From 1128f4a6069a2ed3ffcd0f076e7d4623e03b2824 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Tue, 19 Apr 2016 20:33:26 +0200 Subject: Write an erratum for a flawed argument. --- errata-20160419.tex | 176 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 176 insertions(+) create mode 100644 errata-20160419.tex (limited to 'errata-20160419.tex') diff --git a/errata-20160419.tex b/errata-20160419.tex new file mode 100644 index 0000000..2e07aef --- /dev/null +++ b/errata-20160419.tex @@ -0,0 +1,176 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{xr-hyper} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} +\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition} +\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition} +\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme} +\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème} +\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire} +\newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} +\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} +\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} +\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} +\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} +\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} +\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} +\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} +% +% +% +\begin{document} +\title{Courbes algébriques\\Erratum sur les notes de cours} +\author{David A. Madore} +\maketitle + +\centerline{\textbf{ACCQ205}} + +(Modification à apporter par rapport à la version étiquetée : +\texttt{e90daf0 Tue Apr 12 18:13:40 2016 +0200}) + +Remplacer la section \ref{smooth-points-give-unique-place-reasoning} +par le texte suivant (qui justifie la +proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} pour un point +rationnel) : + +Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut +dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point +de $Z(I)$. + +Pour donner un exemple simple mais important, considérons $h \in +k[x,y]$ irréductible tel que $h(0,0) = 0$ et que $h'_y(0,0) \neq 0$ en +notant $h'_y$ la dérivée de $h$ par rapport à sa seconde variable ; +quitte à faire un changement de variable linéaire sur $x$ et $y$, on +peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ et $h'_y(0,0) = 1$ : c'est-à-dire que +$h$ est la somme de $y$ et de termes de degré total au moins $2$. + +Soit $K := k(\bar x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar +x,\bar y$ les classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des +indéterminées elles-mêmes). + +Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le point $(0,0)$, +c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$, +elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; et +la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la valuation des +monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai ++ bj$. On veut montrer que $v$ est unique. (La difficulté est que la +valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les +valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la +valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait +que celle des monômes l'est.) + +Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si +$h=y$, mais alors connaît déjà les valuations sur $k[x,y]/(y)$, +cf. \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, et il y en a bien +une seule pour laquelle $v(\bar x)>0$, donc on peut exclure ce cas). +Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$. Soit $e$ +l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$ +de $h(x,0)$). On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$. Tout monôme +dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance +de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par +conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont +susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$, +qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule +dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ +(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À +présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine +complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$). + +Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$ +est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de +$v$-valuation strictement supérieure à $ae$. Observons que dans un +polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut +remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si +$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus +petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on +vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' +x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure. +Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule +pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il +s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont +les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement +supérieure à $a(i + e j)$. Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est +finie (sauf si $f$ est un multiple exact de $h$), la procédure +termine\footnote{Une autre façon de voir la procédure ici décrite est + d'utiliser l'ordre sur les monômes $x^i y^j$ consistant à comparer + d'abord $i + e j$ puis, en cas d'égalité, $i$ : on cherche à + réécrire $f$ modulo $h$ pour rendre aussi grand que possible le plus + petit monôme dans $f$.}. On a donc expliqué comment calculer la +$v$-valuation de $\bar f := f \mod h$ sans jamais utiliser d'autre +information sur $v$ que $a$ et $e$. Du coup, $v$ est uniquement +déterminé par ces données sur $k[x,y]/(h)$, donc sur $K$ +(cf. \ref{valuations-on-integral-domains}). Et comme on sait déjà +qu'elle existe, il y a bien existence et unicité. + +Enfin, comme on a obtenu que la valuation de tout élément de $K$ est +un multiple de $a$, on a forcément $a=1$. + +On a montré un cas particulier du résultat suivant : + +[L'énoncé de la proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} est + inchangé.] + + +% +% +% +\end{document} -- cgit v1.2.3