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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 14 Apr 2016 18:50:33 +0200
Subject: Continue (finish?) the exercise on the generic elliptic curve.

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@@ -219,26 +219,26 @@ Montrer qu'une telle valuation existe bien.  On appellera cette place
 « point à l'infini » de $E$ et on la notera $\heartsuit$.
 
 \begin{corrige}
-Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := w(x)
-< 0$ alors $w(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $w(y^2) = 3r$, donc
-$w(y) = \frac{3}{2}r < 0$.  Réciproquement, si $w(y) < 0$ alors
+Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $e := -w(x)
+> 0$ alors $w(x^3 + ax + b) = -3e$, c'est-à-dire $w(y^2) = -3e$, donc
+$w(y) = -\frac{3}{2}e < 0$.  Réciproquement, si $w(y) < 0$ alors
 $w(y^2) < 0$ donc $w(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $w(x) \geq 0$
 (car on aurait alors $w(x^3 + ax + b) \geq 0$).  Les hypothèses
 $w(x)<0$ et $w(y)<0$ sont donc équivalentes.
 
 Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $f_0 + f_1 y$.
-Par ailleurs, la donnée de $r = w(x)$ détermine $w$ sur $k[x]$ (c'est
-$r$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $-r$ fois la valuation
+Par ailleurs, la donnée de $e = -w(x)$ détermine $w$ sur $k[x]$ (c'est
+$-e$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $e$ fois la valuation
 $v_\infty$ usuelle en l'infini sur $k(x)$).  Et comme $w(f_1 y) =
-\frac{3}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas
+-\frac{3}{2}e + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $e$ donc pas
 égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1
 y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les
 termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des
 valuations des termes,
 cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).  Bref, on a
-complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près.  Mais puisque
+complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près.  Mais puisque
 l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
-normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et
+normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et
 $w(y) = -3$.
 
 Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
@@ -349,26 +349,26 @@ $f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$.  On notera $\clubsuit$ une
 place comme on vient de trouver.
 
 \begin{corrige}
-Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r :=
+Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $e :=
 w(f_\sharp(x)) > 0$.  Alors en considérant la décomposition en
 facteurs irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on
-voit que $w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la
+voit que $w|_{k(x)} = e v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la
 valuation de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce
 dernier dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément).
 En particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un
 facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois
 d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a
-$w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$.
+$w(f) = e$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}e$.
 
-Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier
-de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la
+Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}e + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier
+de $e$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la
 valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation
 d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est
 le plus petit des valuations des termes,
 cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).  Bref, on a
-complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près.  Mais puisque
+complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près.  Mais puisque
 l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
-normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) =
+normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) =
 2$ et $w(y) = 1$.
 
 Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
@@ -571,6 +571,99 @@ existe une ou deux places $Q_i$, de degré total $\sum_i \deg(Q_i) =
 $\divis(f_P(x)) = \sum_i (Q_i) - 2\deg(f_P) \cdot (\heartsuit)$.
 \end{corrige}
 
