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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 28 Mar 2022 19:29:11 +0200
Subject: Exercise on cross-ratios of projections.

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 exercices.tex | 166 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index e7a50db..6d8ff3e 100644
--- a/exercices.tex
+++ b/exercices.tex
@@ -211,8 +211,9 @@ les paires de points qu'on a reliés pour former une droite sont
 distinctes, et que toutes les paires de droites qu'on a intersectées
 sont aussi distinctes.)
 
+\begin{figure}[h]
 \begin{center}
-\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=1cm]
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=0.5cm]
 %% \clip(-3.43,-5.04) rectangle (4.25,0.85);
 %% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.69*\x)/-1.38});
 %% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.96*\x)/1.19});
@@ -268,6 +269,7 @@ sont aussi distinctes.)
 \end{scriptsize}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
+\end{figure}
 
 (a) Expliquer pourquoi on peut trouver des coordonnées telles que
 $A=(1{:}0{:}0)$, $B=(0{:}1{:}0)$, $C=(0{:}0{:}1)$ et $O=(1{:}1{:}1)$.
@@ -584,6 +586,168 @@ voulu sur le discriminant, et donne bien une similitude directe.
 \end{corrige}
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Si $\ell$ est une droite de $\mathbb{P}^2$ (sur un corps quelconque),
+on note $\ell^*$ le point correspondant du $\mathbb{P}^2$
+dual\footnote{Si on veut être tout à fait formel : si $V = k^3$ où $k$
+  est le corps de base, et si $V^*$ est l'espace vectoriel « dual »
+  des formes $k$-linéaires sur $V$, et si la droite $\ell$ de
+  $\mathbb{P}^2 := \mathbb{P}(V)$ est définie par une équation
+  $\varphi_\ell = 0$ où $\varphi_\ell$ est une forme $k$-linéaire
+  sur $V$, alors $\ell^*$ est le point de $\mathbb{P}^{2*} :=
+  \mathbb{P}(V^*)$ défini par la classe de $\varphi_\ell$ modulo la
+  relation « être colinéaire ».  Ou, en termes de coordonnées, si
+  $\ell$ est la droite $[u_\ell:v_\ell:w_\ell]$ définie par une
+  équation $u_\ell x + v_\ell y + w_\ell z = 0$ sur le $\mathbb{P}^2$
+  de coordonnées $(x:y:z)$, alors $\ell^*$ est le point
+  $(u_\ell:v_\ell:w_\ell)$ du $\mathbb{P}^2$ dit « dual »,
+  $\mathbb{P}^{2*}$, de coordonnées $(u:v:w)$.} qu'on pourra noter
+$\mathbb{P}^{2*}$.
+
+On fixe un point $O$ de $\mathbb{P}^2$.
+
+(1) Rappeler pourquoi les points $\ell^*$ où $\ell$ est une droite
+passant par $O$ dans $\mathbb{P}^2$, forment une droite de
+$\mathbb{P}^{2*}$, qu'on pourra noter $O^*$.
+
+(2) Si $m$ est une droite de $\mathbb{P}^2$ ne passant pas par $O$,
+expliquer pourquoi l'application $m \to O^*$ envoyant un point $P$
+de $m$ vers $(OP)^*$ est une bijection de réciproque l'application
+$O^* \to m$ envoyant $\ell^*$ sur le point d'intersection $\ell\wedge
+m$ de $\ell$ et $m$, et pourquoi ces bijections sont des
+transformations projectives (une fois identifiées les droites $m$
+et $O^*$ à $\mathbb{P}^1$).
+
+(3) En déduire que, si $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ sont quatre
+droites distinctes concourantes en $O$, et $A,B,C,D$ les points
+d'intersection respectifs de $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ avec une
+même droite $m$ ne passant pas par $O$, le birapport $(A,B;C,D)$ de
+ces quatre points est égal au birapport
+$(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ des quatre points
+correspondant à $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ sur $O^*$.
+
+(4) En déduire le fait suivant : si $A,B,C,D$ sont quatre points
+distincts de $\mathbb{P}^2$ tous alignés sur une droite $m$, et $O$
+non situé sur $m$, et si $m'$ est une droite distincte de $m$ et ne
+passant pas par $O$, alors en appelant $A' = m' \wedge OA$
+l'intersection de $m'$ avec la droite $OA$ et de même pour $B',C',D'$,
+le birapport $(A',B';C',D')$ (sur $m'$) est égal au birapport
+$(A,B;C,D)$ (sur $m$).
+
+\begin{figure}[h]
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=0.5cm]
+%% \clip(-4.19,-0.2) rectangle (2.99,5.28);
+%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--3.61-0.24*\x)/2.12});
+%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(-9.08-2.44*\x)/-1.58});
+%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--0.08-2.68*\x)/0.54});
+%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--3.56-2.77*\x)/1.34});
+%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--8.3-2.9*\x)/2.44});
+%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--2.13--0.34*\x)/3.46});
+\begin{scriptsize}
+\coordinate (O) at (-0.86,4.42);
+\coordinate (A) at (-2.44,1.98);
+\coordinate (B) at (-0.32,1.74);
+\coordinate (C) at (0.48,1.65);
+\coordinate (D) at (1.58,1.52);
+\coordinate (Aprime) at (-3.55,0.27);
+\coordinate (Bprime) at (-0.09,0.61);
+\coordinate (Cprime) at (0.94,0.71);
+\coordinate (Dprime) at (2.17,0.83);
