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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 6 Feb 2018 23:48:06 +0100
Subject: Write a section on localization.

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@@ -196,6 +196,10 @@ resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$ implique $x = 0$ (la
 réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il existe $x$ (appelé
 inverse de $a$) tel que $ax = 1$.
 
+Un élément $a$ qui n'est pas régulier est également appelé
+\defin{diviseur de zéro} : cela signifie qu'il existe $x\neq 0$ tel
+que $ax = 0$.
+
 Un élément $a$ de $A$ est inversible si et seulement si l'idéal $(a)$
 qu'il engendre est l'idéal unité $(1) = A$.  De façon équivalente, un
 élément \emph{n'est pas} inversible si et seulement il appartient à un
@@ -331,6 +335,13 @@ un idéal maximal est (par définition) strict, il ne contient que des
 éléments non-inversibles.
 \end{proof}
 
+\thingy\label{local-ring} On peut introduire la terminologie
+suivante : un anneau \defin[local (anneau)]{local} est un anneau $A$
+ayant \emph{exactement un} idéal maximal $\mathfrak{m}$ (on vient de
+voir que tout anneau non nul a au moins un idéal maximal).  Le (corps)
+quotient $A/\mathfrak{m}$ s'appelle alors \defin{corps résiduel} de
+l'anneau local.
+
 \begin{prop}\label{nilradical-facts}
 Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
 c'est le plus petit idéal radical (ou l'intersection des idéaux
@@ -409,7 +420,19 @@ radical.  (Autrement dit, $I$ est radical si et seulement si $I =
 \surd I$, et $\surd I$ est toujours radical.)  On peut donc traiter le
 deux concepts comme essentiellement synonymes.
 
+\thingy On a vu en \ref{nilradical-facts} que l'intersection des
+idéaux premiers d'un anneau coïncide avec l'intersection des idéaux
+radicaux, et que c'est l'ensemble des éléments nilpotents, appelé
+« nilradical ».
+
+Par souci de parallélisme, on peut se demander ce qu'on peut dire de
+l'intersection des idéaux \emph{maximaux} d'un anneau : celle-ci porte
+aussi un nom, à savoir \defin{radical de Jacobson} de l'anneau en
+question : on peut montrer que c'est l'ensemble des $z$ tels que
+$1-cz$ soit inversible pour tout $c$ dans l'anneau.
 
+
+%
 \subsection{Anneaux noethériens}
 
 \thingy On a dit en \ref{ideal-generated-by-elements} qu'un idéal $I$
@@ -577,6 +600,172 @@ noethérien.
 \end{cor}
 
