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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 1 Apr 2022 22:52:33 +0200
Subject: Add a (very long) exercise on curves and divisors.

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 exercices.tex | 368 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 368 insertions(+)

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index 6d8ff3e..ec90648 100644
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+++ b/exercices.tex
@@ -33,6 +33,9 @@
 %
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\val}{\operatorname{val}}
+\newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
@@ -748,6 +751,371 @@ $(A,B;C,D)$ (sur $m$).
 \end{corrige}
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Dans cet exercice, on se place sur un corps $k$ de caractéristique
+différente de $2$ et $3$.
+
+Soit $C := \{ y^2 = x^3 - x \}$ la variété algébrique affine dans
+$\mathbb{A}^2$ définie par l'annulation du polynôme $h := y^2 - x^3 +
+x \in k[x,y]$.
+
+(1) Donner l'équation de la complétée projective $C^+$ de $C$
+dans $\mathbb{P}^2$ (c'est-à-dire, l'adhérence de Zariski de $C$
+dans $\mathbb{P}^2$) dont les coordonnées seront notées $(T{:}X{:}Y)$
+(en identifiant le point $(x,y)$ de $\mathbb{A}^2$ avec $(1{:}x{:}y)$
+de $\mathbb{P}^2$).  Quels sont ses points « à l'infini »
+(c'est-à-dire situés sur $C^+$ mais non sur $C$) ?
+
+\begin{corrige}
+La complétée projective de $Z(h) \subseteq \mathbb{A}^2$ est donnée
+par l'équation $T^{\deg h}\, h(\frac{X}{T}, \frac{Y}{T})$,
+c'est-à-dire $T Y^2 = X^3 - T^2 X$.  Les points à l'infini sont donnés
+en mettant $T=0$ (équation de la droite à l'infini) avec cette
+équation, ce qui donne $X^3=0$ soit $X=0$, si bien que le seul point
+est $(0{:}0{:}1)$ (point à l'infini dans la direction « verticale »).
+\end{corrige}
+
+(2) Montrer que $C^+$ est lisse.
+
+\begin{corrige}
+Si $h^+\in k[T,X,Z]$ est le polynôme homogène $T Y^2 - X^3 + T^2 X$,
+il s'agit de vérifier que $\frac{\partial h^+}{\partial T} = Y^2 + 2T
+X$ et $\frac{\partial h^+}{\partial X} = -3X^2 + T^2$ et
+$\frac{\partial h^+}{\partial Y} = 2 T Y$ n'ont pas de zéro commun
+(autre que $T=X=Y=0$ qui ne définit pas un point de $\mathbb{P}^2$)
+sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.  Or $2TY=0$ implique soit
+$T=0$ soit $Y=0$ (car le corps est de caractéristique $\neq 2$), dans
+le premier cas les deux autres équations donnent $Y^2=0$ donc $Y=0$ et
+$-3X^2=0$ donc (comme le corps est de caractéristique $\neq 3$) que
+$X=0$ ; et dans le second cas, on a $2TX=0$, le cas $T=0$ a déjà été
+traité, reste à regarder $X=0$, mais on a alors $T^2=0$ par une autre
+équation, donc $T=0$ ; donc dans tous les cas $T=X=Y=0$.
+
+(On pouvait aussi trouver les relations $X^3 = \frac{1}{6} T \,
+\frac{\partial h^+}{\partial T} - \frac{1}{3} X \, \frac{\partial
+  h^+}{\partial X} - \frac{1}{12} Y \, \frac{\partial h^+}{\partial
+  Y}$ et $Y^3 = Y \, \frac{\partial h^+}{\partial T} - X \,
+\frac{\partial h^+}{\partial Y}$ et $T^4 = \frac{3}{2} T X \,
+\frac{\partial h^+}{\partial T} + T^2 \, \frac{\partial h^+}{\partial
+  X} - \frac{3}{4} X Y \, \frac{\partial h^+}{\partial Y}$ qui
+collectivement montrent que $\frac{\partial h^+}{\partial T}$ et
+$\frac{\partial h^+}{\partial X}$ et $\frac{\partial h^+}{\partial Y}$
+engendrent un idéal irrelevant puisque contenant $X^3,Y^3,T^4$ (donc
+ne peuvent pas toutes s'annuler simultanément dans $\mathbb{P}^2$).
