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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 14 Apr 2016 00:07:53 +0200
Subject: More questions (answers not yet written).

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@@ -280,7 +280,7 @@ $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$.
 
 \smallbreak
 
-(5) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
+(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
 d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues
 en (3).
 
@@ -318,7 +318,7 @@ confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle.
 \emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est
   satisfaite.}
 
-(6) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax
+(7) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax
 + b$ dans $k[x]$.  Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$
 de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera
 $v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de
@@ -359,15 +359,15 @@ que $v(f_\sharp)>0$).
 
 \smallbreak
 
-(7) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place
-$\clubsuit$ associée en (6) à un facteur irréductible $f_\sharp$
+(8) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place
+$\clubsuit$ associée en (7) à un facteur irréductible $f_\sharp$
 de $f$ ?  Expliquer quel est le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$
 et comment voir concrètement l'évaluation en $\clubsuit$ d'un élément
 de $K$ représenté comme $f_0 + f_1 y$.  Quel est le degré
 de $\clubsuit$ ?
 
 \begin{corrige}
-On se rappelle qu'on a vu en (6) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut
+On se rappelle qu'on a vu en (7) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut
 jamais être de la forme $\ord_\clubsuit(f_0)$.  La valuation
 $\ord_\clubsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si
 $\ord_\clubsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\clubsuit(f_1) \geq -1$, sachant
@@ -406,6 +406,38 @@ $\ord_\infty(f_1) \geq 0$, et $\infty$ sinon.
 En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$.
 \end{corrige}
 
+\smallbreak
+
+(9) Soit $f_P$ un polynôme unitaire irréductible de $k[x]$ qui
+\emph{ne divise pas} $f$.  Soit $\kappa := k[x]/(f_P)$ le corps de
+rupture de $f_P$ sur $k$.  On considère la classe $\bar h$ de $h$
+modulo $f_P$ comme un élément de $\kappa[y]$, et on distingue deux
+cas : (a) $\bar h$ se scinde dans $\kappa[y]$ comme produit de deux
+polynômes de degré $1$, et (b) $\bar h$ est irréductible
+dans $\kappa[y]$.  Montrer que dans le cas (a), il existe exactement
+deux idéaux maximaux $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$
+et $f_P$, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} = \kappa$ pour chacun d'entre
+eux ; et que dans le cas (b), il existe un unique idéal maximal
+$\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ et $f_P$, à savoir l'idéal
+$(h,f_P)$ qu'ils engendrent, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} =: \kappa'$
+est le corps de rupture de $\bar h$ sur $\kappa$ (de degré $2$
+sur $\kappa$, donc).
+
+\smallbreak
+
+(10) En continuant le contexte de la question précédente
+($f_P$ polynôme unitaire irréductible ne divisant pas $f$), montrer
+que, quel que soit l'idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$
+contenant $h$ et $f_P$, l'évaluation de $h'_x$ en $Z(\mathfrak{n})$
+(qui est par définition, la classe de $h'_x$ modulo $\mathfrak{n}$,
+vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle.
+Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places
+de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg
+f_P$.  Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi
+construites.  Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ (c'est-à-dire $[K :
+  k(f_P(x))]$) ?  En déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs
+qu'aux places qu'on a construites.
+
 
 
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