From c05f31adc032b7d25809b194ce6ba735c99b1115 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 14 Apr 2016 17:41:17 +0200
Subject: Continue exercise.

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@@ -210,35 +210,36 @@ relation de Bézout, en tout cas $\frac{1}{x^2} = \frac{a^2}{(y^2-b)^2}
 
 \smallbreak
 
-(4) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a
-$v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$.  Montrer qu'il existe au
+(4) Montrer que si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a
+$w(x) < 0$ si et seulement si $w(y) < 0$.  Montrer qu'il existe au
 plus une valuation vérifiant ces conditions (il pourra être utile de
-remarquer que si $f_0, f_1 \in k(x)$ alors $v(f_0)$ et $v(f_1 y)$ ne
-peuvent jamais être égaux) : que valent exactement $v(x)$ et $v(y)$ ?
+remarquer que si $f_0, f_1 \in k(x)$ alors $w(f_0)$ et $w(f_1 y)$ ne
+peuvent jamais être égaux) : que valent exactement $w(x)$ et $w(y)$ ?
 Montrer qu'une telle valuation existe bien.  On appellera cette place
 « point à l'infini » de $E$ et on la notera $\heartsuit$.
 
 \begin{corrige}
-Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x)
-< 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc
-$v(y) = \frac{3}{2}r < 0$.  Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors
-$v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$
-(car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$).  Les hypothèses
-$v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes.
+Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := w(x)
+< 0$ alors $w(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $w(y^2) = 3r$, donc
+$w(y) = \frac{3}{2}r < 0$.  Réciproquement, si $w(y) < 0$ alors
+$w(y^2) < 0$ donc $w(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $w(x) \geq 0$
+(car on aurait alors $w(x^3 + ax + b) \geq 0$).  Les hypothèses
+$w(x)<0$ et $w(y)<0$ sont donc équivalentes.
 
 Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $f_0 + f_1 y$.
-Par ailleurs, la donnée de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est
+Par ailleurs, la donnée de $r = w(x)$ détermine $w$ sur $k[x]$ (c'est
 $r$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $-r$ fois la valuation
-usuelle en l'infini sur $k(x)$).  Et comme $v(f_1 y) = \frac{3}{2}r +
-v(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la
-valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est
-complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont
-de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des
-termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).
-Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$ près.
-Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$
-(condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire
-$v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.
+$v_\infty$ usuelle en l'infini sur $k(x)$).  Et comme $w(f_1 y) =
+\frac{3}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas
+égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1
+y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les
+termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des
+valuations des termes,
+cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).  Bref, on a
+complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près.  Mais puisque
+l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
+normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et
+$w(y) = -3$.
 
 Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
 en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
@@ -249,16 +250,21 @@ par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation
 positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive
 en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $x$ doit
 avoir un pôle quelque part, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve},
-c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $v(x)<0$).
+c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $w(x)<0$).
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
 
 (5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on
-rappelle, cf. \ref{degree-of-a-function}, que $\deg(x) := [K:k(x)]$)
-et de $y$ ?  Montrer que la place $\heartsuit$ trouvée en (4) est
-rationnelle (c'est-à-dire de degré $1$, cf. \ref{degree-of-a-place}).
-Donner une uniformisante en $\heartsuit$.
+rappelle, cf. \ref{degree-of-a-function}, que $\deg_E(x) := [K:k(x)]$)
+et de $y$ ?  Plus généralement, si $f_0 \in k[x]$, quel est le degré
+de $f_0(x)$ en tant que fonction\footnote{Ici comme ailleurs, on aura
+  tendance à écrire $f_0(x)$ pour souligner qu'il s'agit de l'élément
+  de $K$ défini par $f_0 \in k(x) \subseteq K$, même s'il est
+  impossible d'être systématique.} sur $E$ ?  Montrer que la place
+$\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de
+degré $1$, cf. \ref{degree-of-a-place}).  Donner une uniformisante
+en $\heartsuit$.
 
 \begin{corrige}
 On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$
@@ -267,21 +273,29 @@ l'extension algébrique $K$ de $k(x)$ engendrée par $y$ est de degré
 $[K:k(x)] = 2$, c'est-à-dire que $x$ est de degré $2$ en tant que
 fonction sur $E$.  De même, le fait que $x$ soit algébrique de
 degré $3$ sur $k(y)$ (toujours de polynôme minimal $h$) signifie que
-$\deg(y) = 3$ en tant que fonction sur $E$.  (Il est malheureux que le
-terme « degré » serve pour des choses différentes, et qu'ici le degré
-de $y$ en tant qu'algébrique sur $k(x)$ soit le degré de $x$ en tant
-que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est
+$\deg_E(y) = 3$ en tant que fonction sur $E$.  (Il est malheureux que
+le terme « degré » serve pour des choses différentes, et qu'ici le
+degré de $y$ en tant qu'algébrique sur $k(x)$ soit le degré de $x$ en
+tant que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est
 malheureusement bien ancrée.)
 