+\smallbreak
+
+(12) On a construit différentes sortes de places de $E$ : la place
+$\heartsuit$ « à l'infini » en (4), une place $\clubsuit$ pour chaque
+facteur irréductible $f_\sharp$ de $f := x^3 + ax + b$ en (7), et une
+ou deux places $Q_i$ pour chaque facteur irréductible $f_P$ qui
+\emph{ne divise pas} $f$ en (9).  Expliquer pourquoi on a ainsi une
+description complète des places de $E$ (on pourra considérer la
+restriction à $k(x) \subseteq K$ d'une place de $K$).
+
+\begin{corrige}
+Si $w$ est une place quelconque de $K$, il est clair que sa
+restriction $w|_{k(x)}$ à $k(x)$ vérifie (o), (i) et (ii)
+de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} puisque c'est le cas
+de $w$.  C'est donc \emph{à multiplication près par un entier $e\geq
+  1$} une valuation sur $k(x)$, au-dessus de $k$.  Cette valuation
+n'est pas triviale car si elle l'est, c'est-à-dire si $w$ est nulle
+sur $k(x)$ on a $w(y) = w(x^3 + ax + b) \geq 0$ donc $w$ est positive
+sur tout élément de la forme $f_0 + f_1 y$, mais aussi sur son inverse
+pour la même raison, bref sur tout élément de $K$, et du coup $w$ est
+triviale, ce qui contredit l'hypothèse qu'il s'agisse d'une place
+de $E$.  On a donc $e \geq 1$ et $w|_{k(x)} = ev$ avec $e$ une place
+de $k(x)$ au-dessus de $k$.  Or on sait qu'une telle place est
+forcément soit la place à l'infini soit la place définie par un
+polynôme unitaire irréductible dans $k[x]$, et selon le cas que ce
+dernier divise ou ne divise pas $f$, on trouve dans les différents cas
+$w(x) < 0$ ou bien $w(f_\sharp(x)) > 0$ ou encore $w(f_P(x)) > 0$,
+donc une des places qu'on a classifiées.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+\emph{On pourra désormais librement supposer que $k$ est parfait}
+(même si ce n'est pas utile ici).
+
+(13) Relier $dx$ et $dy$ dans $\Omega^1_{K/k}$.  Relier $dx$ et
+$d(f_0(x))$ lorsque $f_0 \in k[x]$ est un polynôme quelconque.  En
+déduire $\ord_M(dx)$ pour les différentes places $M$ de $E$,
+c'est-à-dire, décrire $\divis(dx)$.  Quel est le genre de la
+courbe $E$ ?
+
+\begin{corrige}
+On a $y = x^3 + ax + b$ donc $y\,dy = (3x^2+a)\,dx$, ce qui peut bien
+sûr se réécrire librement en $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2+a}{y} =
+\frac{3x^2+a}{x^3+ax+b}y$, ou encore $\frac{dy}{3x^2+a} =
+\frac{dx}{y}$ ou encore $\frac{1}{3x^2+a}\,dy =
+\frac{1}{x^3+ax+b}\,y\,dx$.
+
+%% $\frac{1}{3x^2+a} = \frac{4a^2}{27 y^4 - 54 b y^2 + \Delta} +
+%% \frac{9y^2 - 9b}{27 y^4 - 54 b y^2 + \Delta} x + \frac{6a}{27 y^4 - 54
+%%   b y^2 + \Delta} x^2$
+
+Si $f_0 \in k[x]$, on a $d(f_0(x)) = f_0'(x)\,dx$ où $f_0'$ est la
+dérivée usuelle des polynômes : cela résulte facilement de
+l'application des règles de calcul sur $d$.
+
+Calculons $\ord_M(dx)$ pour les différentes places $M$ de $E$.  En
+$\heartsuit$, on sait que $\ord_\heartsuit(x) = -2$, d'où il résulte
+que $\ord_\heartsuit(dx) = -3$ (cf. \ref{order-of-derivatives}).  En
+une place $\clubsuit$, on sait que $\ord_\clubsuit(f_\sharp(x)) = 2$,
+d'où il résulte que $\ord_\clubsuit(d(f_\sharp(x))) = 1$, c'est-à-dire
+$\ord_\clubsuit(f_\sharp'(x)) + \ord_\clubsuit(dx) = 1$.  Mais on a vu
+que $\ord_\clubsuit(r(x)) = 2\ord_{(f_\sharp)}(r)$ quel que soit $r
+\in k(x)$, et par ailleurs $f_\sharp'$ et $f_\sharp$ sont premiers
+entre eux dans $k[x]$ vu que $f_\sharp$ est séparable (puisqu'il
+divise $f$).  Bref, $\ord_\clubsuit(dx) = 1$.  On pouvait aussi le
+déduire du fait que $\ord_\clubsuit(y) = 1$ donc $\ord_\clubsuit(dy) =
+0$, et $dx = \frac{y}{3x^2+a}\,dy$ où l'ordre du dénominateur est $0$
+en chaque place $\clubsuit$ (puisque $3x^2+a$ est premier avec $f$).
+Enfin, en une place $Q$ telle que $\ord_Q(f_P(x)) = 1$, on a
+$\ord_Q(d(f_P(x))) = 0$, c'est-à-dire $\ord_Q(f_P'(x)) + \ord_Q(dx) =
+0$, et comme les deux termes sont positifs (puisque $A \subseteq
+\mathcal{O}_Q$ comme on l'a déjà signalé), ils sont tous les deux
+nuls, bref $\ord_Q(dx) = 0$.
+
+Finalement, on a $\divis(dx) = \sum_i (\clubsuit_i) - 3(\heartsuit)$
+(diviseur de degré $0$, qui coïncide avec $\divis(y)$).
+
+Le genre de la courbe $E$ est donné par l'égalité $\deg(\divis(dx)) =
+2g-2$ (cf. \ref{degree-of-canonical-divisor}), donc $g = 1$.
+\end{corrige}
+
+\smallbreak
+
+(14) Donner un élément $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ tel que
+$\divis(\omega) = 0$.
+
+\begin{corrige}
+On a vu que $\divis(dx) = \divis(y)$, donc la différentielle
+$\frac{dx}{y} = \frac{1}{x^3 + ax + b}\,y\,dx = \frac{1}{3x^2+a}\,dy$
+répond à la question.
+\end{corrige}
+
 
 
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cgit v1.2.3

