From 1128f4a6069a2ed3ffcd0f076e7d4623e03b2824 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 19 Apr 2016 20:33:26 +0200
Subject: Write an erratum for a flawed argument.

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 notes-accq205.tex | 38 ++++++++++++++++++++------------------
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index 4f1630a..9e6a688 100644
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@@ -5671,7 +5671,8 @@ pas un corps : car s'il l'était on aurait $K = A$ et
 d'après \ref{zariski-lemma} il serait une extension finie de $k$, ce
 qui contredit l'hypothèse $\degtrans_k K = 1$.)
 
-\thingy Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
+\thingy\label{smooth-points-give-unique-place-reasoning}
+Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
 dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
 de $Z(I)$.
 
@@ -5694,7 +5695,7 @@ monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai
 + bj$.  On veut montrer que $v$ est unique.  (La difficulté est que la
 valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les
 valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la
-valuation des polômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
+valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
 que celle des monômes l'est.)
 
 Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si
@@ -5705,25 +5706,26 @@ Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$.  Soit $e$
 l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$
 de $h(x,0)$).  On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$.  Tout monôme
 dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance
-de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$), donc (réduit
-modulo $h$) il a une $v$-valuation au moins égale à $b$ ou à $ae$ ;
-comme $\bar h$ s'annule dans $K$,
-\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ (et la
-valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$).  À présent,
-cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine complètement
-la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
+de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par
+conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont
+susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$,
+qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule
+dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$
+(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$).  À
+présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine
+complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
 
 Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$
 est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de
-$v$-valuation strictement supérieure.  Observons que dans un polynôme
-$f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut remplacer
-n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$.  Si $f$ est un
-polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus petite
-$v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on vient de
-dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' x^{i+e j}$
-plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.  Si le
-coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule pas, la
-valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$.  S'il
+$v$-valuation strictement supérieure à $ae$.  Observons que dans un
+polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut
+remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$.  Si
+$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus
+petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on
+vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c'
+x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.
+Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule
+pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$.  S'il
 s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont
 les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement
 supérieure à $a(i + e j)$.  Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est
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cgit v1.2.3

