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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 28 Feb 2016 20:55:05 +0100
Subject: Statement of facts on Galois theory.

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@@ -36,6 +36,10 @@
 \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
 \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
+\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
+\newcommand{\sep}{\operatorname{sep}}
+\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
+\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
@@ -474,6 +478,9 @@ extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
 précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires
 irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.
 
+À titre d'exemple, le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes est
+algébriquement clos (« théorème de D'Alembert-Gauß »).
+
 \thingy Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut
 considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie
 ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de
@@ -1081,7 +1088,7 @@ morphisme est un isomorphisme (i.e., est surjectif) puisque son image
 est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$.
 \end{proof}
 
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{definition-decomposition-field}
 Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque.  On appelle
 \textbf{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K
 \subseteq L$ telle que $f$ soit scindé (=complètement décomposé)
@@ -1147,10 +1154,9 @@ K(x'_1,\ldots,x'_n)$.
 
 On peut obtenir l'existence et l'unicité du corps de décomposition
 d'une famille finie de polynômes en appliquant le résultat ci-dessus à
-leur produit (puisque visiblement, décomposer complètement
-$f_1,\ldots,f_n$ revient à décomposer complètement leur produit
-$f_1\cdots f_n$).  Le même résultat vaut pour un nombre possiblement
-infini de polynômes :
+leur produit (puisque visiblement, scinder $f_1,\ldots,f_n$ revient à
+scinder leur produit $f_1\cdots f_n$).  Le même résultat vaut pour un
+nombre possiblement infini de polynômes :
 \begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field-infinite-family}
 Soit $K$ un corps et $(f_i)$ une famille quelconque d'éléments
 de $K[t]$.  Alors : (1) Il existe un corps de décomposition des $f_i$
@@ -1223,6 +1229,22 @@ déjà dans $L$, et en fait $L = M$, ce qui montre que $L$ est
 algébriquement clos.
 \end{proof}
 
+\thingy La fermeture algébrique d'un corps $K$ dans un corps
+algébriquement clos $L$ qui le contient fournit une clôture algébrique
+de $K$ (vérification facile).  À titre d'exemple, puisque $\mathbb{C}$
+est algébriquement clos, la fermeture algébrique de $\mathbb{Q}$
+dans $\mathbb{C}$, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes
+algébriques sur $\mathbb{Q}$, est une clôture algébrique
+de $\mathbb{Q}$.
+
+On notera souvent $K^{\alg}$ une clôture algébrique de $K$, le
+choix étant peu important puisqu'elles sont toutes isomorphes
+au-dessus de $K$ comme on vient de le voir (néanmoins, comme
+l'isomorphisme n'est pas \emph{unique}, le fait d'écrire « une »
+clôture algébrique est justifié : deux constructions de clôtures
+algébriques donneront certes des objets isomorphes, mais il n'y a pas
+de façon « canonique » de les identifier).
+
 
 \subsection{Éléments et extensions algébriques séparables}
 
@@ -1539,7 +1561,7 @@ séparable que pour $e=0$).
 \thingy On pourrait définir la notion de \textbf{degré séparable}
 d'une extension algébrique $k \subseteq K$, qui est le degré sur $k$
 de la fermeture séparable $k'$ de $k$ dans $K$, soit
-$[K:k]_{\mathrm{sep}} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}}
+$[K:k]_{\sep} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}}
 := [K:k']$ le \textbf{degré inséparable}).  Les degrés séparables (et
 les degrés inséparables) se multiplient comme les degrés
 (cf. \ref{remark-multiplicativity-of-degree}) : nous ne ferons pas la
@@ -1664,6 +1686,143 @@ l'extension est monogène.  Si $k$ est parfait, toute extension
 algébrique de $k$ est séparable.
 \end{proof}
 
