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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 14 Apr 2016 17:02:08 +0200
Subject: Continue exercise (answers).

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@@ -420,11 +420,12 @@ En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$.
 
 \smallbreak
 
-(9) Soit $f_P$ un polynôme unitaire irréductible de $k[x]$ qui
+(9) Soit $f_P$ un polynôme unitaire irréductible dans $k[x]$ qui
 \emph{ne divise pas} $f$.  Soit $\kappa := k[x]/(f_P)$ le corps de
 rupture de $f_P$ sur $k$.  On considère la classe $\bar h$ de $h$
-modulo $f_P$ comme un élément de $\kappa[y]$, et on distingue deux
-cas : (a) $\bar h$ se scinde dans $\kappa[y]$ comme produit de deux
+modulo $f_P$ comme un élément de $\kappa[y]$.  Rappeler pourquoi
+$k[x,y]/(h,f_P) = \kappa[y]/(\bar h)$.  On distingue deux cas :
+(a) $\bar h$ se scinde dans $\kappa[y]$ comme produit de deux
 polynômes de degré $1$, et (b) $\bar h$ est irréductible
 dans $\kappa[y]$.  Montrer que dans le cas (a), il existe exactement
 deux idéaux maximaux $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$
@@ -435,20 +436,77 @@ $(h,f_P)$ qu'ils engendrent, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} =: \kappa'$
 est le corps de rupture de $\bar h$ sur $\kappa$ (de degré $2$
 sur $\kappa$, donc).
 
+\begin{corrige}
+On a $A/(f_P) = k[x,y]/(h,f_P) = \kappa[y]/(\bar h)$ : pour voir la
+seconde égalité, par exemple, on considère le morphisme $k[x,y] \to
+\kappa[y]/(\bar h)$ envoyant $x$ et $y$ respectivement sur la classe
+de $x$ dans $\kappa$ et sur la classe de $y$ modulo $\bar h$, il est
+surjectif car son image contient les classes de $x$ et $y$ qui
+enegndrent $\kappa[y]/(\bar h)$ comme $k$-algèbre, et son noyau est
+l'ensemble des polynômes dans $k[x,y]$ qui, une fois réduits
+modulo $f_P$ (pour donner des éléments de $\kappa[y]$) sont multiples
+de $\bar h$, ce qui est signifie bien qu'ils sont dans l'idéal
+$(h,f_P)$ engendré par $h$ et $f_P$.  Les idéaux maximaux de $k[x,y]$
+contenant $h,f_P$ sont donc en correspondance (et avec le même corps
+quotient) avec les idéaux maximaux de $\kappa[y]$ contenant $\bar h$,
+et ceux-ci sont eux-mêmes en correspondance avec les facteurs
+irréductibles de $\bar h$ dans $\kappa[y]$.
+
+Ce point étant acquis, si $\bar h \in \kappa[y]$ se factorise comme
+produit de deux facteurs, forcément de degré $1$, le théorème chinois
+montre que $\kappa[y]/(\bar h)$ est le produit de deux copies
+de $\kappa$, et il existe donc deux idéaux maximaux de
+$\kappa[y]/(\bar h)$ le quotient par chacun d'eux est isomorphe
+à $\kappa$, et si $\bar h$ est irréductible dans $\kappa[y]$, c'est
+que $\kappa[y]/(\bar h) = k[x,y]/(h,f_P)$ est un corps, de degré
+$\deg(\bar h) = 2$ sur $\kappa$.
+\end{corrige}
+
 \smallbreak
 
 (10) En continuant le contexte de la question précédente
 ($f_P$ polynôme unitaire irréductible ne divisant pas $f$), montrer
 que, quel que soit l'idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$
-contenant $h$ et $f_P$, l'évaluation de $h'_x$ en $Z(\mathfrak{n})$
-(qui est par définition, la classe de $h'_x$ modulo $\mathfrak{n}$,
+contenant $h$ et $f_P$, l'évaluation de $h'_y$ en $Z(\mathfrak{n})$
+(qui est par définition, la classe de $h'_y$ modulo $\mathfrak{n}$,
 vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle.
 Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places
 de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg
 f_P$.  Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi
-construites.  Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ (c'est-à-dire $[K :
-  k(f_P(x))]$) ?  En déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs
-qu'aux places qu'on a construites.
+construites.  Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ en tant que fonction
+sur $E$ (c'est-à-dire $[K : k(f_P(x))]$) ?  En déduire que $f_P(x)$ ne
+s'annule pas ailleurs qu'aux places qu'on a construites.
+
+\begin{corrige}
+On a $h'_y = 2y$.  On rappelle qu'un élément d'un anneau est
+inversible si et seulement si il n'appartient à aucun idéal maximal
+(cf. \ref{existence-maximal-ideals}).  Pour montrer que $h'_y$ n'est
+pas nul dans les quotients $\kappa' = k[x,y]/\mathfrak{n}$ où
+$\mathfrak{n}$ est un idéal maximal de $k[x,y]$ contenant $h,f_P$, il
+s'agit donc de montrer que (la classe de) $y$ est inversible dans
+$k[x,y]/(f_P,h) = \kappa[y]/(\bar h)$.  Or $\bar h \in \kappa[y]$ a
+pour coefficient constant la classe $\bar f = x^3 + ax + b$
+modulo $f_P$.  Comme on a fait l'hypothèse que $f_P$ ne divise
+pas $f$, cette classe est inversible dans $\kappa$.
+D'après \ref{smooth-points-give-unique-place}, on en déduit qu'il
+existe une unique place de $E$ pour chaque idéal maximal de $A$
+contenant $f_P$ (c'est ici qu'on utilise $A/(f_P) = k[x,y]/(h,f_P)$),
+et que ces places ont les mêmes corps résiduels que les $\kappa'$
+qu'on a construits.
+
+Le fait que $f_P$ s'annule aux places ainsi construites vient du fait
+qu'il est nul dans $\kappa$.
+
+Le degré de $f_P(x)$ en tant que fonction sur $E$ est $[K : k(f_P(x))]
+= [K : k(x)]\cdot [k(x) : k(f_P(x))]$.  Dans ce produit, le premier
+facteur est $\deg x = 2$ d'après (5), et le second est $\deg f_P$ (en
+se rappelant que le degré d'un polynôme est le même que son degré en
+tant que fonction sur $\mathbb{P}^1$,
+cf. circa \ref{degree-of-a-function}).  Or on a trouvé des places de
+degré total $2\deg f_P$ en lesquelles $f_P(x)$ s'annule : d'après
+l'identité du degré, ce sont exactement toutes les places où $f_P(x)$
+s'annule.
+\end{corrige}
 
 
 
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