From 1128f4a6069a2ed3ffcd0f076e7d4623e03b2824 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 19 Apr 2016 20:33:26 +0200
Subject: Write an erratum for a flawed argument.

---
 errata-20160419.tex | 176 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 176 insertions(+)
 create mode 100644 errata-20160419.tex

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diff --git a/errata-20160419.tex b/errata-20160419.tex
new file mode 100644
index 0000000..2e07aef
--- /dev/null
+++ b/errata-20160419.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
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+%
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+\usepackage{url}
+%
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+\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
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+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
+\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
+\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition}
+\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme}
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+\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire}
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+%
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+%
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+%
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+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
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+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\title{Courbes algébriques\\Erratum sur les notes de cours}
+\author{David A. Madore}
+\maketitle
+
+\centerline{\textbf{ACCQ205}}
+
+(Modification à apporter par rapport à la version étiquetée :
+\texttt{e90daf0 Tue Apr 12 18:13:40 2016 +0200})
+
+Remplacer la section \ref{smooth-points-give-unique-place-reasoning}
+par le texte suivant (qui justifie la
+proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} pour un point
+rationnel) :
+
+Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
+dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
+de $Z(I)$.
+
+Pour donner un exemple simple mais important, considérons $h \in
+k[x,y]$ irréductible tel que $h(0,0) = 0$ et que $h'_y(0,0) \neq 0$ en
+notant $h'_y$ la dérivée de $h$ par rapport à sa seconde variable ;
+quitte à faire un changement de variable linéaire sur $x$ et $y$, on
+peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ et $h'_y(0,0) = 1$ : c'est-à-dire que
+$h$ est la somme de $y$ et de termes de degré total au moins $2$.
+
+Soit $K := k(\bar x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar
+x,\bar y$ les classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des
+indéterminées elles-mêmes).
+
+Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le point $(0,0)$,
+c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$,
+elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; et
+la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la valuation des
+monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai
++ bj$.  On veut montrer que $v$ est unique.  (La difficulté est que la
+valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les
+valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la
+valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
+que celle des monômes l'est.)
+
+Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si
+$h=y$, mais alors connaît déjà les valuations sur $k[x,y]/(y)$,
+cf. \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, et il y en a bien
+une seule pour laquelle $v(\bar x)>0$, donc on peut exclure ce cas).
+Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$.  Soit $e$
+l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$
+de $h(x,0)$).  On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$.  Tout monôme
+dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance
+de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par
+conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont
+susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$,
+qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule
+dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$
+(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$).  À
+présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine
+complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
+
+Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$
+est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de
+$v$-valuation strictement supérieure à $ae$.  Observons que dans un
+polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut
+remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$.  Si
+$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus
+petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on
+vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c'
+x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.
+Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule
+pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$.  S'il
+s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont
+les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement
+supérieure à $a(i + e j)$.  Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est
+finie (sauf si $f$ est un multiple exact de $h$), la procédure
+termine\footnote{Une autre façon de voir la procédure ici décrite est
+  d'utiliser l'ordre sur les monômes $x^i y^j$ consistant à comparer
+  d'abord $i + e j$ puis, en cas d'égalité, $i$ : on cherche à
+  réécrire $f$ modulo $h$ pour rendre aussi grand que possible le plus
+  petit monôme dans $f$.}.  On a donc expliqué comment calculer la
+$v$-valuation de $\bar f := f \mod h$ sans jamais utiliser d'autre
+information sur $v$ que $a$ et $e$.  Du coup, $v$ est uniquement
+déterminé par ces données sur $k[x,y]/(h)$, donc sur $K$
+(cf. \ref{valuations-on-integral-domains}).  Et comme on sait déjà
+qu'elle existe, il y a bien existence et unicité.
+
+Enfin, comme on a obtenu que la valuation de tout élément de $K$ est
+un multiple de $a$, on a forcément $a=1$.
+
+On a montré un cas particulier du résultat suivant :
+
+[L'énoncé de la proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} est
+  inchangé.]
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

