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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 11 Feb 2016 14:41:49 +0100
Subject: Additivity of transcendence degrees.

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@@ -296,7 +296,9 @@ K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée,
 on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$.  Un
 \textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou
 encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de
-corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$.
+corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$ ; on dit aussi que $k
+\subseteq E \subseteq K$ est une \textbf{tour} d'extensions (et de
+même pour n'importe quel nombre de corps intermédiaires).
 
 \thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension
 de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$,
@@ -484,6 +486,17 @@ dans une extension sans pour autant être algébriquement clos (par
 exemple $\mathbb{Q}$ dans le corps $\mathbb{Q}(t)$ des fractions
 rationnelles).
 
+\thingy\label{upgrade-algebraic-with-indeterminates} On peut aussi
+remarquer le fait suivant : si $K$ est algébrique au-dessus de $k$,
+alors $K(t_1,\ldots,t_n)$ où les $t_i$ sont des indéterminées (ou, de
+façon équivalente, des éléments algébriquement indépendants sur $K$
+d'un corps plus gros,
+cf. \ref{remark-indeterminates-versus-transcendentals}) est algébrique
+sur $k(t_1,\ldots,t_n)$.  (En effet, $K(t_1,\ldots,t_n)$ est engendré
+sur $k(t_1,\ldots,t_n)$ par tous les éléments de $K$, qui sont
+algébriques sur $k$, donc certainement aussi sur $k(t_1,\ldots,t_n)$,
+et on applique \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3).)
+
 
 \subsection{Bases et degré de transcendance}
 
@@ -493,7 +506,8 @@ $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
   indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
   transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in
 k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que
-$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le polynôme nul, autrement dit, lorsque le
+$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ (relation de « dépendance algébrique » sur $k$
+entre les $x_i$) est le polynôme nul ; autrement dit, lorsque le
 morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec
 $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées)
 envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif.  En particulier,
@@ -503,7 +517,9 @@ est transcendant sur $k$.
 
 On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est
 algébriquement indépendante sur $k$ lorsque toute sous-famille finie
-d'entre eux l'est.
+d'entre eux l'est (i.e., il n'existe pas de relation de dépendance
+algébrique entre les $x_i$, c'est-à-dire entre un nombre fini d'entre
+eux).
 
 Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de
   transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement
@@ -511,7 +527,7 @@ indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique au-dessus de
 l'extension $k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$.
 \end{defn}
 
-\thingy Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont
+\thingy\label{remark-indeterminates-versus-transcendentals} Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont
 algébriquement indépendants si $t_1,\ldots,t_n$ sont des
 indéterminées, c'est-à-dire, si $k(t_1,\ldots,t_n)$ est le corps des
 fractions rationnelles en $n$ indéterminées.  Réciproquement, si
@@ -591,8 +607,8 @@ cardinal.
   algébriquement indépendante : en effet, si on avait un polynôme
   $P(t,(x_i))$ qui l'annulât, en considérant $P$ comme polynôme de la
   seule variable $t$ (dont il dépend effectivement, sinon il donnerait
-  une relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, chose qui
-  n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur
+  une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les $x_i$, chose
+  qui n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur
   $k(x_i)_{i\in I}$.  Par maximalité de $(x_i)_{i\in I}$, ceci ne peut
   pas se produire : donc $K$ est bien algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$
   et $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance.
@@ -668,6 +684,28 @@ dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de
   transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$.
 \end{defn}
 
+\begin{prop}
+Si $k \subseteq K \subseteq L$ est une tour d'extensions, alors
+$\degtrans_k(L) = \degtrans_k(K) + \degtrans_K(L)$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$ et
+$(y_j)_{j\in J}$ de $L$ sur $K$, alors leur réunion (évidemment
+disjointe !) est une base de transcendance de $L$ sur $k$ : en effet,
+d'une part, une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les
+$x_i$ et les $y_j$ est \textit{a fortiori} une relation de dépendance
+algébrique sur $K$ entre les $y_j$, qui n'existe pas, c'est-à-dire
+plus exactement qui ne peut pas faire intervenir les $y_j$, donc est
+une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les $x_i$, qui
+n'existe pas non plus, c'est-à-dire plus exactement qu'elle est nulle,
+et ceci montre que la réunion considérée est algébriquement
+indépendante ; d'autre part, $L$ est algébrique sur $K(y_j)$, qui est
+lui-même algébrique sur $k(x_i,y_j)$ car $K$ l'est sur $k(x_i)$
+(cf. \ref{upgrade-algebraic-with-indeterminates}), donc $L$ est
+algébrique sur $k(x_i,y_j)$
+(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)).
+\end{proof}
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