From 0fb706a44eb7584617619e9c53111d21908293a6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 12 Feb 2016 16:00:25 +0100
Subject: Algebraic closure, Steinitz's theorem.

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 notes-accq205.tex | 44 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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@@ -758,7 +758,7 @@ et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et que $L =
 K(x_1,\ldots,x_n)$.
 \end{defn}
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field}
 Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme.  Alors : (1) Il existe
 un corps de décomposition de $f$ sur $K$.  (2) Si $K \subseteq L$ est
 un corps de décomposition de $f$ sur $K$, et si $K \subseteq L'$ est
@@ -807,6 +807,48 @@ les racines $x'_1,\ldots,x'_n$ de $f$ dans $L'$, or on a $L =
 K(x'_1,\ldots,x'_n)$.
 \end{proof}
 
+\begin{defn}
+Soit $K$ un corps.  On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une
+extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$
+soit complètement décomposé sur $L$.
+\end{defn}
+
+De toute évidence, un corps est algébriquement clos si et seulement si
+il est égal à sa propre clôture algébrique.
+
+\begin{prop}[théorème de Steinitz]
+Soit $K$ un corps quelconque.  Alors il existe une clôture algébrique
+de $K$, et de plus, si $L$ et $L'$ sont deux clôtures algébriques
+de $K$, il existe un isomorphisme entre elles qui soit l'identité
+sur $K$.  Enfin, une clôture algébrique de $K$ est algébriquement
+close.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
+L'existence se montre comme
+\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de
+passage à l'infini : pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on construit
+un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs
+de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont
+algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4).
+L'unicité se montre comme
+\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2), de nouveau en
+passant à l'infini : quitte à supposer que $L$ a été construit comme
+on vient de l'indiquer, pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on
+construit un morphisme entre le corps de décomposition de ce polynôme
+au-dessus de tous les précédents, et un sous-corps de $L'$, jusqu'à
+obtenir un morphisme de $L$ dans $L'$ (qui est l'identité au-dessus
+de $K$), qui est forcément un isomorphisme puisque $L'$ est
+algébrique, donc engendré par tous les éléments algébriques au-dessus
+de $K$.
+
+Enfin, si $M$ est une clôture algébrique de $L$, qui est lui-même une
+clôture algébrique de $K$, on voit que $M$ est algébrique sur $K$
+d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4), donc tout élément
+de $M$ est racine d'un polynôme à coefficients dans $K$, donc il est
+déjà dans $L$, et en fait $L = M$, ce qui montre que $L$ est
+algébriquement clos.
+\end{proof}
+
 
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cgit v1.2.3