+\end{corrige}
+
+(3) On considère maintenant $h := y^2 - x^3 + x$ comme élément de
+$k(x)[y]$, c'est-à-dire comme polynôme en l'indéterminée $y$ sur le
+corps $k(x)$ des fractions rationnelles en l'indéterminée $x$.
+Montrer qu'il est irréductible (on pourra pour cela vérifier que
+l'élément $x^3 - x$ de $k(x)$ n'est pas le carré d'un élément de
+$k[x]$ et en déduire qu'il n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$).
+En déduire que le quotient $K := k(x)[y]/(h)$ est un corps.  En
+déduire que $K := k(x)[y]/(h)$ est le corps des fonctions rationnelles
+aussi bien de $C$ que de $C^+$ (on pourra remarquer que $k(x)[y]/(y^2
+- x^3 + x)$ contient $k[x,y]/(y^2 - x^3 + x)$).
+
+\begin{corrige}
+Remarquons d'abord que $x^3 - x$ n'est pas le carré d'un élément
+de $k[x]$ : c'est clair car le carré d'un polynôme sur un corps est de
+degré pair.  On en déduit que ce n'est pas non plus le carré d'un
+élément de $k(x)$, car si on écrivait un tel élément $u/v$ avec $u,v$
+polynômes sans facteur commun (ce qui a un sens car $k[x]$ est un
+anneau factoriel — c'est-à-dire qu'il admet une décomposition unique
+en éléments irréductibles), son carré serait $u^2/v^2$ avec $u^2,v^2$
+également sans facteur commun, donc on doit avoir $v$ constant pour ne
+pas avoir de dénominateur et finalement $u$ est un polynôme.
+
+Le fait que $x^3 - x$ ne soit pas un carré dans $k(x)$ signifie que $h
+:= y^2 - x^3 + x \in k(x)[y]$ n'a pas de racine.  Mais il est de
+degré $2$, donc sa seule factorisation non-triviale possible serait en
+deux facteurs de degré $1$, ce qui implique qu'il aurait deux racines,
+et on vient de voir qu'il n'y en a pas.  Ainsi, $h$ est irréductible
+(en tant qu'élément de $k(x)[y]$).
+
+Le quotient $K := k(x)[y]/(h)$ est donc un corps car il est de la
+forme $K = E[y]/(h)$ avec $E$ un corps et $h$ un polynôme irréductible
+en une seule variable sur $E$.  (Rappels : $K$ est un anneau intègre
+puisque $uv=0$ dans $K$ signifie que $u,v$ relevés à $E[y]$, sont
+multiples de $h$, mais comme $h$ est irréductible, l'un des deux doit
+être multiple de $h$, donc nul dans $K$ ; et $K$ est alors un anneau
+intègre de dimension finie sur $E$, donc un corps car la
+multiplication $K \to K, z \mapsto az$ par un élément $a$ non nul est
+injective donc bijective car entre espaces vectoriels de même
+dimension finie.)
+
+Comme $C = Z(y^2 - x^3 + x)$ est affine, l'anneau $\mathcal{O}(C)$ des
+fonctions \emph{régulières} sur $C$ est $k[x,y] / (y^2 - x^3 + x)$.
+Cet anneau est contenu dans $K$ (au sens où le morphisme évident
+$\mathcal{O}(C) \to K$, défini en envoyant chacun de $x$ et $y$ sur
+l'élément du même nom, et qui passe au quotient par $y^2 - x^3 + x$,
+est injectif puisque tout multiple de $y^2 - x^3 + x$ dans $k(x)[y]$
+qui est dans $k[x,y]$ est déjà multiple de $y^2 - x^3 + x$ dans
+$k[x,y]$).  Puisque le corps $K$ contient $\mathcal{O}(C)$, il
+contient son corps des fractions, qui est le corps $k(C)$ des
+fonctions rationnelles de $C$ ; mais réciproquement, comme $k(C)$, vu
+dans $K$, contient à la fois $x$ et $y$, il doit contenir d'abord le
+corps engendré par $x$, soit $k(x)$, et ensuite l'anneau engendré par
+$y$ au-dessus de ce corps, qui est justement $K$.
