From 0ae005e5848246c6a15373adfd19408c92dd35b9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 17 Mar 2022 23:00:11 +0100
Subject: Another exercise, on plane similitudes as projective transformations
 preserving the circuler points at infinity.

---
 exercices.tex | 93 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 92 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'exercices.tex')

diff --git a/exercices.tex b/exercices.tex
index a0f40a8..e7a50db 100644
--- a/exercices.tex
+++ b/exercices.tex
@@ -401,7 +401,7 @@ la question est tournée.)
 %
 %
 
-\exercice
+\exercice\label{exercice-circular-points-at-infinity}
 
 Soient $x_0,y_0,r$ des réels avec $r>0$.  Soit $C := \{(x,y) \mid
 (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\} \subseteq \mathbb{A}^2$ le cercle de
@@ -493,6 +493,97 @@ Nullstellensatz) ; bref, $\sqrt{I} = \mathfrak{I}(D) = (y)$.
 \end{corrige}
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $M \in \mathit{PGL}_3(\mathbb{R})$ une transformation projective
+du plan projectif $\mathbb{P}^2$ sur les réels.  On appellera $I :=
+(0{:}1{:}i)$ et $J := (0{:}1{:}-i)$ les « points cycliques à
+l'infini » (cf. exercice \ref{exercice-circular-points-at-infinity},
+qu'il n'est pas nécessaire d'avoir traité), deux points complexes
+de $\mathbb{P}^2$.  On voit $\mathbb{A}^2$ dans $\mathbb{P}^2$ en
+identifiant le point $(x,y)$ de $\mathbb{A}^2$ au point $(1:x:y)$
+de $\mathbb{P}^2$ ; et on munit $\mathbb{A}^2$ sur les réels de sa
+structure euclidienne usuelle pour les coordonnées qu'on vient de
+dire, c'est-à-dire que le carré de la distance entre $(x_1,y_1)$ et
+$(x_2,y_2)$ est $(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2$.
+
+Montrer qu'il y a équivalence entre :
+\begin{itemize}
+\item la transformation projective $M$ fixe le point $I$,
+\item la transformation projective $M$ fixe chacun des points
+  complexes $I$ et $J$,
+\item la transformation projective $M$ définit une similitude directe
+  du plan euclidien (c'est-à-dire, préserve les angles et
+  l'orientation).
+\end{itemize}
+
+\begin{corrige}
+Supposons d'abord que $M$ fixe $I$.  Elle doit alors fixer aussi le
+point $J$ puisque ce dernier est le conjugué complexe de $I$ et que
+$M$ est à coordonnées réelles.  Ceci démontre l'équivalence entre les
+deux premières propriétés.  Par ailleurs, si elles sont vérifiées,
+alors $M$ doit aussi envoyer la droite $\ell_\infty := IJ$ sur
+elle-même, qui est la « droite à l'infini » (caractérisée par
+l'annulation de la première coordonnée homogène) complémentaire du
+$\mathbb{A}^2$ qu'on a fixé ; cette condition d'envoyer $\ell_\infty$
+sur elle-même est aussi impliquée par la troisième condition (puisque
+$M$ est supposée être une bijection de $\mathbb{P}^2$ sur lui-même qui
+se restreint à une bijection de $\mathbb{A}^2$ sur lui-même, donc
+aussi de son complémentaire $\ell_\infty$).
+
+Autrement dit, sous n'importe laquelle des conditions indiquées, $M$
+envoie $\ell_\infty$ sur lui-même, c'est-à-dire que c'est une
+transformation \emph{affine}.  On peut l'écrire sous la forme :
+\[
+\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}
++
+\begin{pmatrix}u\\v\\\end{pmatrix}
+\]
+c'est-à-dire en coordonnées homogènes
+\[
+\begin{pmatrix}T\\X\\Y\\\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}1&0&0\\u&a&b\\v&c&d\\\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}T\\X\\Y\\\end{pmatrix}
+\]
+Le fait d'avoir $MI = I$ signifie que $(0:a+ib:c+id) = (0:1:i)$, ou,
+si on préfère, $c+id = i(a+ib) = -b+ia$, ce qui équivaut à $b = -c$ et
+$d = a$.
+
+Or la condition $b = -c$ et $d = a$ caractérise les similitudes
+directes euclidiennes.  Une façon de le voir est de décrire les
+similitudes directes par leur action sur le plan complexe : une
+similitude directe est une transformation envoyant le point d'affixe
+$z := x+iy \in \mathbb{C}$ sur sur $mz+p$ pour certains
+$m,p\in\mathbb{C}$ (on peut la voir comme la composée de la rotation
+d'angle $\arg m$ autour de l'origine, de l'homothétie de rapport $|m|$
+centrée en l'origine, et de la translation par $p$) ; via
+l'identification $m = a+ic$ et $p = u+iv$, cette description coïncide
+bien avec la condition qu'on bient d'obtenir.  Une autre façon de le
+voir consiste à remarquer que les vecteurs
+$\begin{pmatrix}a\\c\\ \end{pmatrix}$ et
+$\begin{pmatrix}b\\d\\ \end{pmatrix}$ images de
+$\begin{pmatrix}1\\0\\ \end{pmatrix}$ et
+$\begin{pmatrix}0\\1\\ \end{pmatrix}$ sur deux vecteurs orthogonaux ce
+qui signifie $ab+cd=0$, de même norme ce qui siginifie $a^2+c^2 =
+b^2+d^2$, et de même orientation ce qui signifie $ad - bc > 0$ ; on
+peut ensuite manipuler ces équations de différentes manières pour
+arriver au résultat voulu, par exemple en écrivant $(ac+bd)(ab+cd) -
+ad(a^2+c^2 -b^2-d^2) = -(a^2-d^2)(ad-bc)$ ce qui montre que
+$a^2-d^2=0$ et donc $b^2-c^2=0$, après quoi il est facile de vérifier
+que des quatre combinaisons de signes $d=\pm a$ et $b=\pm c$, seule
+$b=-c$ et $d=a$ conduit bien à satisfaire les équations avec le signe
+voulu sur le discriminant, et donne bien une similitude directe.
+\end{corrige}
+
+
 %
 %
 %
-- 
cgit v1.2.3