-En notant $v = \ord_\heartsuit$ la valuation trouvée en (4),
+Le degré de $f_0(x)$ en tant que fonction sur $E$ est $[K : k(f_0(x))]
+= [K : k(x)]\cdot [k(x) : k(f_0(x))]$.  Dans ce produit, le premier
+facteur est $\deg_E(x) = 2$ d'après ce qu'on vient de dire, et puisque
+$x$ est transcendant sur $k(x)$, le second est le degré usuel $\deg
+f_0$ de $f_0$ en tant que polynôme (en se rappelant que le degré d'un
+polynôme est le même que son degré en tant que fonction
+sur $\mathbb{P}^1$, cf. circa \ref{degree-of-a-function}).
+
+En notant $\ord_\heartsuit$ la valuation $w$ trouvée en (4),
 l'identité du degré \ref{degree-identity} appliquée à $\frac{1}{x}$
-donne $\deg(\frac{1}{x}) = \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \,
+donne $\deg_E(\frac{1}{x}) = \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \,
 \deg(\heartsuit)$ puisque, comme on l'a montré en (4), $\heartsuit$
 est la \emph{seule} place où $\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule
 place $P$ pour laquelle $\ord_P(x) < 0$).  Comme on a vu que
 $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc $\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et
-$\deg(x) = 2$, on en déduit $\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est
-\emph{rationnelle}.
+que $\deg_E(\frac{1}{x}) = \deg_E(x) = 2$, on en déduit
+$\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}.
 
 Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque
 $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$.
@@ -328,20 +342,20 @@ confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle.
   satisfaite.}
 
 (7) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax
-+ b$ dans $k[x]$.  Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$
-de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera
-$v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de
++ b$ dans $k[x]$.  Montrer qu'il existe exactement une valuation $w$
+de $K$ au-dessus de $k$ telle que $w(f_\sharp(x))>0$ : on calculera
+$w(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de
 $f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$.  On notera $\clubsuit$ une
 place comme on vient de trouver.
 
 \begin{corrige}
 Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r :=
-w(f_\sharp) > 0$.  Alors en considérant la décomposition en facteurs
-irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on voit que
-$w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la valuation
-de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce dernier
-dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément).  En
-particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un
+w(f_\sharp(x)) > 0$.  Alors en considérant la décomposition en
+facteurs irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on
+voit que $w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la
+valuation de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce
+dernier dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément).
+En particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un
 facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois
 d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a
 $w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$.
@@ -354,8 +368,8 @@ le plus petit des valuations des termes,
 cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).  Bref, on a
 complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près.  Mais puisque
 l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
-normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$
-et $w(y) = 1$.
+normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) =
+2$ et $w(y) = 1$.
 
 Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
 en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
@@ -366,7 +380,7 @@ avoir une valuation positive sur $k[x,y]$ et strictement positive
 en $f_\sharp$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$
 doit avoir un zéro quelque part,
 cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, c'est-à-dire qu'il doit
-exister une valuation telle que $v(f_\sharp)>0$).
+exister une valuation telle que $w(f_\sharp)>0$).
 \end{corrige}
 
 \smallbreak
@@ -473,9 +487,10 @@ vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle.
 Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places
 de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg
 f_P$.  Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi
-construites.  Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ en tant que fonction
-sur $E$ (c'est-à-dire $[K : k(f_P(x))]$) ?  En déduire que $f_P(x)$ ne
-s'annule pas ailleurs qu'aux places qu'on a construites.
+construites.  Quel est le degré $\deg_E(f_P(x))$ de $f_P(x) \in K$ en
+tant que fonction sur $E$ (c'est-à-dire $[K : k(f_P(x))]$) ?  En
+déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs qu'aux places qu'on a
+construites, et qu'il s'y annule précisément à l'ordre $1$.
 
 \begin{corrige}
 On a $h'_y = 2y$.  On rappelle qu'un élément d'un anneau est
@@ -497,15 +512,63 @@ qu'on a construits.
 Le fait que $f_P$ s'annule aux places ainsi construites vient du fait
 qu'il est nul dans $\kappa$.
 
