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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 13 Apr 2016 22:20:02 +0200
Subject: Continue exercise.

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@@ -235,12 +235,14 @@ près.  Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup
 c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.
 
 Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
-en le vérifiant à la main, soit en invoquant le théorème d'existence
+en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
 des valuations appliqué à l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes
 en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son
 idéal premier engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit
 avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement
-positive en $\frac{1}{y}$).
+positive en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que
+$x$ doit avoir un pôle quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister
+une valuation telle que $v(x)<0$).
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
@@ -248,7 +250,7 @@ positive en $\frac{1}{y}$).
 (5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on
 rappelle que $\deg(x) := [K:k(x)]$) et de $y$ ?  Montrer que la place
 $\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de
-degré $1$).
+degré $1$).  Donner une uniformisante en $\heartsuit$.
 
 \begin{corrige}
 On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$
@@ -271,6 +273,9 @@ $\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle
 $\ord_P(x) < 0$).  Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc
 $\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et $\deg(x) = 2$, on en déduit
 $\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}.
+
+Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque
+$\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$.
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
@@ -281,18 +286,18 @@ en (3).
 
 \begin{corrige}
 Pour évaluer un élément de la forme $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$, on
-se rappelle qu'on a vu en (4) que $v(f_1 y)$ ne peut jamais être de la
-forme $v(f_0)$.  La valuation $\ord_\heartsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est
-donc positive si et seulement si $\ord_\heartsuit(f_0) \geq 0$ et
-$\ord_\heartsuit(f_1) \geq 3$, sachant que $\ord_\heartsuit(f_0)$ est
-\emph{deux fois} la valuation usuelle $\ord_\infty(f_0)$ en l'infini
-d'une fraction rationnelle en $x$ : le terme $f_1 y$ ne peut pas être
-de valuation nulle en $\heartsuit$, seulement impaire.  Bref,
-l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$ est la valeur de
-$f_0(\infty)$ pour l'évaluation usuelle des fractions rationnelles en
-l'infini, à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et
-$\ord_\infty(f_1) \geq \frac{3}{2}$ (i.e., $\ord_\infty(f_1) \geq 2$),
-et $\infty$ sinon.
+se rappelle qu'on a vu en (4) que $\ord_\heartsuit(f_1 y)$ ne peut
+jamais être de la forme $\ord_\heartsuit(f_0)$.  La valuation
+$\ord_\heartsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement
+si $\ord_\heartsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\heartsuit(f_1) \geq 3$,
+sachant que $\ord_\heartsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} la valuation
+usuelle $\ord_\infty(f_0)$ en l'infini d'une fraction rationnelle
+en $x$ : le terme $f_1 y$ ne peut pas être de valuation nulle
+en $\heartsuit$, seulement impaire.  Bref, l'évaluation de $f_0 + f_1
+y$ en $\heartsuit$ est la valeur de $f_0(\infty)$ pour l'évaluation
+usuelle des fractions rationnelles en l'infini, à condition que
+$\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et $\ord_\infty(f_1) \geq \frac{3}{2}$
+(i.e., $\ord_\infty(f_1) \geq 2$), et $\infty$ sinon.
 
 Le même raisonnement fonctionne pour $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ (les
 trois termes ont des valuations $\ord_\heartsuit$ congrues
@@ -313,6 +318,94 @@ confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle.
 \emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est
   satisfaite.}
 
+(6) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax
++ b$ dans $k[x]$.  Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$
+de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera
+$v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de
+$f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$.  On notera $\clubsuit$ une
+place comme on vient de trouver.
+
+\begin{corrige}
+Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r :=
+w(f_\sharp) > 0$.  Alors en considérant la décomposition en facteurs
+irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on voit que
+$w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la valuation
+de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce dernier
+dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément).  En
+particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un
+facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois
+d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a
+$w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$.
+
+Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier
+de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la
+valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation
+d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est
+le plus petit des valuations des termes).  Bref, on a complètement
+caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près.  Mais puisque l'image de $w$
+doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation),
+on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ et $w(y) = 1$.
+
+Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
+en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
+des valuations appliqué à l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de
+corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré
+par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation
+positive sur $k[x,y]$ et strictement positive en $f_\sharp$ ; soit,
+tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ doit avoir un zéro
+quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle
+que $v(f_\sharp)>0$).
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(7) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place
+$\clubsuit$ associée en (6) à un facteur irréductible $f_\sharp$
+de $f$ ?  Expliquer quel est le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$
+et comment voir concrètement l'évaluation en $\clubsuit$ d'un élément
+de $K$ représenté comme $f_0 + f_1 y$.  Quel est le degré
+de $\clubsuit$ ?
+
+\begin{corrige}
+On se rappelle qu'on a vu en (6) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut
+jamais être de la forme $\ord_\clubsuit(f_0)$.  La valuation
+$\ord_\clubsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si
+$\ord_\clubsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\clubsuit(f_1) \geq -1$, sachant
+que $\ord_\clubsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} l'exposant
+$\ord_{(f_\sharp)}(f_0)$ de la multiplicité de $f_\sharp$ dans la
+décomposition de $f$ en irréductibles : bref, l'anneau de valuation
+$\mathcal{O}_\clubsuit$ est l'ensemble des $f_0 + f_1 y$ telles que
+$\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$ et $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq
+-\frac{1}{2}$ (i.e., $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$) ; on notera que
+cet anneau contient $A = k[x,y]/(h)$ (puisqu'il contient [les classes
+  de] $x$ et $y$, qui engendrent $A$).  L'idéal maximal
+$\mathfrak{m}_\clubsuit$ est formé des $f_0 + f_1 y$ telles que
+$\ord_{(f_\sharp)}(f_0) > 0$ et toujours $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$.
+
+On a un morphisme $A/(f_\sharp,y) \to \varkappa_\clubsuit$ défini par
+l'inclusion $A \to \mathcal{O}_\clubsuit$ en remarquant que $f_\sharp$
+et $y$ sont tous deux dans $\mathfrak{m}_\clubsuit$ (c'est-à-dire
+qu'ils sont dans le noyau du morphisme $A \to
+\mathcal{O}_\clubsuit/\mathfrak{m}_\clubsuit = \varkappa_\clubsuit$).
+Or $A/(f_\sharp,y) = k[x,y]/(h,f_\sharp,y) = k[x]/(f_\sharp)$ est le
+corps de rupture de $f_\sharp$.  Vu que c'est un corps, le morphisme
+est injectif.  Mais il est aussi surjectif car tout élément de
+$\mathcal{O}_\clubsuit$ se représente, modulo $f_\sharp$ et $y$, par
+un élément de $A$ : concrètement, si $\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$,
+on peut voir $f_0$ dans $k[x]/(f_\sharp)$ (c'est-à-dire le reste de la
+division euclidienne si $f_0 \in k[x]$, et sinon, on écrit une
+relation de Bézout entre le dénominateur de $f_0$ et $f_\sharp$), et
+c'est l'image recherchée.
+
+Le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$ est donc $k[x]/(f_\sharp)$, et
+l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\clubsuit$ est la valeur de $f_0$
+modulo $f_\sharp$ (quitte à écrire une relation de Bézout avec le
+dénominateur), à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et
+$\ord_\infty(f_1) \geq 0$, et $\infty$ sinon.
+
+En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$.
+\end{corrige}
+
 
 
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cgit v1.2.3