 
+%
+\subsection{Localisation}\label{subsection-localization}
+
+\thingy\label{multiplicative-set} On dit qu'une partie $S$ d'un anneau
+$A$ est \defin[multiplciative (partie)]{multiplicative} lorsque $1\in
+S$ et qu'on a $ss'\in S$ dès que $s,s'\in S$.
+
+On notera les deux exemples suivants de parties multiplicatives :
+\begin{itemize}
+\item Si $f_1,\ldots,f_n \in A$, alors l'ensemble $\{f_1^{i_1}\cdots
+  f_n^{i_n} : i_1,\ldots,i_n \in \mathbb{N}\}$ des monômes
+  en $f_1,\ldots,f_n$ (où on convient que tout élément élevé à la
+  puissance $0$ vaut $1$) est une partie multiplicative : c'est la
+  plus petite partie multiplicative contenant $f_1,\ldots,f_n$, dite
+  aussi partie multiplicative \emph{engendrée} par $f_1,\ldots,f_n$.
+\item Si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de $A$
+  (cf. \ref{integral-domains-and-prime-ideals}), alors son
+  complémentaire $A\setminus\mathfrak{p}$ est une partie
+  multiplicative.  En particulier, si $A$ est un anneau intègre,
+  l'ensemble $A \setminus\{0\}$ des éléments non nuls de $A$ est une
+  partie multiplicative.
+\end{itemize}
+
+\thingy Donnée une partie multiplicative $S$ dans un anneau $A$, on
+souhaite maintenant fabriquer un anneau qu'on notera $A[S^{-1}]$ où
+les éléments de $S$ sont rendus inversibles (la logique d'exiger que
+$S$ soit multiplicative est que, si $s$ et $s'$ sont inversibles,
+forcément $ss'$ le sera).  On va voir les éléments de $A[S^{-1}]$
+comme des fractions $a/s$ avec $a\in A$ et $s\in S$, mais il faut se
+demander à quelle condition on veut poser $a_1/s_1 = a_2/s_2$ : c'est
+certainement le cas si $a_2 s_1 - a_1 s_2 = 0$, mais il s'avère que
+cette condition ne suffit pas (elle ne définit pas une relation
+d'équivalence en général), et certainement s'il existe $t\in S$ et
+$c\in A$ tels que $tc = 0$, on va vouloir que $c$ devienne nul
+dans $A[S^{-1}]$ : c'est ce qui motive l'apparition de $t$ dans la
+définition suivante.
+
+\thingy Lorsque $S$ est une partie multiplicative, on définit un
+anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou $S^{-1}A$) de la façon suivante :
+\begin{itemize}
+\item Les éléments de $A[S^{-1}]$ sont notés $a/s$ avec $a\in A$ et $s
+  \in S$, où on identifie $a_1/s_1 = a_2/s_2$ lorsqu'il existe $t \in
+  S$ tel que $t(a_2 s_1 - a_1 s_2) = 0$.  Plus exactement, cela
+  signifie qu'on considère la relation d'équivalence $\sim$ sur
+  $A\times S$ définie par $(a_1,s_1) \sim (a_2,s_2)$ lorsqu'il existe
+  $t \in S$ tel que $t(a_2 s_1 - a_1 s_2) = 0$, on appelle $A[S^{-1}]$
+  l'ensemble $(A\times S)/\sim$ des classes d'équivalences, et on note
+  $a/s$ la classe de $(a,s)$ pour cette relation.
+\item L'addition est définie par $(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le
+  zéro par $0/1$, l'opposé par $-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication
+  par $(a/s)\cdot (a'/s') = (aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).
+\end{itemize}
+
+Il faut vérifier que la relation $\sim$ est bien une relation
+d'équivalence, que les opérations sont bien définies (c'est-à-dire ne
+dépendent pas des représentants choisis des classes pour $\sim$), et
+qu'on obtient bien ainsi un anneau.  Nous omettons les calculs un peu
+fastidieux, mais à titre d'exemple, vérifions que l'addition est bien
+définie : pour que l'écriture $(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ ait un
+sens, elle ne doit pas dépendre des représentants $a/s$ et $a'/s'$
+choisis des éléments à ajouter, c'est-à-dire qu'on doit vérifier que
+si $(a_1,s_1) \sim (a_2,s_2)$, et si $(a'_1,s'_1) \sim (a'_2,s'_2)$,
+alors on a $(a'_1 s_1 + a_1 s'_1, s_1 s'_1) \sim (a'_2 s_2 + a_2 s'_2,
+s_2 s'_2)$ ; mais par hypothèse, il existe donc $t$ tel que $t(a_2 s_1
+- a_1 s_2) = 0$ et $t'$ tel que $t'(a'_2 s'_1 - a'_1 s'_2) = 0$, et en
+multipliant la première égalité par $t' s'_1 s'_2$, la seconde par $t
+s_1 s_2$ et en les ajoutant, on obtient $t t' (s_1 s'_1 (a'_2 s_2 +
+a_2 s'_2) - s_2 s'_2 (a'_1 s_1 + a_1 s'_1)) = 0$, ce qui donne bien
+$(a'_1 s_1 + a_1 s'_1, s_1 s'_1) \sim (a'_2 s_2 + a_2 s'_2, s_2 s'_2)$
+comme annoncé.
+
+On a de plus un morphisme d'anneaux $A \to A[S^{-1}]$ envoyant $a \in
+A$ sur $a/1$ qu'on peut appeler morphisme « naturel » ou
+« canonique » dans ce contexte.
+
+L'anneau $A[S^{-1}]$ ainsi défini (muni du morphisme $A \to
+A[S^{-1}]$, donc vu comme $A$-algèbre si on le souhaite) s'appelle la
+\defin{localisation}\index{localisé|see{localisation}} (ou le
+localisé) de $A$ inversant la partie multiplicative $S$.
+
+\thingy On prendra garde au fait que le morphisme naturel $A \to
+A[S^{-1}]$ n'est pas forcément injectif (c'est-à-dire qu'on peut avoir
