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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 27 Feb 2016 20:49:14 +0100
Subject: Separable algebraic extensions.

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 notes-accq205.tex | 62 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------
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@@ -1314,14 +1314,14 @@ est $f_0^p$, donc que $f^{\Frob}$ est irréductible dans $k^p[t]$ donc
 que $f$ l'est dans $k[t]$.
 \end{proof}
 
-\thingy Lorsque $k \subseteq K$ est une extension de corps, un élément
-$x \in K$ algébrique sur $k$ est dit \textbf{séparable} (sur $k$)
-lorsque son polynôme minimal l'est.  D'après ce qu'on a dit ci-dessus,
-en caractéristique $0$, tout algébrique est séparable, et en
-caractéristique $p$, pour tout algébrique $x$ il existe un $e$ tel que
-$x^{p^e}$ soit séparable et de degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$
-(notamment, si $\deg(x)$ n'est pas multiple de $p$, alors $x$ est
-séparable).
+\thingy\label{definition-separable-element} Lorsque $k \subseteq K$
+est une extension de corps, un élément $x \in K$ algébrique sur $k$
+est dit \textbf{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal
+l'est.  D'après ce qu'on a dit ci-dessus, en caractéristique $0$, tout
+algébrique est séparable, et en caractéristique $p$, pour tout
+algébrique $x$ il existe un $e$ tel que $x^{p^e}$ soit séparable et de
+degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$ (notamment, si $\deg(x)$ n'est pas
+multiple de $p$, alors $x$ est séparable).
 
 \begin{prop}\label{separable-inseparable-dichotomy}
 Soit $k \subseteq K$ une extension de corps de caractéristique $p>0$,
@@ -1364,7 +1364,7 @@ extensions $k^p(x^p)$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes
 
 Avec ce critère, on démontre immédiatement la proposition suivante :
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}
 Soit $k \subseteq K$ une extension de corps et $x\in K$ algébrique
 séparable sur $k$.  Alors tout $y \in k(x)$ est (algébrique) séparable
 sur $k$.
@@ -1389,6 +1389,46 @@ contraire étant évidente on a $\deg(y^p) = \deg(y)$ et $y$ est
 séparable.
 \end{proof}
 
+\thingy\label{definition-separable-algebraic-extension} Une extension
+de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \textbf{séparable} (ou
+que $K$ est séparable sur / au-dessus de $k$) lorsque tout élément
+de $K$ est séparable sur $k$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
+C'est, bien sûr, toujours le cas en caractéristique $0$.
+
+La
+proposition \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}
+signifie ainsi que si $x$ est séparable sur $k$ alors $k(x)$ est
+séparable (la réciproque est triviale).
+
+\begin{prop}
+Soit $k \subseteq K$ une extension algébrique.  Elle est séparable si
+et seulement si $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace vectoriel.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si $K$ est séparable sur $k$, tout élément $x\in K$ est séparable
+sur $k$, c'est-à-dire appartient à $k(x^p)$ donc appartient au
+$k$-espace vectoriel engendré par les $x^{pi}$, donc notamment
+par $K^p$.
+
+\textcolor{red}{...}
+\end{proof}
+
+\begin{prop}
+Soit $k \subseteq K \subseteq L$ une tour d'extensions algébriques.
+Si $K$ est séparable sur $k$ et $L$ est séparable sur $K$, alors $L$
+est séparable sur $k$ (la réciproque est claire).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+La proposition précédente montre que $K^p$ engendre $K$ comme
+$k$-espace vectoriel, et que $L^p$ engendre $L$ comme $K$-espace
+vectoriel.  Si $x \in L$, on peut écrire $x$ comme combinaison
+linéaire à coefficients dans $K$ d'éléments de $L^p$, et les
+coefficients peuvent eux-mêmes se réécrire comme combinaisons
+linéaires à coefficients dans $k$ d'éléments de $K^p$ : on a donc
+écrit $x$ comme combinaison linéaire à coefficients dans $k$
+d'éléments de $L^p$, et ceci montre que $L$ est séparable sur $k$.
+\end{proof}
+
 \begin{defn}\label{definition-perfect-field}
 Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de
 caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le
@@ -1422,6 +1462,10 @@ puisque $t^p - x = (t-y)^p$ dans $K[t]$, toutes ses racines sont
 $(t-y)^r$ pour un certain $1\leq r\leq p$, et s'il est séparable c'est
 que $r=1$ donc $y\in k$.
 
+Bien sûr, on peut aussi dire qu'un corps $k$ est parfait si et
+seulement si toute extension algébrique de $k$ est séparable
+(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}).
+
 \begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem}
 Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$
 et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$
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