From 2bbd1ffe850e7508e2f71388a07053aecab60413 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 10 Feb 2018 20:40:41 +0100
Subject: Regular functions on a Zariski closed set.

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@@ -40,6 +40,7 @@
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
 %
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
 \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
 \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
@@ -139,6 +140,23 @@ et l'application $J \mapsto J/I$ définit une bijection entre idéaux
 $J$ de $A$ contenant $I$ et idéaux de $A/I$.  De surcroît, le quotient
 de $A/I$ par $J/I$ s'identifie à $A/J$.
 
+\thingy\label{review-of-canonical-factorization} On aura fréquemmment
+besoin du fait suivant : quel que soit le morphisme d'anneaux
+$\psi\colon A\to B$, l'\emph{image} $\im\psi := \{\psi(x) : x\in A\}$
+de $\psi$ (qui est un sous-anneau de $B$) s'identifie au quotient
+$A/\ker\psi$ de $A$ par le noyau de $\psi$ : l'identification se fait
+par l'isomorphisme $\tilde\psi$ qui envoie la classe de $z\in A$
+modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z) \in B$.  (Si on veut, on a
+factorisé le morphisme $\psi\colon A\to B$ comme composée de la
+surjection canonique $A \to A/\ker\psi$, suivie d'un isomorphisme
+$\tilde\psi$, suivie de l'injection canonique $\im\psi\to B$.)  De
+façon plus concise, « un morphisme d'anneaux identifie son image au
+quotient de sa source par son noyau ».
+
+Dans le cas particulier où $\psi$ est surjectif, ceci signifie qu'un
+morphisme surjectif $\psi\colon A\to B$ permet d'identifier $B$ au
+quotient $A/\ker\psi$ de $A$ par son noyau.
+
 \thingy\label{ideal-generated-by-elements} Si $(x_i)_{i\in \Lambda}$
 sont des éléments de $A$, l'intersection de tous les idéaux contenant
 les $x_i$ est un idéal et s'appelle l'idéal \defin[engendré
@@ -570,20 +588,20 @@ apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
 été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
 sont des indéterminées.
 
-\thingy Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe
+\thingy\label{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}
+Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe
 $x_1,\ldots,x_n \in A$ tels que le morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$
 (de la $k$-algèbre $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$
 indéterminées vers $A$), dit morphisme d'évaluation, qui à $f$ associe
-$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}.  Or on rappelle qu'un
-morphisme d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet
-d'identifier\footnote{L'identification se fait par l'isomrphisme qui
-  envoie la classe de $z\in A'$ modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z)
-  \in A$.} l'image $A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau
-de $\psi$.  Donc toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la
-forme du quotient $k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes
-$k[t_1,\ldots,t_n]$ par un idéal de ce dernier ; réciproquement, un
-tel quotient est visiblement de type fini (il est engendré par les
-classes modulo $I$ des indéterminées).
+$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}.  Or on rappelle
+(cf. \ref{review-of-canonical-factorization}) qu'un morphisme
+d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet d'identifier l'image
+$A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau de $\psi$.  Donc
+toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la forme du quotient
+$k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ par
+un idéal de ce dernier ; réciproquement, un tel quotient est
+visiblement de type fini (il est engendré par les classes modulo $I$
+des indéterminées).
 
 En résumé, on peut donc dire qu'une $k$-algèbre de type fini est la
 même chose qu'un quotient d'un anneau de polynômes (en un nombre fini
@@ -593,7 +611,7 @@ En rassemblant ce fait avec
 \ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials} et avec le fait qu'un
 quotient d'un anneau noethérien est noethérien, on obtient :
 
-\begin{cor}
+\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian}
 Soit $k$ un corps ou $\mathbb{Z}$, ou plus généralement un anneau
 noethérien.  Alors toute $k$-algèbre de type fini est un anneau
 noethérien.
@@ -923,7 +941,7 @@ I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en $x$ alors $f$ s'y annule aussi).
 On peut donc se contenter de considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal
 radical.
 
-\thingy On appellera \textbf{fermé de Zariski} dans $k^d$, ou
+\thingy On appellera \defin{fermé de Zariski} dans $k^d$, ou
 \defin{variété algébrique affine} sur $k$, une partie $E$ de la forme
 $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$
 de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il
@@ -1276,6 +1294,45 @@ c'est-à-dire $E \subseteq Z(f')$, ce qui signifie $f' \in
 Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
 \end{proof}
 
+%
+\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski : fonctions régulières}
+
+\thingy On suppose toujours que $k$ est algébriquement clos.
+Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $E =
+Z(I)$ le fermé de Zariski qu'il définit.  On rappelle que $I =
+\mathfrak{I}(E)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme
+$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $E$ si et
+seulement si il est dans $I$.
+
+Considérons maintenant le morphisme $\Psi\colon k[t_1,\ldots,t_d] \to
+k^E$ (où $k^E$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $E \to
+k$) qui à un polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ associe la fonction
+polynomiale correspondante sur $E$, c'est-à-dire l'application
+$\Psi(f)\colon E \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$.  D'après ce qui
+vient d'être dit, le noyau de ce morphisme $\Psi$ est $I$.  Par
+conséquent (cf. \ref{review-of-canonical-factorization}), l'image
+de $\Psi$ s'identifie à $k[t_1,\ldots,t_d]/I$.  L'image de $\Psi$ est
+par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $E$ : ce qui
+vient d'être dit est que la fonction polynomiale $\Psi(f)$ définie
+par $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ ne dépend que de la classe de $f$
+modulo $I$.
+
+L'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ s'appellera \defin[régulières
+  (fonctions)]{anneau des fonctions régulières} du fermé de
+Zariski $E$.  Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent
+s'identifier aux restrictions à $E$ des fonctions polynomiales
+sur $k^d$.  On le notera $\mathcal{O}(E)$.
+
+Par construction, $\mathcal{O}(E)$ est une $k$-algèbre de type
+fini (cf. \ref{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}),
+donc un anneau noethérien
+(cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}) ; par construction,
+elle est un anneau \emph{réduit} (puisque $I$ est supposé un idéal
+radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $E$
+est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) ; et
+elle est un \emph{corps} si et seulement si $E$ est un singleton
+(cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}), auquel cas c'est
+simplement $k$.
 
 
 
-- 
cgit v1.2.3