+
+Ceci montre que $K = k(C)$.  Comme $C$ est un ouvert de Zariski (non
+vide, donc dense) de $C^+$ (précisément, c'est l'ouvert $T \neq 0$),
+ils ont le même corps des fonctions rationnelles, donc $K = k(C^+)$
+aussi.
+\end{corrige}
+
+(4) Expliquer pourquoi tout élément de $K := k(x)[y]/(h)$ possède une
+représentation unique sous la forme $g_0 + g_1\, y$ où $g_0$ et $g_1$
+sont des fractions rationnelles en l'indéterminée $x$ (et où on a noté
+abusivement $y$ pour la classe de $y$ modulo $h$).  Expliquer comment
+on calcule les sommes et les produits dans $K$ sur cette écriture.
+Expliquer comment la connaissance d'une relation de Bézout $ug + vh =
+1 \in k(x)[y]$ permet de calculer l'inverse d'un élément $g = g_0 +
+g_1\, y$ de $K$.  À titre d'exemple, calculer l'inverse de $y$
+dans $K$ (on pourra observer ce que vaut $y^2$ dans $K$).
+
+\begin{corrige}
+Par division euclidienne dans $E[y]$ où $E = k(x)$ (noter que $E$ est
+un corps), tout élément de $E[y]$ s'écrit de façon unique sous la
+forme $q h + g$ où $\deg g < \deg h = 2$.  C'est-à-dire que tout
+élément de $E[y]$ est congru modulo $h$ à un unique élément $g \in
+E[y]$ de degré $<2$, qu'on peut alors écrire sous la forme $g_0 +
+g_1\, y$ où $g_0,g_1 \in E = k(x)$.
+
+Pour ajouter deux éléments écrits sous cette forme, on ajoute
+simplement les $g_0,g_1$ correspondants.  Pour les multiplier, on
+effectue le produit dans $E[y]$ et on effectue une division
+euclidienne par $h$ pour se ramener à un degré $<2$, ce qui, en
+l'espèce, revient simplement à remplacer $y^2$ par $x^3 - x$.
+
+Une relation de Bézout $ug + vh = 1$ dans $E[y]$ se traduit en $ug =
+1$ dans $E[y]/(h) =: K$, ce qui signifie que $u$ est l'inverse de $g$.
+Or on sait qu'on peut (par l'algorithme d'Euclide étendu dans $E[y]$)
+calculer une telle relation de Bézout dès lors que $g$ et $h$ ont pour
+pgcd $1$ (c'est-à-dire que $g$ n'est pas multiple de $h$, i.e., pas
+nul dans $K$).  À titre d'exemple, comme $y^2 = x^3 - x$ dans $K$, on
+a $\frac{1}{y} = \frac{y}{x^3-x}$.
+\end{corrige}
+
+On rappelle le fait suivant : pour chaque point $P$ de la courbe
+$C^+$, il existe une et une seule fonction $\ord_P\colon K\to
+\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
+\textbf{(o)} $\ord_P(g) = \infty$ si et seulement si $g=0$,\quad
+\textbf{(k)} $\ord_P(c) = 0$ si $c\in k$,\quad
+\textbf{(i)} $\ord_P(g_1 + g_2) \geq \min(\ord_P(g_1), \ord_P(g_2))$
+(avec automatiquement l'égalité lorsque $\ord_P(g_1) \neq
+\ord_P(g_2)$),\quad \textbf{(ii)} $\ord_P(g_1 g_2) = \ord_P(g_1) +
+\ord_P(g_2)$,\quad \textbf{(n)} $1$ est atteint par $\ord_P$, et enfin
+\quad \textbf{(r)} $\ord_P(g) \geq 0$ si $g$ est définie en $P$ (avec
+automatiquement $\ord_P(g) > 0$ si $g$ s'annule en $P$).