+\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Aprime);
+\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Bprime);
+\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Cprime);
+\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Dprime);
+\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (A)--(D);
+\draw[color=black!50!orange,extended line=0.5cm] (Aprime)--(Dprime);
+\fill [color=blue] (O) circle (1.5pt);
+\draw[color=blue] (-0.76,4.58) node {$O$};
+\fill [color=red] (A) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (-2.34,2.14) node {$A$};
+\fill [color=red] (B) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (-0.22,1.91) node {$B$};
+\fill [color=red] (C) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (0.58,1.81) node {$C$};
+\fill [color=red] (D) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (1.68,1.68) node {$D$};
+\fill [color=orange] (Aprime) circle (1.5pt);
+\draw[color=orange] (-3.43,0.43) node {$A'$};
+\fill [color=orange] (Bprime) circle (1.5pt);
+\draw[color=orange] (0.02,0.76) node {$B'$};
+\fill [color=orange] (Cprime) circle (1.5pt);
+\draw[color=orange] (1.05,0.86) node {$C'$};
+\fill [color=orange] (Dprime) circle (1.5pt);
+\draw[color=orange] (2.29,0.99) node {$D'$};
+\end{scriptsize}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+\begin{corrige}
+(1) En termes d'algèbre linéaire, on affirme que l'ensemble des formes
+  linéaires sur $V$ (ici $V = k^3$) s'annulant en un vecteur $v$ non
+  nul fixé de $V$ (représentant le point $O$) forme un hyperplan dans
+  l'espace vectoriel dual $V^*$ des formes linéaires sur $V$.  C'est
+  une conséquence du fait que $\varphi \mapsto \varphi(v)$ est une
+  forme linéaire non nulle sur $V^*$, ce qui est immédiat à vérifier.
+  Si on préfère le dire en termes de coordonnées : le fait que $\ell$
+  d'équation $u_\ell x + v_\ell y + w_\ell z = 0$ passe par $O$ se
+  traduit par une relation $u_\ell x_O + v_\ell y_O + w_\ell z_O = 0$
+  soit $x_O u_\ell + y_O v_\ell + z_O w_\ell = 0$ linéaire entre les
+  coordonnées $(u_\ell:v_\ell:w_\ell)$ de $\ell^*$, qui définit donc
+  une droite $[x_O : y_O : z_O] =: O^*$ de $\mathbb{P}^{2*}$.
+
+(2) Le fait que $\varphi \colon m \to O^*, P \mapsto (OP)^*$ et $\psi
+  \colon O^* \to m, \ell^* \mapsto \ell\wedge m$ soient des bijections
+  réciproques est une conséquence immédiate du fait que deux points
+  déterminent une unique droite (en l'occurrence $O$ et $P$
+  déterminent $\ell$) et que deux droites se coupent en un unique
+  point (en l'occurrence $m$ et $\ell$ déterminent $P$).  La question
+  cruciale, cependant, est de savoir s'il s'agit bien d'une
+  transformation projective, c'est-à-dire si $\varphi$ et $\psi$
+  proviennent d'applications \emph{linéaires}.  Mais c'est une
+  conséquence, pour $\varphi$, des formules donnant les coefficients
+  $[u:v:w]$ d'une équation ($ux+vy+wz=0$) de la droite reliant
+  $O$ et $P$ en fonction de coordonnées $(x_O:y_O:z_O)$ de $O$ et
+  $(x_P:y_P:z_P)$ de $P$, à savoir : $u = y_O z_P - z_O y_P$ et $v =
+  z_O x_P - x_O z_P$ et $w = x_O y_P - y_O x_P$ ; et pour $\psi$, des
+  formules donnant des coordonnées homogènes $(x:y:z)$ du point
+  d'intersection de $\ell$ et $m$ en fonction de coefficients des
+  équations $[u_\ell:v_\ell:w_\ell]$ de $\ell$ et $[u_m:v_m:w_m]$
+  de $m$, à savoir : $x = v_\ell w_m - w_\ell v_m$ et $y = w_\ell u_m
+  - u_\ell w_m$ et $z = u_\ell v_m - v_\ell u_m$ ; le point crucial
+  est que ces deux formules sont \emph{linéaires}, la première en
+  $(x_P,y_P,z_P)$ et la seconde en $(u_m,v_m,w_m)$.
+
+(3) On a défini deux transformations projectives réciproques $\varphi
+  \colon m \to O^*, P \mapsto (OP)^*$ et $\psi \colon O^* \to m,
+  \ell^* \mapsto \ell\wedge m$.  En tant que telles, elles préservent
+  le birapport : on en déduit que
+  $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ est égal à
+  $(\psi(\ell^*_a),\psi(\ell^*_b);\psi(\ell^*_c),\psi(\ell^*_d))$,
+  c'est-à-dire $(A,B;C,D)$ par définition de ces quatre points.
+
+(4) On a vu à la question précédente que le birapport $(A,B;C,D)$
+  coïncide avec $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ où $\ell_a =
+  OA$ et ainsi de suite.  Mais $(A',B';C',D')$ coïncide aussi avec
+  $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ puisque $\ell_a = OA'$ et
+  ainsi de suite.  Ces deux quantités sont donc égales.
+
+(Si on préfère le dire ainsi : l'application $m \mapsto m'$ envoyant
+  un point $P$ de $m$ sur l'intersection $P' = m' \wedge OP$ de $m'$
+  avec la droite $OP$ et une transformation projective pour exactement
+  les mêmes raisons qu'en (2) à savoir la linéarité des formules
+  calculant la droite reliant deux points et l'intersection de deux
+  droites : elle préserve donc le birapport, ce qui montre $(A,B;C,D)
+  = (A',B';C',D')$.)
+\end{corrige}
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cgit v1.2.3

