From 03f8fb210899554749676531119d07717b987415 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 15 Feb 2016 14:56:04 +0100
Subject: Nilradical of a ring.

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 notes-accq205.tex | 39 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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index c379b8b..e6ea133 100644
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@@ -202,6 +202,45 @@ que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
 de conclure.
 \end{proof}
 
+\thingy Un élément $x$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{nilpotent}
+lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel que $x^n = 0$ (un anneau dans lequel le
+seul élément nilpotent est $0$ est dit \textbf{réduit}).
+
+\begin{prop}
+Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
+cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de l'anneau.
+(On l'appelle le \textbf{nilradical} de l'anneau.)
+\end{prop}
+\begin{proof}
+L'ensemble des nilpotents est un idéal car si $x^n=0$ et $y^n=0$ alors
+$(x+y)^{2n}=0$ en développant.  Il est inclus dans tout idéal
+premier $\mathfrak{p}$, car $x^n \in \mathfrak{p}$ (et à plus forte
+raison $x^n = 0$) implique $x \in \mathfrak{p}$ par récurrence
+sur $n$.  Reste à montrer que si $z$ est inclus dans tout idéal
+premier, alors $z$ est nilpotent.
+
+Supposons que $z$ n'est pas nilpotent.  Considérons $\mathfrak{p}$ un
+idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun
+$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff
+(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$).
+Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut
+voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$.  Par maximalité de $\mathfrak{p}$,
+chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux
+  d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un
+  idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus
+  petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$
+  et $J$.  Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un
+  élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.}
+$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$,
+c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme
+$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient
+des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance
+de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy
+\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
+dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
+\mathfrak{p}$.
+\end{proof}
+
 \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
 dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
 symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
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