+
+(5) On va chercher à mieux comprendre la fonction $\ord_O$ lorsque $O$
+est le point $(0,0)$ de la courbe $C$.\quad (a) Posons $e :=
+\ord_O(x)$ : pourquoi a-t-on $e \geq 1$ ?\quad (b) Cherchons à
+comprendre ce que vaut $\ord_O$ sur le sous-corps $k(x)$ de $K$ ne
+faisant pas intervenir $y$.  Montrer que $\ord_O(g) = e\cdot
+\val_0(g)$ si $g \in k[x]$, où $\val_0(g)$ désigne l'ordre du zéro de
+$g$ à l'origine en tant que polynôme en une seule variable $x$
+(c'est-à-dire le plus grand $r$ tel que $x^r$ divise $g$).  En déduire
+que $\ord_O(g) = e\cdot \val_0 (g)$ pour tout $g\in k(x)$, où
+$\val_0(g)$ désigne l'ordre du zéro de $g$ à l'origine en tant que
+fonction rationnelle en une seule variable $x$ (c'est-à-dire $\val_0$
+de son numérateur moins $\val_0$ de son dénominateur).\quad
+(c) Calculer $\ord_O(y^2)$ et en déduire $\ord_O(y)$ (en faisant
+intervenir le nombre $e$).\quad (d) En déduire comment calculer
+$\ord_O(g_0 + g_1\, y)$ pour $g_0,g_1\in k(x)$ (toujours en faisant
+intervenir le nombre $e$).\quad (e) En faisant intervenir la propriété
+(n) (de normalisation de $\ord_O$), en déduire la valeur de $e$ et
+finalement la valeur de $\ord_O(g_0 + g_1\, y)$ pour $g_0,g_1 \in
+k(x)$.
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $e := \ord_O(x) \geq 1$ car $x$ s'annule en $O$ (par la
+  propriété (r)).
+
+(b) De $\ord_O(x) = e$ on déduit $\ord_O(x^i) = e\cdot i$ par la
+  propriété (ii), donc $\ord_O(c x^i) = e\cdot i$ si $c\in k^\times$
+  par la propriété (k), et donc, par la propriété (i), que $\ord_O(c_r
+  x^r + \cdots + c_n x^n) = e\cdot r$ si $r\leq n$ et $c_r,\ldots,c_n
+  \in k$ et $c_r \neq 0$, ce qui signifie précisément $\ord_O(g) =
+  e\cdot\val_0(g)$ si $g\in k[x]$.  Si $g = u/v \in k(x)$ avec $u,v\in
+  k[x]$, on a $\val_0(g) = \val_0(u) - \val_0(v)$ et $\ord_O(g) =
+  \ord_O(u) - \ord_O(v)$ (par la propriété (ii)), donc toujours
+  $\ord_O(g) = e\cdot\val_0(g)$.
+
+(c) Comme $y^2 = x^3 - x$ dans $K$, on a $\ord_O(y^2) = e\cdot
+  \val_0(x^3 - x) = e$.  On en déduit $\ord_O(y) = \frac{1}{2}e$
+  (propriété (ii)).
+
+(d) On a vu $\ord_O(g_0) = e\cdot\val_0(g_0)$ en (b), et $\ord_O(g_1\,
+  y) = e\cdot(\val_0(g_1)+\frac{1}{2})$ puisque $\ord_O(y) =
+  \frac{1}{2}e$.  Comme $\val_0(g_0)$ et $\val_0(g_1)+\frac{1}{2}$ ne
+  peuvent pas être égaux, la propriété (i) donne $\ord_O(g_0 + g_1\,
+  y) = e\cdot\min(\val_0(g_0), \val_0(g_1)+\frac{1}{2})$ quels que
+  soient $g_0,g_1\in k(x)$.
