From 32917be119e823f52824d0be4e5165acb57b4b62 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Wed, 7 Feb 2018 11:12:37 +0100 Subject: The Nullstellensatz. --- notes-accq205-v2.tex | 224 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 198 insertions(+), 26 deletions(-) (limited to 'notes-accq205-v2.tex') diff --git a/notes-accq205-v2.tex b/notes-accq205-v2.tex index 31a9b55..05674a2 100644 --- a/notes-accq205-v2.tex +++ b/notes-accq205-v2.tex @@ -493,7 +493,7 @@ $I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq \cdots$ (tous contenus dans $I$), ce qui contredit l'hypothèse sur $A$. \end{proof} -\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert] +\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]\label{hilbert-basis-theorem} Si $k$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $k[t]$ des polynômes à une indéterminée sur $k$ est noethérien. \end{prop} @@ -694,8 +694,9 @@ Lorsque $S$ ne contient que des éléments réguliers, la définition de $A[S^{-1}]$ est légèrement simplifiée puisqu'on a $a_1/s_1 = a_2/s_2$ si et seulement si $a_2 s_1 - a_1 s_2 = 0$. -\thingy Conformément aux exemples donnés en \ref{multiplicative-set}, -les cas particuliers suivants sont importants : +\thingy\label{special-cases-of-localization} Conformément aux exemples +donnés en \ref{multiplicative-set}, les cas particuliers suivants sont +importants : Si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier et $S = A\setminus\mathfrak{p}$ est son com\-plé\-men\-taire, on note $A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; @@ -804,10 +805,11 @@ Lorsque $\mathscr{F}$ est un ensemble fini $\{f_1,\ldots,f_m\}$, on note simplement $Z(f_1,\ldots,f_m)$ cet ensemble de zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$. -\thingy Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ -alors $Z(\mathscr{F}) \supseteq Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est -dite « décroissante pour l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) = -\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$. +\thingy\label{trivial-remarks-on-z} Remarques évidentes : si +$\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors $Z(\mathscr{F}) \supseteq +Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est dite « décroissante pour +l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) = \bigcap_{f\in \mathscr{F}} +Z(f)$. Si $I$ est l'idéal engendré par $\mathscr{F}$ (cf. \ref{ideal-generated-by-elements}) alors $Z(I) = Z(\mathscr{F})$ @@ -827,8 +829,9 @@ $E$ de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical. -\thingy Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; -l'ensemble $k^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = k^d$). +\thingy\label{basic-facts-on-zariski-closed-sets} Le vide est un fermé +de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble $k^d$ tout entier est +un fermé de Zariski ($Z(0) = k^d$). Tout singleton est un fermé de Zariski : en effet, $Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal $(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ ; @@ -885,10 +888,10 @@ k[t_1,\ldots,t_d]$. \textbf{Le rapport entre ces deux fonctions} -\thingy On a $E \subseteq Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq -\mathfrak{I}(E)$, puisque les deux signifient « tout polynôme dans -$\mathscr{F}$ s'annule en tout point de $E$ ». Appelons ($*$) -cette équivalence. +\thingy\label{trivial-inclusions-between-z-and-i} On a $E \subseteq +Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq \mathfrak{I}(E)$, puisque +les deux signifient « tout polynôme dans $\mathscr{F}$ s'annule en +tout point de $E$ ». Appelons ($*$) cette équivalence. En particulier, en appliquant ($*$) à $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, on voit que $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ pour toute partie $E$ @@ -912,29 +915,198 @@ polynômes. On a donc prouvé : -\begin{prop} +\begin{prop}\label{basic-result-on-z-and-i} Avec les notations ci-dessus : \begin{itemize} -\item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = Z(\mathfrak{I}(E))$ si et - seulement si elle est de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour un - certain $\mathscr{F}$ (=: c'est un fermé de Zariski), et dans ce cas - on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal - radical. -\item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I = - \mathfrak{I}(Z(I))$ si et seulement si elle est de la forme +\item Les parties $E$ de $k^d$ vérifiant $E = Z(\mathfrak{I}(E))$ sont + exactement celles de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour un + certain $\mathscr{F}$, c'est-à-dire les fermés de Zariski, et dans + ce cas on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un + idéal radical. +\item Les parties $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifiant $I = + \mathfrak{I}(Z(I))$ sont exactement celles de la forme $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut prendre $E = Z(I)$, et $I$ est un idéal radical de $k[t_1,\ldots,t_d]$. \item Les fonctions $\mathfrak{I}$ et $Z$ se restreignent en des - bijections décroissantes réci\-proques entre l'ensemble des fermés - de Zariski $E$ de $k^d$ et l'ensemble des idéaux (forcément - radicaux) $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $I = + bijections réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre + l'ensemble des fermés de Zariski $E$ de $k^d$ et l'ensemble des + idéaux (forcément radicaux) $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $I = \mathfrak{I}(Z(I))$. \end{itemize} \end{prop} -On va voir ci-dessous que les idéaux tels que $I = \mathfrak{I}(Z(I))$ -sont exactement (tous) les idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$. +\thingy Le résultat ci-dessus est complètement formel : on n'a fait +aucun usage de l'hypothèse que $k$ est algébriquement clos, on n'a +essentiellement utilisé que le fait que $Z$ et $\mathfrak{I}$ sont +décroissantes et qu'on a $E \subseteq Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} +\subseteq \mathfrak{I}(E)$. + +La caractérisation ci-dessus a ceci d'insatisfaisant qu'on n'a pas +caractérisé quels idéaux radicaux $I$ vérifient $I = +\mathfrak{I}(Z(I))$. On va voir ci-dessous que c'est le cas de tous +les idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$, mais à la différence de la +proposition qu'on vient de voir, c'est un résultat qui a un vrai +contenu mathématique. + +% +\subsection{Le Nullstellensatz} + +\thingy De l'allemand « der Satz » = la phrase, le théorème +mathématique, « die Stelle » = l'endroit, et « die Nullstelle » = le +lieu d'annulation, le zéro d'un polynôme : le +« \defin{Nullstellensatz} », littéralement, « théorème du lieu +d'annulation », s'appelle aussi « théorème des zéros de Hilbert ». + +On rappelle que $k$ est supposé algébriquement clos (hypothèse qui n'a +pas servi jusqu'à présent). + +Il existe plusieurs formulations du Nullstellensatz, qu'on peut +déduire les unes les autres. Formulons d'abord celle qui caractérise +les idéaux \emph{maximaux} de $k[t_1,\ldots,t_d]$ : on rappelle qu'on +a déjà introduit (cf. \ref{basic-facts-on-zariski-closed-sets}) la +notation $\mathfrak{m}_x := \mathfrak{I}(x)$ si $x \in k^d$ (idéal +associé à un \emph{singleton}) pour l'ensemble des polynômes +s'annulant en $x$, que c'est un idéal maximal, et qu'il est engendré +par $t_1 - x_1,\ldots,t_d - x_d$ si $x = (x_1,\ldots,x_d)$ ; la +proposition suivante affirme que, lorsque $k$ est algébriquement clos, +ce sont les seuls idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$. + +\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{maximal-ideals-of-polynomial-algebras} +Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Tout idéal maximal de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme $\mathfrak{m}_x := \{f : f(x) = +0\}$ pour un certain $x \in k^d$. +\end{prop} + +Ce fait est vrai en général, mais on ne donnera une démonstration que +dans le cas particulier où $k$ est indénombrable (il s'agit d'une +astuce qui simplifie la démonstration). + +\begin{proof}[Démonstration dans le cas particulier où $k$ est indénombrable.] +Soit $\mathfrak{M}$ un idéal maximal de $k[t_1,\ldots,t_d]$. On va +montrer que $\mathfrak{M}$ est de la forme $\mathfrak{m}_x$ pour un +certain $x \in k^d$. Pour cela, on montre d'abord $Z(\mathfrak{M}) +\neq \varnothing$. + +Soit $K = k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{M}$. Il s'agit d'un corps +(puisque $\mathfrak{M}$ est maximal). Il est de dimension au plus +dénombrable en tant que $k$-espace vectoriel, c'est-à-dire qu'il a une +famille génératrice dénombrable, à savoir les images des monômes en +les $t_i$. Si $K$ contenait un élément transcendant $\tau$ sur $k$, +le corps $k(\tau)$ qu'il engendre s'identifierait au corps des +fractions rationnelles en une indéterminée, et par décomposition des +fractions rationnelles en éléments simples, la famille des +$\frac{1}{\tau - x}$ pour $x$ parcourant $k$ serait linéairement +indépendante sur $k$ ; mais cette famille est indénombrable puisque +$k$ a supposé l'être : on aurait donc une famille linéairement +indépendate (sur $k$) dans $k(\tau)$, donc dans $K$, ce qui contredit +le fait que la dimension de ce dernier est au plus dénombrable. Bref, +il est impossible que $K$ contienne un transcendant sur $k$ : c'est +donc que $K$ est algébrique sur $k$. Comme $k$ était supposé +algébriquement clos, on a en fait $K = k$ (au sens où le morphisme $k +\to K$ envoyant un élément sur de $k$ la classe du polynôme constant +modulo $\mathfrak{M}$ est un isomorphisme). Les classes des +indéterminées $t_1,\ldots,t_d$ définissent donc des éléments +$x_1,\ldots,x_d \in k$, et pour tout $f \in \mathfrak{M}$, on a +$f(x_1,\ldots,x_d) = 0$. Autrement dit, $x := (x_1,\ldots,x_d) \in +Z(\mathfrak{M})$, ce