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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 7 Feb 2018 13:26:44 +0100
Subject: Improve/explain proof of the Nullstellensatz from the weak form.

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@@ -1070,18 +1070,34 @@ de $I$).
 \begin{proof}
 On sait déjà que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit
 de montrer la réciproque.  Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut
-prouver $f\in \surd I$.  On vérifie facilement que ceci revient à
-montrer que l'idéal $I[f^{-1}]$ (c'est-à-dire l'idéal engendré
-par $I$) dans $k[t_1,\ldots,t_d, f^{-1}]$ est l'idéal unité (ici,
-$k[t_1,\ldots,t_d, f^{-1}]$ désigne $k[t_1,\ldots,t_d][f^{-1}]$,
-cf. \ref{special-cases-of-localization}).  Or
-$k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$
-d'après \ref{localization-inverting-one-element}.  Soit $J$ l'idéal
-engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que
-$Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir
-simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$,
-donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = k[t_1,\ldots,t_d,z]$ :
-ceci donne $I[f^{-1}] = k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$.
+prouver $f\in \surd I$, autrement dit $f^n \in I$ pour un certain $n$.
+
+Soit $z$ une nouvelle indéterminée, et soit $J$ l'idéal engendré par
+$I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$.  On a $Z(J) = \varnothing$
+(dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir simultanément
+$f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$, donc le
+Nullstellensatz faible \ref{weak-nullstellensatz} entraîne $J =
+k[t_1,\ldots,t_d,z]$.  En réduisant modulo $zf-1$, cela signifie que
+l'idéal engendré par $I$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$ est l'idéal
+unité.
+
+Maintenant considérons l'anneau localisé $k[t_1,\ldots,t_d, f^{-1}]$
+(c'est-à-dire, $k[t_1,\ldots,t_d][f^{-1}]$,
+cf. \ref{special-cases-of-localization}), et soit $I[f^{-1}]$ l'idéal
+engendré par $I$ dans cet anneau.  On a $k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}] =
+k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$
+d'après \ref{localization-inverting-one-element}, et le paragraphe
+précédent montre donc que $I[f^{-1}]$ est l'idéal unité.
+Concrètement, cela signifie que $1 \in k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$
+s'écrit comme combinaison linéaire, à coefficients dans
+$k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$, d'éléments de $I$ ; en mettant les
+coefficients en question sous la forme $h/f^i$ où $h \in
+k[t_1,\ldots,t_d]$ et où $i \in \mathbb{N}$, et en ramenant tous ces
+coefficients sur un même dénominateur $f^n$ (par la définition de
+$k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$), on voit que finalement on a écrit $f^n$
+comme combinaison linéaire, à coefficients dans $k[t_1,\ldots,t_d]$,
+d'éléments de $I$ : c'est-à-dire que $f^n \in I$, ce qu'on voulait
+prouver.
 \end{proof}
 
 \thingy La moralité du Nullstellensatz est que (sur un corps
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