From ba490667d8adb61cc6a68485ce46d177f8957136 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 7 Feb 2018 00:20:47 +0100
Subject: The correspondence between Zariski closed sets and ideals.

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 notes-accq205-v2.tex | 171 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -766,6 +766,177 @@ morphisme d'anneaux).
 \end{proof}
 
 
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+%
+%
+
+\section{Variétés algébriques affines sur un corps algé\-bri\-que\-ment clos}
+
+\thingy Dans cette section, sauf précision expresse du contraire, $k$
+sera un corps algébriquement clos.
+
+On notera $\mathbb{A}^d(k) = k^d$ l'ensemble des $d$-uplets à
+coordonnées dans $k$.  On l'appelle \index{affine (espace)|see{espace
+    affine}}\defin[espace affine]{espace affine de dimension $d$}
+sur $k$ (on parle de droite ou plan affine lorsque $d=1,2$).  Si $k$
+est clair d'après le contexte, il sera aussi parfois noté
+$\mathbb{A}^d$.
+
+Si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in \mathbb{A}^d(k)$ et si $f \in
+k[t_1,\ldots,t_d]$ est un polynôme en autant de variables, on notera
+simplement $f(x)$ (l'évaluation de $f$ en $x$) pour
+$f(x_1,\ldots,x_d)$.  On dit que $x$ est un zéro de $f$ lorsque $f(x)
+= 0$.
+
+%
+\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux}
+
+\textbf{Comment associer une partie de $k^d$ à un idéal de
+  $k[t_1,\ldots,t_d]$ ?}
+
+\thingy Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on
+définit un ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d
+:\penalty0 (\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$,
+autrement dit, l'ensemble des zéros communs à tous les éléments
+de $\mathscr{F}$.
+
+Lorsque $\mathscr{F}$ est un ensemble fini $\{f_1,\ldots,f_m\}$, on
+note simplement $Z(f_1,\ldots,f_m)$ cet ensemble de zéros communs à
+$f_1,\ldots,f_m$.
+
+\thingy Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$
+alors $Z(\mathscr{F}) \supseteq Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est
+dite « décroissante pour l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) =
+\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$.
+
+Si $I$ est l'idéal engendré par $\mathscr{F}$
+(cf. \ref{ideal-generated-by-elements}) alors $Z(I) = Z(\mathscr{F})$
+(car si tous les éléments de $\mathscr{F}$ s'annulent en $x$, alors
+toute combinaison linéaire de tels éléments s'y annule aussi).  S'il
+s'agit d'étudier les $Z(\mathscr{F})$, on peut donc se contenter de
+regarder les $Z(I)$ avec $I$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
+
+Mieux : si $\surd I = \{f : (\exists n)\,f^n\in I\}$ désigne le
+radical de l'idéal $I$ (cf. \ref{radical-of-an-ideal}), on a $Z(\surd
+I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en $x$ alors $f$ s'y annule aussi).
+On peut donc se contenter de considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal
+radical.
+
+\thingy On appellera \textbf{fermé de Zariski} dans $k^d$ une partie
+$E$ de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie
+$\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait
+supposer qu'il s'agit d'un idéal radical.
+
+\thingy Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ;
+l'ensemble $k^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = k^d$).
+
+Tout singleton est un fermé de Zariski : en effet, $Z(\mathfrak{m}_x)
+= \{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal $(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ ;
+on remarquera au passage que $\mathfrak{m}_x$ est un idéal maximal, le
+quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}_x$ s'identifiant à $k$ par la
+fonction $f \mapsto f(x)$ d'évaluation en $x$.
+
+Si $(E_i)_{i\in \Lambda}$ sont des fermés de Zariski, alors
+$\bigcap_{i\in \Lambda} E_i$ est un fermé de Zariski : plus
+précisément, si $(I_i)_{i\in \Lambda}$ sont des idéaux
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(\sum_{i\in\Lambda} I_i) =
+\bigcap_{i\in\Lambda} Z(I_i)$ (où $\sum_{i\in\Lambda} I_i$ désigne
+l'idéal engendré par $\bigcup_{i\in\Lambda} I_i$).
+
+Si $E,E'$ sont des fermés de Zariski, alors $E \cup E'$ est un fermé
+de Zariski : plus précisément, si $I,I'$ sont des idéaux
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(I\cap I') = Z(I) \cup Z(I')$