+
+
+\subsection{Théorie de Galois : énoncé de résultats}
+
+\thingy Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$
+deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \textbf{conjugués} sur $K$
+lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur $K$, autrement dit,
+lorsque l'un est racine du polynôme minimal de l'autre (il s'agit
+d'une relation d'équivalence dont les classes sont parfois appelées
+\textbf{classes de conjugaison} au-dessus de $K$).  De façon
+équivalente, deux éléments $x,x'$ de $L$ sont conjugués lorsque tout
+polynôme de $K[t]$ qui s'annule sur l'un s'annule aussi sur l'autre.
+
+Les conjugués de $x \in L$ sont généralement considérés dans une
+clôture algébrique $K^{\alg} = L^{\alg}$ de $L$ (donc de $K$) :
+l'intérêt de considérer la clôture algébrique est que le polynôme
+minimal de $x$ sur $K$ se scinde dans $K^{\alg}$.  Si $x$ est de plus
+séparable (cf. \ref{definition-separable-element}), son polynôme
+minimal sur $K$ est à racines simples dans $K^{\alg}$, donc le nombre
+de conjugués de $x$ sur $K$ est égal à $\deg(x)$.
+
+À titre d'exemple, les conjugués sur $\mathbb{Q}$ de $\sqrt{2}$ sont
+$\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ ; les conjugués sur $\mathbb{R}$ de
+$42+1729i$ sont lui-même et $42-1729i$ ; les conjugués sur
+$\mathbb{Q}$ de $\sqrt[3]{2}$ sont les $\zeta^r \sqrt[3]{2}$ pour
+$r\in\{0,1,2\}$ avec $\zeta$ une racine primitive cubique de l'unité
+(disons $\exp(2i\pi/3)$ dans les complexes) ; et les conjugués d'un $x
+\in \mathbb{F}_q$, pour $q = p^d$, au-dessus de $\mathbb{F}_p$, sont
+les $\Frob_p^r(x) = x^{p^r}$ pour $0\leq r \leq d-1$.
+
+\thingy\label{definition-normal-extension} Une extension de corps $K
+\subseteq L$ algébrique est dite \textbf{normale} lorsqu'elle vérifie
+les propriétés suivantes dont on peut montrer qu'elles sont
+équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item (en notant $L^{\alg}$ une clôture algébrique de $L$,) tout
+  conjugué sur $K$ (dans $L^{\alg}$) d'un élément de $L$ est encore
+  dans $L$,
+\item tout polynôme irréductible sur $K$ qui a une racine dans $L$ est
+  scindé sur $L$ (i.e., il y a toutes ses racines),
+\item $L$ est corps de décomposition
+  (cf. \ref{definition-decomposition-field}) d'une famille de
+  polynômes sur $K$,
+\item (en notant $L^{\alg}$ une clôture algébrique de $L$,) l'image de
+  tout morphisme de corps $L \to L^{\alg}$ qui soit l'identité sur $K$
+  est égale à $L$ (et le morphisme définit donc un automorphisme
+  de $L$ qui soit l'identité sur $K$).
+\end{itemize}
+
+À titre d'exemple, $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ ou $\mathbb{Q}
+\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ou encore $\mathbb{F}_p \subseteq
+\mathbb{F}_{p^d}$ sont des extensions normales (ce sont les corps de
+décomposition de $t^2 + 1$, de $t^2 - 2$ et de $t^{p^d} - 1$
+respectivement) ; en revanche, $\mathbb{Q} \subseteq
+\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ \emph{n'est pas} normale (il s'agit du corps
+de rupture de $t^3 - 2$, c'est une extension de degré $3$, donc ne
+contenant pas de racine primitive cubique $\zeta$ de l'unité qui est
+algébrique de degré $2$).
+
+(On appelle \textbf{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$
+dans $L^{\alg}$ le corps de décomposition des polynômes minimaux
+sur $K$ de tous les éléments de $L$, i.e., le sous-corps de $L^{\alg}$
+engendré par tous les conjugués de tous les éléments de $L$, ou encore
+le composé, cf. \ref{definition-compositum}, de tous les $\sigma(L)$
+pour $\sigma \colon L \to L^{\alg}$ un morphisme de corps qui soit
+l'identité sur $K$.  À titre d'exemple, la fermeture normale de
