From b480cd00030aa11a66e785a22fc641d4cf99001e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 10 Feb 2018 19:58:19 +0100
Subject: =?UTF-8?q?Factorial=20rings=20and=20Gau=C3=9F'=20lemma.?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 notes-accq205-v2.tex | 100 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 96 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'notes-accq205-v2.tex')

diff --git a/notes-accq205-v2.tex b/notes-accq205-v2.tex
index 8e7697a..f686184 100644
--- a/notes-accq205-v2.tex
+++ b/notes-accq205-v2.tex
@@ -775,6 +775,97 @@ l'ensemble des quotients $a/f$ où $a\in A$ et $f\in S$ (interprétés
 comme des vrais quotients dans le corps $\Frac(A)$).
 
 
+%
+\subsection{Anneaux factoriels et lemme de Gauß}
+
+\thingy Un élément $p$ d'un anneau intègre $A$ est dit
+\defin[irréductible (élément)]{irréductible} lorsque pour toute
+écriture de $p$ comme un produit $p = fg$ de deux éléments de $A$,
+exactement un des deux facteurs $f,g$ est une unité (c'est-à-dire, est
+inversible).  Par convention, ni $0$ ni les unités ne sont considérés
+comme irréductibles ; en revanche, le produit d'un irréductible par
+une unité est encore un irréductible.
+
+Dans le cas de $\mathbb{Z}$, les éléments irréductibles sont les
+nombres premiers et leurs inverses ; dans le cas de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$, on obtient la notion usuelle de polynôme
+irréductible.
+
+\thingy On dit qu'un anneau intègre $A$ est \defin[factoriel
+  (anneau)]{factoriel} lorsque tout élément non-nul s'écrit comme
+produit d'une unité et d'éléments irréductibles, et que de plus cette
+décomposition en facteurs irréductibles est unique au sens où on peut
+toujours passer entre deux telles écritures quitte à permuter l'ordre
+des facteurs et à les multiplier par des unités de $A$.  Autrement
+dit : (1) pour tout $a\in A$ non nul, il existe $u$ une unité et
+$p_1,\ldots,p_r$ irréductibles tels que $a = u p_1\cdots p_r$, et
+(2) si $p_1,\ldots,p_r$ et $q_1,\ldots,q_s$ sont irréductibles et
+$q_1\cdots q_s = u p_1\cdots p_r$ avec $u$ une unité, alors $s=r$ et
+il existe une permutation
+$\sigma\colon\{1,\ldots,r\}\to\{1,\ldots,r\}$ telle que $q_{\sigma(i)}
+= u_i p_i$ avec $u_i$ une unité.
+
+L'anneau $\mathbb{Z}$ est factoriel : c'est l'affirmation standard sur
+l'existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
+Comme on va le signaler en \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}
+ci-dessous, l'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]$ des polynômes en $d$
+indéterminées sur un corps $k$ est lui aussi factoriel.  On peut par
+ailleurs montrer que la localisation $A[S^{-1}]$ d'un anneau factoriel
+est encore factorielle (lorsque $0\neq S$).
+
+\thingy\label{irreducible-elements-and-prime-ideals} Si $p$ est un
+élément irréductible d'un anneau factoriel $A$, alors, lorsque $p$
+divise un produit $fg$, il divise forcément l'un des facteurs $f,g$
+(en effet, $p$ apparaît dans la décomposition en facteurs
+irréductibles de $fg$, qui par unicité s'obtient en regroupant celle
+de $f$ et celle de $g$, donc $p$ divise l'un de ces deux éléments).
+Autrement dit, on a montré que l'idéal $(p)$ est un idéal premier.
+
+Réciproquement, si $(p)$ est un idéal premier non nul dans un anneau
+factoriel $A$, alors $p$ est irréductible (en effet, si $p$ était
+produit d'au moins deux irréductibles, aucun de ces irréductibles ne
+serait un multiple de $p$ mais leur produit le serait).
+
+(Un élément $p \neq 0$ d'un anneau intègre tel que l'idéal $(p)$ soit
+premier est parfois dit « premier » : dans un anneau intègre
+quelconque, ceci implique toujours « irréductible », mais la
+réciproque ne vaut pas en général.  On peut montrer qu'un anneau
+intègre est factoriel si et seulement si tout élément non nul admet
+une factorisation comme produit d'une unité et d'éléments premiers.)
+
+\thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Concernant les anneaux de
+polynômes, on a le \defin[Gauß (lemme de)]{lemme de Gauß} suivant : si
+$A$ est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors
+l'anneau $A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est
+factoriel ; et par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible
+(dans $A[t]$) si et seulement si $f$ est constant et irréductible
+dans $A$, \emph{ou bien} $f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$}
+et le pgcd (dans $A$) des coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$
+est \defin[primitif (polynôme)]{primitif} lorsque cette dernière
+condition est vérifiée).
+
+Le point-clé dans la démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$
+des coefficients d'un polynôme dans $A[t]$, aussi appelé
+\defin{contenu} de $f$, est multiplicatif (i.e., $c(fg) =
+c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en facteurs irréductibles dans $A[t]$
+d'un élément de $A[t]$ s'obtient alors à partir de celle de $K[t]$ et
+de celle dans $A$ du contenu.
+
+On en déduit que pour tout $d$, l'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]$ des
+polynômes en $d$ indéterminées sur un corps $k$ est un anneau
+factoriel ; et de plus, qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d,z]$ (en
+$d+1$ indéterminées) irréductible et faisant effectivement
+intervenir $t$ est encore irréductible dans $k(t_1,\ldots,t_d)[t]$, et
+réciproquement, qu'un polynôme irréductible dans
+$k(t_1,\ldots,t_d)[t]$ donne un polynôme irréductible dans
+$k[t_1,\ldots,t_d,t]$ quitte à multiplier par le pgcd des
+dénominateurs.
+
+On retient par ailleurs de \ref{irreducible-elements-and-prime-ideals}
+qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ non-nul est irréductible si
+et seulement si l'idéal $(f)$ qu'il engendre est premier.
+
+
 %
 %
 %
@@ -1137,10 +1228,11 @@ $k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$).
 \subsection{Fermés irréductibles et idéaux premiers}
 
 \thingy On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est
-\defin{irréductible} lorsqu'on ne peut pas l'écrire comme réunion de
-deux fermés de Zariski strictement plus petits : autrement dit,
-lorsque $E = E' \cup E''$, où $E',E''$ sont deux fermés de Zariski
-(forcément contenus dans $E$), implique $E'=E$ ou $E''=E$.
+\defin[irréductible (fermé)]{irréductible} lorsqu'on ne peut pas
+l'écrire comme réunion de deux fermés de Zariski strictement plus
+petits : autrement dit, lorsque $E = E' \cup E''$, où $E',E''$ sont
+deux fermés de Zariski (forcément contenus dans $E$), implique $E'=E$
+ou $E''=E$.
 
 \emph{Contre-exemple :} $Z(xy)$ (dans le plan $k^2$ de
 coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y)
-- 
cgit v1.2.3

