From 16b013359f685665a422aafa6876ebf5e3608e9a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 2 Apr 2016 22:21:10 +0200
Subject: The degree identity.

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@@ -4418,11 +4418,11 @@ identiquement nulle soit n'a pas de zéro non plus).
 
 \subsection{L'identité du degré}\label{subsection-degree-identity}
 
-\begin{lem}
+\begin{lem}\label{dimension-degree-bound-lemma}
 Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soient
 $v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ et soient $r_1,\ldots,r_n
 \in \mathbb{N}$.  Alors la dimension du $k$-espace vectoriel $L := \{f
-\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] +
+\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] +
 \sum_{i=1}^n r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de
 la place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$
 avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel
@@ -4432,7 +4432,7 @@ En particulier, cette dimension est finie.
 \end{lem}
 \begin{proof}
 On procède par récurrence sur $\sum_{i=1}^n r_i$.  Si les $r_i$ sont
-tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq 0\}$ est
+tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq 0\}$ est
 précisément $\tilde k$
 (cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est
 vérifiée dans ce cas.
@@ -4452,6 +4452,92 @@ est $L$.  En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) +
 conclut la récurrence.
 \end{proof}
 
+\begin{thm}
+Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non
+constant et soient $v_1,\ldots,v_n$ les places où $x$ a un zéro
+(c'est-à-dire $v_i(x) \geq 0$).  Alors
+\[
+\sum_{i=1}^n v_i(x)\,\deg(v_i) = [K : k(x)]
+\]
+\end{thm}
+\begin{proof}
+Les deux inégalités se démontrent indépendamment.
+
+\emph{Montrons d'abord l'inégalité $\geq$.}
+
+Soit $m := [K:k(x)]$ et soit $z_1,\ldots,z_m$ une base de $K$
+comme $k(x)$-espace vectoriel.  Ajoutons aux $v_i$ toutes les places
+où l'un des $z_j$ a un pôle, et posons $r_i = \max(v_i(x),0)$
+(c'est-à-dire $r_i = v_i(x)$ pour les $v_i$ de départ et $r_i = 0$
+pour les nouveaux), et aussi $s_i = \max(\max_j\{v_i(z_j)\},0)$.  Soit
+enfin $L_N$ l'espace vectoriel $\{f \in K : (\forall i)\, v_i(f_i)
+\geq -(s_i + N r_i)\}$ : on a alors $x^{-\ell} z_j \in L_N$ pour tout
+$j$ et tout $0\leq \ell \leq N$, et les $x^{-\ell} z_j$ sont
+linéairement indépendants sur $k$ (puisque $x$ est transcendant
+d'après \ref{constant-functions-on-a-curve} et que les $z_j$ sont
+linéairement indépendants sur $k(x)$).  D'après le
+lemme \ref{dimension-degree-bound-lemma}, on en déduit $N \sum_i
+r_i\,\deg(v_i) + C \geq (N+1) m$ où $C$ est une constante (à savoir
+$\sum_i s_i\,\deg(v_i) + [\tilde k:k]$).  Or ceci n'est possible, pour
+$N$ grand, que si $\sum_i r_i\,\deg(v_i) \geq m$, ce qui montre
+l'inégalité annoncée.
+
+\emph{Montrons maintenant l'inégalité $\leq$.}
+
+Pour chaque $i$, soit $d_i := \deg(v_i)$ et $r_i := v_i(x)$, et soient
+$z_{i,1},\ldots,z_{i,d_i} \in \mathcal{O}_i$ dont les classes
+modulo $\mathfrak{m}_i$ forment une base de $\varkappa_i$ comme
+$k$-espace vectoriel (notamment $v_i(z_{i,u}) = 0$).  Quitte à
+utiliser le théorème \ref{weak-approximation} on peut, sans changer
+cette propriété des $z_{i,u}$, assurer de surcroît que $v_j(z_{i,u})
+\geq r_j$ pour tout $j\neq i$.  On choisit enfin $t_i$ tel que
+$v_i(t_i) = 1$ et $v_j(t_i) = 0$ si $j\neq i$ (de nouveau en
+utilisant \ref{weak-approximation}).  On va montrer que les $z_{i,u}
+t_i^s$ pour $1\leq i\leq n$ et $1\leq u\leq d_i$ et $0\leq s < r_i$
+sont linéairement indépendants sur $k(x)$, ce qui, comme leur nombre
+est $\sum_{i=1}^n r_i d_i$, donnera bien l'inégalité $\leq$.
+
+Supposons donc qu'on ait une relation linéaire non-triviale
+\[
+\sum_{j=1}^n \sum_{u=1}^{d_j} \sum_{s=0}^{r_j-1} f_{j,u,s} z_{j,u} t_j^s = 0
+\]
+avec $f_{j,u,s} \in k(x)$.  On sait que $x$ est transcendant sur $k$,
+c'est-à-dire que les $f_{j,u,s}$ sont des fractions rationnelles
+en $x$.  Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer
+$f_{j,u,s} \in k[x]$ et que $x$ ne les divise pas tous.  Soit $e$ le
+plus petit $s$ tel que l'un des $f_{j,u,e}$ ne soit pas divisible
+par $x$ (i.e., non nul en $0$) et soit $i$ correspondant (i.e., un
+indice tel que l'un des $f_{i,u,e}$ ne soit pas divisible par $x$).
+
+On a $\sum_{j=1}^n \sum_{u=1}^{d_j} \sum_{s=0}^{r_j-1} f_{j,u,s}
+z_{j,u} t_j^s t_i^{-e} = 0$.  Considérons la valuation $v_i$ du terme
+$f_{j,u,s} z_{j,u} t_j^s t_i^{-e}$, qui vaut $v_i(f_{j,u,s}) +
+v_i(z_{j,u}) + s\, v_i(t_j) - e$.  Remarquons que $v_i(f_{j,u,s}) \geq
+0$ puisque $f_{j,u,s} \in k[x]$.  On considère plusieurs cas :
+\begin{itemize}
+\item si $j\neq i$, on a $v_i(z_{j,u}) \geq r_i$ et $v_i(t_j) = 0$
+  donc la valuation considérée est au moins $0 + r_i + 0 - e > 0$ ;
+\item lorsque $j = i$ (si bien que $v_i(z_{i,u}) = 0$) et $s < e$, on
+  a $f_{j,u,s} = x g_{j,u,s}$ pour un certain $g\in k[x]$, la
+  valuation considérée vaut au moins $r_i + 0 + s - e > 0$ car $e <
+  r_i$ ;
+\item lorsque $j = i$ et $s > e$, la valuation considérée vaut au
+  moins $0 + 0 + s - e > 0$
+\item reste les termes où $j = i$ et $s = e$, où la valuation
+  considérée vaut au moins $0 + 0 + s - e = 0$.
+\end{itemize}
+Bref, tous les termes de la somme sont dans $\mathcal{O}_i$ et tous
+ceux où $j\neq i$ ou bien $s\neq e$ sont dans $\mathfrak{m}_i$.  En
+réduisant modulo $\mathfrak{m}_i$, on obtient donc
+\[
+\sum_{u=1}^{d_i} f_{i,u,e}(0)\, z_{i,u}(v_i) = 0 \in \varkappa_i
+\]
+(où $z_{i,u}(v_i)$ est la réduction de $z_{i,u}$
+modulo $\mathfrak{m}_i$) et au moins un des $f_{i,u,e}(0)$ est non
+nul.  Mais ceci contredit l'indépendance linéaire sur $k$ des
+$z_{i,u}(v_i) \in \varkappa_i$.
+\end{proof}
+
 
 
 % TODO:
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cgit v1.2.3

