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Date: Sun, 28 Feb 2016 18:44:49 +0100
Subject: Mention purely inseparable extensions and the separable degree.

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 notes-accq205.tex | 31 ++++++++++++++++++++++++++++++-
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@@ -1523,6 +1523,35 @@ La fermeture séparable de $k$ dans une clôture algébrique de $k$
 séparablement fermé dans une clôture algébrique), on dit que $k$ est
 \textbf{séparablement clos}.
 
+\thingy Une extension algébrique $k \subseteq K$ telle que $k$ soit
+égal à sa propre fermeture séparable dans $K$ (i.e. séparablement
+fermé \emph{dans $K$}) est dite \textbf{purement inséparable}.  Dans
+ce cas, en notant $p>0$ la caractéristique, le polynôme minimal
+sur $k$ d'un élément quelconque de $K$ est de la forme $t^{p^e} - c$
+pour un $c \in k$ (car si $f$ est le polynôme minimal de $x \in K$ et
+si $f(t) = f_0(t^{p^e})$ avec $f_0$ séparable comme d'habitude,
+l'élément $c := x^{p^e}$ de $K$ est annulé par $f_0$ donc séparable
+sur $k$ donc dans $k$, donc $f_0$ est de la forme $t-c$) ; et
+réciproquement, si cette condition est vérifiée, l'extension est
+purement inséparable (car un polynôme de la forme $t^{p^e} - c$ n'est
+séparable que pour $e=0$).
+
+\thingy On pourrait définir la notion de \textbf{degré séparable}
+d'une extension algébrique $k \subseteq K$, qui est le degré sur $k$
+de la fermeture séparable $k'$ de $k$ dans $K$, soit
+$[K:k]_{\mathrm{sep}} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}}
+:= [K:k']$ le \textbf{degré inséparable}).  Les degrés séparables (et
+les degrés inséparables) se multiplient comme les degrés
+(cf. \ref{remark-multiplicativity-of-degree}) : nous ne ferons pas la
+démonstration, mais le point-clé est que si $k\subseteq K$ est une
+extension purement inséparable (i.e., telle que $k$ soit séparablement
+fermé dans $K$) et $K \subseteq K'$ une extension séparable, et si
+$k'$ est la fermeture séparable de $k$ dans $K'$, alors $[k':k] =
+[K':K]$, c'est-à-dire que les extensions $K$ et $k'$ de $k$ sont
+linéairement disjointes (cf. \ref{linear-disjointness-and-degrees}),
+ce qui se voit de façon analogue
+à \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}.
+
 
 
 \subsection{Corps parfaits, théorème de l'élément primitif}
@@ -1532,7 +1561,7 @@ Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de
 caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le
 morphisme de Frobenius, $\Frob\colon x\mapsto x^p$, est surjectif $k
 \to k$, i.e. tout élément a une racine $p$-ième (automatiquement
-unique), i.e. $k^p = k$.
+unique car $\Frob$ est injectif), ou si on préfère, $k^p = k$.
 \end{defn}
 
 \thingy Ainsi, les corps $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sont
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cgit v1.2.3