+
+(e) On vient de voir $\ord_O(g_0 + g_1\, y) = e\cdot\min(\val_0(g_0),
+  \val_0(g_1)+\frac{1}{2})$ : pour que ceci ne prenne que des valeurs
+  entières, $e$ doit être pair ; mais pour que ceci puisse prendre la
+  valeur $1$ (donc tous les entiers), $e$ doit être exactement égal
+  à $2$.  Finalement, on a donc $\ord_O(g_0 + g_1\, y) =
+  \min(2\val_0(g_0), 2\val_0(g_1)+1)$.
+\end{corrige}
+
+(6) En notant $(\infty)$ le point à l'infini de $C^+$, montrer que le
+diviseur $\divis(x)$ de $x$ (vu comme fonction rationnelle sur $C^+$)
+vaut $2[O] - 2[\infty]$.  En déduire $\ord_\infty(y)$, et en déduire
+$\divis(y) = [O] + [P] + [Q] - 3[\infty]$ où $P=(1,0)$ et $Q=(-1,0)$.
+
+\begin{corrige}
+À la question (5), on a calculé $\ord_O(x) = 2$.  En tout autre point
+de $C^+$ non situé à l'infini (c'est-à-dire, situé sur $C$), la
+fonction $x$ n'a ni zéro ni pôle (elle n'a pas de pôle car $x$ est une
+fonction régulière sur $\mathbb{A}^2$ et notamment sur $C$, et elle
+n'a pas de zéro car le seul point de $C$ où $x$ s'annule vérifie
+aussi $y=0$ d'après l'équation $y^2 = x^3 - x$, donc est $(0,0) =:
+O$).  Comme le degré total du diviseur de $x$ doit être $0$, l'ordre
+en $\infty$ doit forcément être $-2$, autrement dit $\divis(x) = 2[O]
+- 2[\infty]$.
+
+Comme $\ord_\infty(x) = -2$, on a $\ord_\infty(x^3) = -6$ et
+$\ord_\infty(y^2) = \ord_\infty(x^3 - x) = -6$, donc $\ord_\infty(y) =
+-3$.  Comme la fonction $y$ est régulière sur $\mathbb{A}^2$ et
+notamment sur $C$, elle n'a pas d'autre pôle que $\infty$, et elle
+s'annule en les points $(x,y)$ de $C$ où $y=0$ et $x^3-x=0$
+c'est-à-dire $x(x-1)(x+1)=0$, qui sont donc $O,P,Q$ (qui sont
+distincts car $k$ est de caractéristique $\neq 2$).  Comme le degré
+total de $\divis(y)$ doit être $0$, l'ordre en chacun de $O,P,Q$ doit
+forcément être $1$ (puisque ce sont trois entiers strictement positifs
+de somme $3$), autrement dit $\divis(y) = [O] + [P] + [Q] -
+3[\infty]$.
+\end{corrige}
+
+(7) Toujours en notant $(\infty)$ le point à l'infini de $C^+$,
+montrer que $\ord_\infty(g_0 + g_1\, y) = \min(2\val_\infty(g_0),
+2\val_\infty(g_1)-3)$ pour $g_0,g_1 \in k(x)$, où $\val_\infty(g)$
+désigne la valuation usuelle de $g$ à l'infini en tant que fonction
+rationnelle en une seule variable $x$, c'est-à-dire le degré du
+dénominateur moins le degré du numérateur.
+
+\begin{corrige}
+On a vu $\ord_\infty(x) = -2 = 2\val_\infty(x)$ : on en déduit que
+$\ord_\infty(g) = 2\val_\infty(g)$ pour tout $g\in k[x]$ puis pour
+tout $g\in k(x)$ (comme en (5)(b)).  Comme $\ord_\infty(y) = -3$, on a
+$\ord_\infty(g_0 + g_1\, y) = \min(2\val_\infty(g_0),
+2\val_\infty(g_1)-3)$ (en utilisant la propriété (i) et en remarquant
+que $2\val_\infty(g_0)$ et $2\val_\infty(g_1)-3$ ne peuvent pas être
+égaux).