qui montre $Z(\mathfrak{M}) \neq \varnothing$. + +Mais dès lors qu'on a montré qu'il existe $x \in Z(\mathfrak{M})$, on +a $\mathfrak{M} \subseteq \mathfrak{m}_x$ +(cf. \ref{trivial-inclusions-between-z-and-i}($*$)), et comme +$\mathfrak{M}$ est maximal, c'est que $\mathfrak{M} = \mathfrak{m}_x$, +comme annoncé. +\end{proof} + +\begin{prop}[Nullstellensatz faible]\label{weak-nullstellensatz}\index{Nullstellensatz} +Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Si $I$ est un idéal de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que $Z(I) = \varnothing$, alors $I = +k[t_1,\ldots,t_d]$. +\end{prop} +\begin{proof} +Supposons par contraposée $I \subsetneq k[t_1,\ldots,t_d]$. Alors il +existe un idéal maximal $\mathfrak{M}$ tel que $I \subseteq +\mathfrak{M}$, et la +proposition \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras} montre que +$\mathfrak{M} = \mathfrak{m}_x$ pour un certain $x\in k^d$, ce qui +implique $Z(I) \supseteq Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, et notamment +$Z(I) \neq \varnothing$. +\end{proof} + +On peut aussi reformuler ce résultat de la façon suivante : remarquons +au préalable que si $f_1,\ldots,f_m$ et $g_1,\ldots,g_m$ sont des +polynômes en $d$ variables tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_m f_m = 1$, +alors $f_1,\ldots,f_m$ n'ont aucun zéro commun (car en un tel zéro le +membre de gauche de l'égalité s'annulerait, mais le membre de droite y +vaut $1$). + +\begin{prop}[Nullstellensatz faible]\label{weak-nullstellensatz-finite-rewording} +Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Si $f_1,\ldots,f_m \in +k[t_1,\ldots,t_d]$ sont des polynômes en $d$ variables sans zéro +commun, c'est-à-dire si $Z(f_1,\ldots,f_m) = \varnothing$, alors il +existe $g_1,\ldots,g_m \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $g_1 f_1 + +\cdots + g_m f_m = 1$, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_m$ engendrent +l'idéal unité. +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $I$ l'idéal engendré par $f_1,\ldots,f_m$ : comme $Z(I) = +Z(f_1,\ldots,f_m)$ (cf. \ref{trivial-remarks-on-z}), la +proposition \ref{weak-nullstellensatz} montre que $Z(f_1,\ldots,f_m) = +\varnothing$ implique que $I$ contient $1$, ce qui est bien la +conclusion annoncée. +\end{proof} + +Réciproquement, cette formulation permet de retrouver la +formulation \ref{weak-nullstellensatz}, il suffit de se rappeler que +tout idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est engendré par un nombre fini +d'éléments (théorème de la base de +Hilbert, \ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials}). + +\begin{thm}[Nullstellensatz ou théorème des zéros de Hilbert]\index{Nullstellensatz} +Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Soit $I$ un idéal de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ : alors $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le radical +de $I$). +\end{thm} +\begin{proof} +On sait déjà que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit +de montrer la réciproque. Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut +prouver $f\in \surd I$. On vérifie facilement que ceci revient à +montrer que l'idéal $I[f^{-1}]$ (c'est-à-dire l'idéal engendré +par $I$) dans $k[t_1,\ldots,t_d, f^{-1}]$ est l'idéal unité (ici, +$k[t_1,\ldots,t_d, f^{-1}]$ désigne $k[t_1,\ldots,t_d][f^{-1}]$, +cf. \ref{special-cases-of-localization}). Or +$k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$ +d'après \ref{localization-inverting-one-element}. Soit $J$ l'idéal +engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que +$Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir +simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$, +donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : +ceci donne $I[f^{-1}] = k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$. +\end{proof} + +\thingy La moralité du Nullstellensatz est que (sur un corps +algébriquement clos !) on peut « essentiellement » retrouver des +équations polynomiales $f_1,\ldots,f_m$ à partir du lieu +$Z(f_1,\ldots,f_m)$ de leurs solutions (le fermé de Zariski qu'elles +définissent) : le « essentiellement » signifie que, à défaut de +retrouver $f_1,\ldots,f_m$ eux-mêmes, on retrouve l'idéal radical +qu'ils engendrent (si $f_1,\ldots,f_m$ engendrent un idéal radical, on +retrouve l'idéal en question). + +On peut maintenant utiliser le Nullstellensatz pour +revoir l'énoncé \ref{basic-result-on-z-and-i} : + +\begin{scho} +Si $k$ est un corps algébriquement clos, les fonctions $I \mapsto +Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections +réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux +de $k[t_1,\ldots,t_d]$ d'une part, et les fermés de Zariski de $k^d$ +d'autre part. + +Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons) +de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$). +\end{scho} -- cgit v1.2.3