+$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ au-dessus de $\mathbb{Q}$ est le corps
+$\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[3]{2})$ de décomposition de $t^3 - 2$.)
+
+\thingy Une extension algébrique $K \subseteq L$ qui soit à la fois
+normale (cf. \ref{definition-normal-extension}) et séparable
+(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}) est dite
+\textbf{galoisienne}.
+
+À titre d'exemple, une clôture séparable $K \subseteq K^{\sep}$ de $K$
+fournit une extension galoisienne (elle est séparable par définition,
+et elle est normale car un conjugué d'un élément séparable est
+séparable puisqu'ils ont le même polynôme minimal).  On rappelle que
+si $K$ est parfait, la clôture séparable coïncide avec la clôture
+algébrique.
+
+\thingy Si $K \subseteq L$ est une extension galoisienne, on appelle
+\textbf{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq
+L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$,
+c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes de $K$-algèbres $L \to L$
+(automorphismes de $L$ = isomorphismes de $L$ sur lui-même),
+c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes de $L$ qui soient
+l'identité sur $K$.  Lorsque $L$ est la clôture séparable de $K$, on
+dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de Galois \textbf{absolu}
+de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois $\Gamma_K$.
+
+Les deux exemples suivant sont essentiels : le groupe de Galois de
+$\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ est le groupe à deux éléments formé
+de l'identité sur $\mathbb{C}$ et de la conjugaison complexe ; le
+groupe de Galois de $\mathbb{F}_p \subseteq \mathbb{F}_{p^d}$ est le
+groupe cyclique à $d$ éléments formé des $\Frob_p^i$ pour $0\leq i\leq
+d-1$.
+
+\begin{thm}
+Soit $K \subseteq L$ une extension galoisienne et $G := \Gal(K
+\subseteq L)$ son groupe de Galois.  Alors :
+\begin{itemize}
+\item si $K \subseteq L$ est finie, alors le groupe de Galois $G$ est
+  fini et son ordre $\#G$ est égal au degré $[L:K]$ de l'extension ;
+  d'autre part,
+\item si $x \in L$ est fixé par tous les éléments du groupe de Galois
+  $G$, alors $x$ appartient à $K$ (la réciproque fait partie de la
+  définition même de $G$).
+\end{itemize}
+De plus, si on appelle $\Phi \colon E \mapsto \Gal(E \subseteq L)$ qui
+à un corps intermédiaire $K \subseteq E \subseteq L$ associe le groupe
+de Galois de l'extension $E \subseteq L$ (automatiquement
+galoisienne), vu comme sous-groupe de $G$, on a
+les résultats suivants :
+\begin{itemize}
+\item $\Phi$ est une injection (décroissante pour l'inclusion), de
+  l'ensemble des corps intermédiaires $K \subseteq E \subseteq L$ dans
+  l'ensemble des sous-groupes de $G$,
+\item un inverse à gauche en est fourni par $H \mapsto \Fix(H) := \{x
+  \in L : \forall \sigma\in H\penalty-100\; (\sigma(x) = x)\}$,
+\item si $K \subseteq L$ est finie, $\Phi$ est une bijection (en
+  général, $\Phi$ a pour image l'ensemble des sous-groupes « fermés »
+  pour une certaine topologie),
+\item $\Phi(E)$ est distingué dans $G$ si et seulement si $K \subseteq
+  E$ est galoisienne, et si c'est le cas $\Gal(K \subseteq E)$ est le
+  quotient de $G = \Gal(K \subseteq L)$ par $\Phi(E) = \Gal(E
+  \subseteq L)$,
+\item $\Phi(E_1.E_2)$ est l'intersection de $\Phi(E_1)$ et de
+  $\Phi(E_2)$, et, si $K \subseteq L$ est finie, $\Phi(E_1\cap E_2)$
+  est le sous-groupe de $G$ engendré par $\Phi(E_1)$ et $\Phi(E_2)$
+  (en général, il s'agit de l'« adhérence » du sous-groupe qu'ils
+  engendrent).
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+
+
 % TODO:
 % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski.
 % * Différentielles.
-- 
cgit v1.2.3