+(l'inclusion $\supseteq$ est évidente ; pour l'autre inclusion, si $x
+\in Z(I\cap I')$ mais $x \not\in Z(I)$, il existe $f\in I$ tel que
+$f(x) \neq 0$, et alors pour tout $f' \in I'$ on a $f(x)\,f'(x) = 0$
+puisque $ff' \in I\cap I'$, donc $f'(x) = 0$, ce qui prouve $x \in
+Z(I')$).
+
+(Le fait que le vide et le plein soient des fermés de Zariski, que
+toute intersection de fermés de Zariski soit un fermé de Zariski, et
+que la réunion de deux fermés de Zariski soit un fermé de Zariski
+justifie le terme de « fermés », car ce sont là les axiomes demandés
+sur les fermés d'un espace topologique.)
+
+\medbreak
+
+\textbf{Comment associer un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ à une partie
+  de $k^d$ ?}
+
+\thingy Réciproquement, si $E$ est une partie de $k^d$, on note
+$\mathfrak{I}(E) = \{f\in k[t_1,\ldots,t_d] :\penalty0 (\forall
+(x_1,\ldots,x_d)\in E)\, f(x_1,\ldots,x_d)=0\}$ l'ensemble des
+polynômes s'annulant en tous les points de $E$.
+
+Il est clair c'est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, et même un idéal
+radical.
+
+\thingy Remarque évidente : si $E \subseteq E'$ alors $\mathfrak{I}(E)
+\supseteq \mathfrak{I}(E')$ ; on a $\mathfrak{I}(E) = \bigcap_{x\in E}
+\mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal maximal
+$\mathfrak{I}(\{x\})$ des polynômes s'annulant en $x$), et en
+particulier $\mathfrak{I}(E) \neq k[t_1,\ldots,t_d]$ dès que $E \neq
+\varnothing$.
+
+On a de façon triviale $\mathfrak{I}(\varnothing) =
+k[t_1,\ldots,t_d]$.
+
+\medbreak
+
+\textbf{Le rapport entre ces deux fonctions}
+
+\thingy On a $E \subseteq Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq
+\mathfrak{I}(E)$, puisque les deux signifient « tout polynôme dans
+$\mathscr{F}$ s'annule en tout point de $E$ ».  Appelons ($*$)
+cette équivalence.
+
+En particulier, en appliquant ($*$) à $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$,
+on voit que $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ pour toute partie $E$
+de $k^d$ : appelons ($\dagger$) cette observation.  En appliquant
+($*$) à $E = Z(\mathscr{F})$, on a $\mathscr{F} \subseteq
+\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F}))$ : appelons ($\ddagger$) cette
+observation.
+
+Comme $\mathfrak{I}$ est décroissante pour l'inclusion, de
+l'observation ($\dagger$) que $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$, on
+déduit $\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$.
+Mais par ailleurs, en appliquant l'observation ($\ddagger$) que
+$\mathscr{F} \subseteq \mathfrak{I}(Z(\mathscr{F}))$ à $\mathscr{F} =
+\mathfrak{I}(E)$, on en déduit $\mathfrak{I}(E) \subseteq
+\mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$.  On a donc montré $\mathfrak{I}(E)
+= \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ pour toute partie $E$ de $k^d$.
+De même (le raisonnement étant complètement symétrique entre $Z$
+et $\mathfrak{I}$), on a $Z(\mathscr{F}) =
+Z(\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F})))$ pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de
+polynômes.
+
+On a donc prouvé :
+
+\begin{prop}
+Avec les notations ci-dessus :
+\begin{itemize}
+\item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = Z(\mathfrak{I}(E))$ si et
+  seulement si elle est de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour un
+  certain $\mathscr{F}$ (=: c'est un fermé de Zariski), et dans ce cas
+  on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal
+  radical.
+\item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I =
+  \mathfrak{I}(Z(I))$ si et seulement si elle est de la forme
+  $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut
+  prendre $E = Z(I)$, et $I$ est un idéal radical
+  de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
+\item Les fonctions $\mathfrak{I}$ et $Z$ se restreignent en des
+  bijections décroissantes réci\-proques entre l'ensemble des fermés
+  de Zariski $E$ de $k^d$ et l'ensemble des idéaux (forcément
+  radicaux) $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $I =
+  \mathfrak{I}(Z(I))$.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+On va voir ci-dessous que les idéaux tels que $I = \mathfrak{I}(Z(I))$
+sont exactement (tous) les idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
+
+
 
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