+\end{corrige}
+
+(8) Pour $n\in \mathbb{N}$, soit $\mathscr{L}(n[\infty]) := \{0\} \cup
+\{f\in k(C)^\times : \divis(f) +n[\infty] \geq 0\}$ l'espace vectoriel
+sur $k$ des fonctions rationnelles sur $C^+$ ayant au pire un pôle
+d'ordre $n$ en $\infty$ (et aucun pôle ailleurs).  Décrire
+explicitement $\mathscr{L}(n[\infty])$ comme l'ensemble des $g_0 +
+g_1\,y$ avec $g_0,g_1\in k[x]$ vérifiant certaines contraintes sur
+leur degré : en déduire la valeur de $\ell (n[\infty]) := \dim_k
+\mathscr{L}(n[\infty])$ et notamment le fait que $\ell (n[\infty]) =
+n$ si $n$ est assez grand.
+
+\begin{corrige}
+Dire que $g_0 + g_1\, y$ appartient à $\mathscr{L}(n[\infty])$
+signifie qu'elle est régulière partout sauf peut-être en $\infty$, et
+que par ailleurs $\ord_\infty(g_0 + g_1\, y) \geq -n$.  La première
+condition signifie $g_0,g_1\in k[x]$ ; la seconde signifie
+$\min(2\val_\infty(g_0), 2\val_\infty(g_1)-3) \geq -n$, c'est-à-dire
+$\max(2\deg(g_0), 2\deg(g_1)+3) \leq n$, autrement dit,
+$\mathscr{L}(n[\infty])$ est l'ensemble des $g_0 + g_1\,y$ avec
+$g_0,g_1\in k[x]$ vérifiant $\deg(g_0) \leq \frac{1}{2}n$ et
+$\deg(g_1) \leq \frac{1}{2}(n-3)$.  Comme la dimension de l'espace des
+polynômes vérifiant $\deg(g) \leq B$ pour $B\in \mathbb{R}$ vaut
+$\max(0,\lfloor B\rfloor + 1)$, on trouve finalement $\ell (n[\infty])
+= \max(0,\lfloor \frac{1}{2}n\rfloor + 1) + \max(0,\lfloor
+\frac{1}{2}(n-3)\rfloor + 1)$, ce qui, après examen des quelques
+premiers cas, donne
+\[
+\ell (n[\infty]) = \left\{
+\begin{array}{ll}
+0&\hbox{~si $n<0$}\\
+1&\hbox{~si $n=0$ (ou $n=1$)}\\
+n&\hbox{~si $n\geq 1$}\\
+\end{array}
+\right.
+\]
+pour dimension de l'espace des fonctions rationnelles sur $C^+$ ayant
+au pire un pôle d'ordre $n$ en $\infty$ (et aucun pôle ailleurs).
+\end{corrige}
+
+(9) En comparant la valeur trouvée pour $\ell (n[\infty])$ avec la
+formule de Riemann-Roch, calculer le genre de $C^+$.
+
+\begin{corrige}
+La formule de Riemann-Roch prédit $\ell(D) - \ell(K-D) = \deg(D) + 1 -
+g$ où $g$ est le genre de la courbe (à déterminer), et notamment
+$\ell(D) = \deg(D) + 1 - g$ si $\deg(D) > 2g-2$.  Or on vient de voir
+que pour $D := n[\infty]$ avec $n$ assez grand (et notamment
+$\deg(n[\infty]) = n$ plus grand que ce qu'on voudra), on a
+$\ell(n[\infty]) = n = \deg(n[\infty])$.  On en déduit $g = 1$.