+$a/1 = 0$ dans $A[S^{-1}]$ sans que $a$ soit nul dans $A$).  En fait,
+il est injectif si et seulement si tout élément de $S$ est régulier
+(cf. \ref{regular-and-invertible-elements}) : en effet, le fait que $t
+\in S$ soit un diviseur de zéro signifie que $ta=0$ pour un certain
+$a\neq 0$, ce qui s'écrit aussi $t(a-0) = 0$, témoignant que $(a,1)
+\sim (0,1)$.  Le cas le plus extrême est celui où $S$ contient $0$, et
+alors $A[S^{-1}]$ est l'anneau nul.
+
+Lorsque $S$ ne contient que des éléments réguliers, la définition de
+$A[S^{-1}]$ est légèrement simplifiée puisqu'on a $a_1/s_1 = a_2/s_2$
+si et seulement si $a_2 s_1 - a_1 s_2 = 0$.
+
+\thingy Conformément aux exemples donnés en \ref{multiplicative-set},
+les cas particuliers suivants sont importants :
+
+Si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier et $S = A\setminus\mathfrak{p}$
+est son com\-plé\-men\-taire, on note $A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ;
+c'est un anneau local (dont l'idéal maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}]
+= \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s \not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle
+le localisé\index{localisation} de $A$ \textbf{en} $\mathfrak{p}$.
+
+De façon encore plus particulière, si $A$ est un anneau intègre et $S
+= A \setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note
+$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \defin{corps des
+  fractions} de $A$.  Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et
+$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps.
+
+Si $f_1,\ldots,f_n \in A$ et si $S = \{f_1^{i_1}\cdots f_n^{i_n} :
+i_1,\ldots,i_n \in \mathbb{N}\}$ est la partie multiplicative qu'ils
+engendrent, la localisé $A[S^{-1}]$ se note aussi
+$A[f_1^{-1},\ldots,f_n^{-1}]$.  En fait, seul le cas $n=1$ est
+vraiment intéressant car on a $A[f_1^{-1},\ldots,f_n^{-1}] \cong
+A[h^{-1}]$ où $h = f_1\cdots f_n$ (l'isomorphisme envoie $a/(f_1^{i_1}
+\cdots f_n^{i_n})$ sur $(a f_1^{i-i_1}\cdots f_n^{i-i_n})/h^i$ où $i =
+\max(i_1,\ldots,i_n)$).  Ce cas peut se décrire explicitement d'une
+autre manière :
+
+\begin{prop}\label{localization-inverting-one-element}
+Si $A$ est un anneau et $f \in A$, alors l'anneau quotient
+$A[t]/(tf-1)$ (de l'anneau $A[t]$ des polynômes en une indéterminée
+par son idéal engendré par $tf-1$) est isomorphe à $A[f^{-1}]$.
+
+Plus précisément, un isomorphisme $\varphi\colon A[t]/(tf-1) \to
+A[f^{-1}]$ s'obtient en envoyant la classe (modulo $tf-1$) d'un $g \in
+A[t]$ sur $g(1/f)$ (évaluation de $g$ en l'élément $1/f$
+de $A[f^{-1}]$), et sa réciproque $\psi\colon A[f^{-1}] \to
+A[t]/(tf-1)$ envoye $a/f^i$ sur la classe de $at^i$ (modulo $tf-1$).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Le morphisme d'évaluation $A[t] \to A[f^{-1}]$ qui envoie un polynôme
+$g \in A[t]$ sur son évaluation $g(1/f)$ en $1/f$ envoie $tf-1$
+sur $0$ (puisque $1/f$ est l'inverse de $f$ dans $A[f^{-1}]$) :
+autrement dit, $tf-1$ est dans le noyau de ce morphisme d'évaluation,
+et on en déduit un morphisme d'anneaux $\varphi\colon A[t]/(tf-1) \to
+A[f^{-1}]$ comme décrit.  Il reste à vérifier que c'est un
+isomorphisme, et que sa réciproque est celle qui a été décrite.
+
+Tout élément de $A[f^{-1}]$ est (par définition) de la forme $a/f^i$
+pour un certain $i\in\mathbb{N}$ : c'est-à-dire qu'il s'écrit
+$\varphi(a\bar t^i)$ (en notant $\bar t$ la classe de $t$
+modulo $tf-1$).  Ceci montre déjà la surjectivité de $\varphi$.
+
+Montrons l'injectivité : pour cela, observons que $\bar t f = 1$ dans
+$A[t]/(tf-1)$, donc $f$ y est inversible d'inverse $\bar t$.  Si $g =
+c_0 + c_1 t + \cdots + c_n t^n \in A[t]$ vérifie $g(1/f) = 0$,
+c'est-à-dire $c_0 + c_1 (1/f) + \cdots + c_n (1/f)^n = 0$ dans
+$A[f^{-1}]$, ceci se réécrit $(c_0 f^n + c_1 f^{n-1} + \cdots +
+c_n)/f^n = 0$ dans $A[f^{-1}]$, soit, par définition de $A[f^{-1}]$,
+qu'il existe un $j \in\mathbb{N}$ tel que $c_0 f^{n+j} + c_1 f^{n+j-1}
++ \cdots + c_n f^j = 0$ dans $A$, et en particulier cette égalité vaut
+dans $A[t]/(tf-1)$, mais en multipliant par $(\bar t)^{n+j}$ et en se
+rappelant que $\bar t$ est l'inverse de $f$, on a $c_0 + c_1 \bar t +
+\cdots + c_n \bar t^n = 0$, si bien que la classe $\bar g = g(\bar t)$
+de $g$ (modulo $tf-1$) est nulle : on a bien montré l'injectivité
+de $\varphi$.
+
+On sait maintenant que $\varphi$ est un isomorphisme d'anneaux.  Comme
+$\varphi(a\bar t^i) = a/f^i$, la réciproque de $\varphi$ envoie
+$a/f^i$ sur la classe $a\bar t^i$ de $at^i$ modulo $tf-1$, c'est donc
+bien l'application $\psi$ décrite (et en particulier, celle-ci est un
+morphisme d'anneaux).
+\end{proof}
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cgit v1.2.3