-Le degré de $f_P(x)$ en tant que fonction sur $E$ est $[K : k(f_P(x))]
-= [K : k(x)]\cdot [k(x) : k(f_P(x))]$.  Dans ce produit, le premier
-facteur est $\deg x = 2$ d'après (5), et le second est $\deg f_P$ (en
-se rappelant que le degré d'un polynôme est le même que son degré en
-tant que fonction sur $\mathbb{P}^1$,
-cf. circa \ref{degree-of-a-function}).  Or on a trouvé des places de
-degré total $2\deg f_P$ en lesquelles $f_P(x)$ s'annule : d'après
-l'identité du degré, ce sont exactement toutes les places où $f_P(x)$
-s'annule.
+Comme on a vu en (5), le degré de $f_P(x)$ en tant que fonction
+sur $E$ est $\deg_E(f_P(x)) = 2\deg f_P$.  Or on a trouvé des places
+$Q_i$ (deux dans le cas (a) et une dans le cas (b)), de degré total
+$2\deg f_P$, en lesquelles $f_P(x)$ s'annule : d'après l'identité du
+degré, ce sont exactement toutes les places où $f_P(x)$ s'annule, et
+il s'annule précisément à l'ordre $\ord_{Q_i}(f_P(x)) = 1$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(11) Expliquer pourquoi aucun élément de $A := k[x,y]/(h) \subseteq K$
+ne peut avoir de pôle ailleurs qu'en la place à l'infini (celle qu'on
+a notée $\heartsuit$).  Expliquer pourquoi $y$ n'a pas de zéro
+ailleurs qu'aux places (notées $\clubsuit$) trouvées en (7).  Décrire
+précisément le diviseur principal $\divis(y)$.  Décrire le diviseur
+principal $\divis(f_\sharp(x))$ lorsque $f_\sharp$ est un facteur
+unitaire irréductible de $f := x^3 + ax + b$ dans $k[x]$.  Décrire le
+diviseur principal $\divis(f_P(x))$ lorsque $f_P = f_P(x)$ est un
+polynôme unitaire irréductible dans $k[x]$ qui \emph{ne divise
+  pas} $f$.
+
+\begin{corrige}
+On sait que (les classes modulo $h$ de) $x$ et $y$ n'ont pas de pôle
+ailleurs qu'en $\heartsuit$ (vu que $\heartsuit$ était la seule place
+où $\ord(x) < 0$ ou bien $\ord(y) < 0$) : autrement dit, $x$ et $y$
+appartiennent à $\mathcal{O}_P$ pour toute place $P \neq \heartsuit$
+de $A$ ; on en déduit que tout polynôme en $x,y$, autrement dit, tout
+élément de $A$, a les mêmes propriétés.
+
+Si $P$ est une place telle que $\ord_P(y) > 0$ alors $\ord_P(y^2)>0$
+c'est-à-dire $\ord_P(x^3 + ax + b) > 0$.  Il doit donc exister un
+facteur irréductible $f_\sharp$ de $f := x^3 + ax + b$ tel que
+$\ord_P(f_\sharp) > 0$, et on a vu en (7) que ce facteur détermine
+uniquement la valuation $P = \clubsuit$, et qu'on a alors
+$\ord_\clubsuit(y) = 1$.
+
+On a donc $\divis(y) = \sum_i (\clubsuit_i) - 3(\heartsuit)$ où
+$\clubsuit_i$ sont les ($1$, $2$ ou $3$) places associées aux facteurs
+irréductibles $f_\sharp$ de $f$, ayant mêmes degrés qu'eux, et
+$\heartsuit$ est la place à l'infini (de degré $1$).  Ce diviseur est
+bien de degré $0$ puisque $\sum_i \deg(\clubsuit_i) = 3$ car $\sum_i
+\deg f_{\sharp i} = \deg f = 3$.
+
+Si $f_\sharp$ est un diviseur de $f$, et $\clubsuit$ la place
+correspondante, on a $\ord_\clubsuit(f_\sharp(x)) = 2$ d'après (7) et
+$\ord_\heartsuit(f_\sharp(x)) = -2\deg(f_\sharp)$ d'après (4).
+Puisque $\deg_E(f_\sharp(x)) = 2\deg f_\sharp$ (cf. (5)), l'identité
+du degré confirme qu'on a bien trouvé tous les zéros et tous les pôles
+de $f_\sharp(x)$ : autrement dit, $\divis(f_\sharp(x)) = 2(\clubsuit)
+- 2\deg(f_\sharp) \cdot (\heartsuit)$.
+
+Si $f_P$ est irréductible mais n'est pas un diviseur de $f$, on a
+toujours $\ord_\heartsuit(f_P(x)) = -2\deg(f_P)$ d'après (4) et
+$\deg_E(f_P(x)) = 2\deg f_P$.  Cette fois, cependant, d'après (11), il
+existe une ou deux places $Q_i$, de degré total $\sum_i \deg(Q_i) =
+2\deg f_P$, telles que $\ord_{Q_i}(f_P(x)) = 1$.  Autrement dit,
+$\divis(f_P(x)) = \sum_i (Q_i) - 2\deg(f_P) \cdot (\heartsuit)$.
 \end{corrige}
 
 
-- 
cgit v1.2.3