+\end{corrige}
+
+(10) Montrer que $\omega := \frac{dx}{y} = \frac{2\,dy}{3x^2-1} \in
+\Omega^1(C)$ et montrer que cette différentielle est d'ordre $0$
+en $\infty$.  Expliquer pourquoi $dx$ et $dy$ sont régulières (i.e.,
+d'ordre $\geq 0$) sur $C$ et ne peuvent pas s'annuler (i.e., avoir un
+ordre $>0$) simultanément en un point de $C$.  (Pour la seconde
+affirmation, on pourra noter que si $f$ est régulière sur $C$ alors
+$df = f'_x\,dx + f'_y\,dy$ avec $f'_x,f'_y$ régulières sur $C$, et
+qu'il n'est pas possible que tous les $df$ s'annulent en $M$.)  En
+remarquant que $y$ et $3x^2-1$ ne s'annulent jamais simultanément
+sur $C$, montrer que $\omega$ est d'ordre $0$ en tout point (elle n'a
+ni zéro ni pôle), i.e., $\divis(\omega) = 0$.  En déduire un calcul du
+genre de $g$ indépendant des questions (8) et (9).
+
+\begin{corrige}
+En dérivant $y^2 = x^3 - x$ on trouve $2y\,dy = (3x^2-1)\,dx$ dans le
+$k(C)$-espace vectoriel $\Omega^1(C)$, d'où $\frac{dx}{y} =
+\frac{2\,dy}{3x^2-1}$ comme annoncé.
+
+En $\infty$, on a $\ord_\infty(dx) = \ord_\infty(x) - 1 = -3$ (car
+$\ord_\infty(x) = -2 \neq 0$), et $\ord_\infty(y) = -3$, donc
+$\ord_\infty(\omega) = 0$.
+
+En tout point (géométrique) $M$ de $C$ on a $\ord_M(x) \geq 0$ donc
+$\ord_M(dx) \geq 0$, et $\ord_M(y) \geq 0$ donc $\ord_M(dy) \geq 0$.
+Par ailleurs, si $f$ est une fonction rationnelle sur $C$, on a $df =
+f'_x\,dx + f'_y\,dy$ où $f'_x,f'_y$ sont les dérivées partielles (au
+sens usuel) de $f$ par rapport à $x,y$ respectivement (si $f$ est
+écrite, disons, de la forme $g_0 + g_1\,y$ avec $g_0,g_1\in k(x)$,
+alors $f'_x = g'_0 + g'_1\,y$ et $f'_y = g_1$) ; en choisissant une
+fonction régulière sur $C$ (donc dans $k[x,y]/(y^2-x^3+x)$) qui est
+une uniformisante en $M$, on a $f'_x,f'_y$ régulières et $\ord_M(df) =
+0$, ce qui interdit qu'on ait simultanément $\ord_M(dx) > 0$ et
+$\ord_M(dy) > 0$.
+
+En tout point (géométrique) $M$ de $C$ où $y$ ne s'annule pas, on a
+$\ord_M(\omega) \geq 0$ car $\ord_M(dx) \geq 0$ et $\ord_M(y) = 0$ ;
+de même, en tout point où $3x^2-1$ ne s'annule pas, on a
+$\ord_M(\omega) \geq 0$ car $\ord_M(dy) \geq 0$ et $\ord_M(3x^2-1) =
+0$.  Comme $y$ et $3x^2-1$ ne s'annulent jamais simultanément sur $C$
+(car $y$ ne s'annule qu'en $O=(0,0)$, $P=(1,0)$ et $Q=(-1,0)$, et
+$3x^2-1$ n'est nul en aucun de ces points), ceci montre
+$\ord_M(\omega) \geq 0$ en tout $M$.  Mais si on avait $\ord_M(\omega)
+> 0$ en un point $M$, les écritures $dx = y\,\omega$ et $dy =
+\frac{3x^2-1}{2}\,\omega$ montreraient que $dx,dy$ s'annulent toutes
+les deux en $M$, ce qui n'est pas possible.  Donc $\ord_M(\omega) = 0$
+en tout $M$ de $C$, et on a déjà montré par ailleurs que
+$\ord_\infty(\omega) = 0$.  Ceci prouve $\divis(\omega) = 0$.
+
+Comme $\deg(\divis(\omega)) = 2g-2$ pour n'importe quelle $\omega \in
+\Omega^1(C)$, ceci montre $2g-2 = 0$ soit $g=1$.
+\end{corrige}
+
+
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