From a646ba2038d296e2fd1aff2f575ddf2b124882b4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 13 Apr 2016 15:16:05 +0200
Subject: Start writing an exercise on algebraic curves.

---
 exercices-courbes.tex | 205 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 205 insertions(+)
 create mode 100644 exercices-courbes.tex

(limited to 'exercices-courbes.tex')

diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex
new file mode 100644
index 0000000..b6c149b
--- /dev/null
+++ b/exercices-courbes.tex
@@ -0,0 +1,205 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
+\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
+\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
+\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
+\newcommand{\sep}{\operatorname{sep}}
+\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
+\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}}
+\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
+\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}}
+\newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
+\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{Exercices courbes algébriques — Corrigé}
+\else
+\title{Exercices courbes algébriques}
+\fi
+\author{David A. Madore}
+\maketitle
+
+\centerline{\textbf{ACCQ205}}
+
+{\footnotesize
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+\begin{center}
+Git: \input{vcline.tex}
+\end{center}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et soient $a,b\in k$.
+
+(1) Donner une condition sur $a,b$ nécessaire et suffisante pour que
+le polynôme $x^3 + ax + b \in k[x]$ soit séparable (c'est-à-dire,
+premier avec sa dérivée, ou encore, sans racine multiple
+dans $k^{\alg}$).
+
+\begin{corrige}
+La dérivée de $f := x^3 + ax + b$ est $f' = 3x^2 + a$.  Leur résultant
+(i.e., le discriminant de $f$) est donc égal au déterminant de la
+matrice de Sylvester
+\[
+\begin{pmatrix}
+1&0&a&b&0\\
+0&1&0&a&b\\
+3&0&a&0&0\\
+0&3&0&a&0\\
+0&0&3&0&a\\
+\end{pmatrix}
+\]
+c'est-à-dire $\Delta := 4a^3 + 27b^2$ (en écrivant le déterminant de
+la matrice $(c_{i,j})$ où $i$ est l'indice de la ligne et $j$ celui de
+la colonne comme $\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_5}
+\mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma) \prod_{i=1}^5 c_{i,\sigma(i)}$ on trouve
+ici $1\cdot 1\cdot a\cdot a\cdot a - 1\cdot a\cdot a\cdot 3\cdot a -
+a\cdot 1\cdot 3\cdot a\cdot a + a\cdot a\cdot 3\cdot 3\cdot a + b\cdot
+b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$).
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$.  Montrer que $h$ est
+irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$)
+et même géométriquement irréductible.
+
+\begin{corrige}
+On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f
+:= x^3 + ax + b \in k(x)$.  Pour montrer qu'il est irréductible dans
+$k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré
+dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible
+dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (le pgcd dans $k[x]$ des
+coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le
+coefficient de $y^2$ est $1$).  Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$,
+car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs
+irréductibles), et son degré serait pair.
+
+Comme le raisonnement qu'on vient de faire ne dépend pas de $k$, il
+est encore valable dans $k^{\alg}$, c'est-à-dire que $h$ est
+géométriquement irréductible.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+On pose $A := k[x,y]/(h)$ (anneau intègre d'après la question (2)) et
+$K := \Frac(A) = k(x,y : h=0)$ le corps des fonctions de la courbe
+plane $E$ d'équation $h = 0$.  Qyand le contexte est clair, on se
+permettra de noter simplement $x,y$ les éléments $\bar x,\bar y$ de
+$A$, ou de $K$, qui sont les classes modulo $h$ des
+indéterminées $x,y$ de $k[x,y]$.
+
+(3) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a
+$v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$.  Montrer qu'il existe au
+plus une valuation vérifiant ces conditions : que valent exactement
+$v(x)$ et $v(y)$ ?  Montrer qu'une telle valuation existe bien.  On
+appellera cette place « point à l'infini » de $E$.
+
+\begin{corrige}
+Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x)
+< 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc
+$v(y) = \frac{3}{2}r < 0$.  Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors
+$v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$
+(car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$).  Les hypothèses
+$v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes.  Par ailleurs, la donnée
+de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est $r$ fois le degré) donc
+sur $k(x)$ (c'est $r$ fois la valuation usuelle en l'infini
+sur $k(x)$).
+
+Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$
+(par division euclidienne par $h$ dans $k(x)[y]$), et comme $v(g_1 y)
+= \frac{3}{2}r + v(g_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas
+égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $g_0 + g_1
+y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les
+termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des
+valuations des termes).  Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la
+donnée de $r$ près.  Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z}
+\cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$,
+c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.  Enfin, on constate que ceci
+définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main,
+soit en invoquant le théorème d'existence des valuations appliqué à
+l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes en $\frac{1}{y}$
+sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son idéal premier
+engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une
+valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive
+en $\frac{1}{y}$).
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+\emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est
+  satisfaite.}
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

