathbf{M}(w)$ la matrice $\ell\times
+\ell$ à coefficients dans $K_0$ qui représente l'application $K \to K,
+\penalty0\; y\mapsto w\cdot y$ de multiplication par $w$ (vue comme
+une application $K_0$-linéaire du $K_0$-espace vectoriel $K$ de
+dimension $\ell$), sur la base $e_1,\ldots,e_\ell$, et on notera
+$\norm(w) := \det(\mathbf{M}(w))$ son déterminant (c'est donc un
+élément de $K_0$).\spaceout (a) Expliquer pourquoi $\mathbf{M}(ww') =
+\mathbf{M}(w)\, \mathbf{M}(w')$ si $w,w'\in K$, pourquoi $\norm(ww') =
+\norm(w)\, \norm(w')$, et pourquoi $\norm(w) = 0$ si et seulement
+si $w=0$.\spaceout (b) Expliquer pourquoi si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j
+e_j$ avec $w_j \in K_0$, alors les coefficients de $\mathbf{M}(w)$
+s'écrivent comme des combinaisons $K_0$-linéaires des $w_j$, et
+pourquoi $\norm(w)$ s'écrit comme un polynôme homogène de degré $\ell$
+en $w_1,\ldots,w_\ell$.
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $\mathbf{M}(ww') = \mathbf{M}(w)\,\mathbf{M}(w')$ car la
+  multiplication par $ww'$ est la composée, dans n'importe quel ordre,
+  de celle par $w$ et de celle par $w'$.  L'identité $\norm(ww') =
+  \norm(w)\, \norm(w')$ s'en déduit par la multiplicativité du
+  déterminant.  On en déduit que $\norm(w)\, \norm(w') = 1$ si $w'$
+  est l'inverse de $w$, et donc que $\norm(w) \neq 0$ si $w \neq 0$
+  (l'autre implication est triviale).
+
+(b) Si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j e_j$ alors on a $\mathbf{M}(w) =
+  \sum_{j=1}^\ell w_j E_j$, où on a noté $E_j := \mathbf{M}(e_j)$ :
+  comme $E_j$ est une certaine matrice $\ell\times \ell$ à
+  coefficients dans $K_0$, ceci montre bien que les coefficients de
+  $\mathbf{M}(w)$ s'écrivent comme des combinaisons $K_0$-linéaires
+  des $w_j$.  Comme le déterminant d'une matrice $\ell\times \ell$ est
+  un polynôme homogène de degré $\ell$ en les coefficients de la
+  matrice, on en déduit que $\norm(w)$ s'écrit comme un polynôme
+  homogène de degré $\ell$ en $w_1,\ldots,w_\ell$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(4) On suppose maintenant que $K$ est le corps de fonctions d'une
+courbe quelconque sur $k$.  On rappelle (ou on admet...) que, si $z$
+est élément non constant quelconque de $K$, alors $z$ est transcendant
+sur $k$, c'est-à-dire qu'on peut considérer $K_0 := k(z)$ corps le
+corps des fractions rationnelles en une indéterminée ; et que $K$ est
+alors une extension de corps de degré $\ell := [K : K_0]$ fini.
+
+On reprend les notations $\mathbf{M}(w)$ et $\norm(w)$ de la
+question (3), en appelant $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme
+$K_0$-espace vectoriel.
+
+Soit $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ (toujours de degré total $0<d\leq n$ en
+$t_0,\ldots,t_n$).  On va écrire $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$
+où les $x_{i,j} \in K_0$ sont des coefficients indéterminés.
+Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_0,\ldots,x_n)) = 0$ se
+traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène de degré $d
+\ell$ en $(n+1) \ell$ indéterminées.  En déduire qu'elle a une
+solution non-triviale.  Conclure.
+
+\begin{corrige}
+Disons qu'on ait
+\[
+f(t_0,\ldots,t_n) = \sum_{r_0+\cdots+r_n=d}
+a_{r_0,\ldots,r_n} t_0^{r_0}\cdots t_n^{r_n}
+\]
+les coefficients $a_{\underline{r}}$ sont dans $K$.  Comme suggéré par
+l'énoncé, on cherche un zéro non-trivial dans $K^n$ par la méthode des
+coefficients indéterminés, en écrivant chaque $x_i$ (pour $i$ allant
+de $1$ à $n$) comme $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$.
+
+Considérons une expression de la forme $\mathbf{M}(x_0^{r_0} \cdots
+x_n^{r_n}) = \mathbf{M}(x_0)^{r_0} \cdots \mathbf{M}(x_n)^{r_n}$ :
+d'après la question (3)(b), les coefficients de chaque
+$\mathbf{M}(x_i)$ sont des combinaisons $K_0$-linéaires des $x_{i,j}$
+(pour ce $i$), donc les coefficients du produits sont des polynômes
+homogènes de degré total $r_0+\cdots+r_n$ en les $x_{i,j}$ (en
+utilisant le fait que le produit de matrices est bilinéaire).
+
+Concernant $\mathbf{M}(a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0} \cdots
+x_n^{r_n})$, si $r_0+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est homogène de
+degré total $d$ en les $x_{i,j}$.  Il en va donc de même de la somme
+$\mathbf{M}(f(x_0,\ldots,x_n))$ des $a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0}
+\cdots x_n^{r_n}$.  Par l'homogénéité du déterminant,
+$\norm(f(x_0,\ldots,x_n))$ est un polynome homogène (à coefficients
+dans $K_0$) de degré total $d \ell$ en les indéterminées $x_{i,j}$ qui
+sont au nombre de $(n+1) \ell$.
+
+D'après la question (2), si $d \ell < (n+1) \ell$, ce qui équivaut à
+$d < n+1$, il y a bien une solution non triviale à cette équation
+algébrique de degré $d \ell$ en $(n+1) \ell$ indéterminées dans $K_0 =
+k(z)$.  Or d'après la question (3)(a), l'annulation de ce déterminant
+$\norm(f(x_0,\ldots,x_n))$ équivaut à l'annulation de tous les $x_i$
+(i.e., de tous les $x_{i,j}$).  On a donc bien montré que
+$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution non-triviale dans $K$.
+\end{corrige}
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
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