From 24af38bb07f95f0ac647a450cae65840a419936f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 22 Mar 2016 18:06:46 +0100
Subject: Add index.

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--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -15,6 +15,10 @@
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+%% Self-note: compile index with:
+%% xindy -M texindy -C utf8 -L french notes-accq205.idx
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@@ -56,8 +60,11 @@
 \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
   \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
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+\newcommand{\defin}[2][]{\def\latexsucks{#1}\ifx\latexsucks\empty\index{#2}\else\index{\latexsucks}\fi\textbf{#2}}
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 \begin{document}
 \title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)}
 \author{David A. Madore}
@@ -99,14 +106,14 @@ Git: \input{vcline.tex}
 \thingy Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux
 considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).  Il
 existe un unique anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un
-seul élément, appelé l'\textbf{anneau nul}.  (Pour tout anneau $A$, il
+seul élément, appelé l'\defin[nul (anneau)]{anneau nul}.  (Pour tout anneau $A$, il
 existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ; en revanche, il
 n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si $A$ est lui-même
 l'anneau nul.)
 
-\thingy Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
+\thingy Si $k$ est un anneau, une \defin[algèbre]{$k$-algèbre} (là aussi :
 implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
-\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \textbf{morphisme structural} de
+\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \defin[structural (morphisme)]{morphisme structural} de
 l'algèbre.  On peut multiplier un élément de $A$ par un élément de $k$
 avec : $c\cdot x = \varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$).
 Un morphisme de $k$-algèbres est un morphisme d'anneaux
@@ -131,19 +138,19 @@ automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle.
 
 \thingy\label{regular-elements-and-prime-ideals}
 Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est
-dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto
+dit \defin[régulier (élément d'un anneau)]{régulier}, resp. \defin{inversible}, lorsque $x \mapsto
 ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$
 implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il
 existe $x$ (appelé inverse de $a$) tel que $ax = 1$.
 
 Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est
 égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé
-anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un
+anneau \defin[intègre (anneau)]{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un
 anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la
 réciproque est toujours vraie).  Par convention, l'anneau nul n'est
 pas intègre.
 
-Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier}
+Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[premier (idéal)]{premier}
 lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre,
 autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in
 \mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$
@@ -151,9 +158,9 @@ autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in
 
 \thingy\label{fields-and-maximal-ideals} Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...),
 l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles est un groupe,
-aussi appelé groupe des \textbf{unités} de $A$.
+aussi appelé groupe des \defin[unité (dans un anneau)]{unités} de $A$.
 
-Un \textbf{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$
+Un \defin{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$
 des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des
 éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel
 ($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible.  De façon
@@ -163,7 +170,7 @@ un corps.
 
 Un corps est, en particulier, un anneau intègre.
 
-Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal}
+Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[maximal (idéal)]{maximal}
 lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon
 équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que $\mathfrak{m}$ est
 maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$.  Un idéal maximal
@@ -229,14 +236,14 @@ de conclure.
 \end{proof}
 
 \thingy\label{nilpotent-element-and-reduced-ring} Un élément $x$ d'un
-anneau $A$ est dit \textbf{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel
+anneau $A$ est dit \defin{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel
 que $x^n = 0$ (un anneau dans lequel le seul élément nilpotent est $0$
-est dit \textbf{réduit}).
+est dit \defin[réduit (anneau)]{réduit}).
 
 \begin{prop}\label{nilradical-facts}
 Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
 cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de l'anneau.
-(On l'appelle le \textbf{nilradical} de l'anneau.)
+(On l'appelle le \defin{nilradical} de l'anneau.)
 
 Le quotient de l'anneau par son nilradical est réduit.
 \end{prop}
@@ -275,7 +282,7 @@ alors cet élément lui-même est nilpotent, ce qui est évident.
 \end{proof}
 
 \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
-dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
+dit \index{fractions (corps des)}\defin{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
 symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
 \setminus\{0\}$, en convenant d'identifier $\frac{a}{q}$ avec
 $\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$
@@ -303,7 +310,7 @@ Ainsi, $\Frac(A)$ est \emph{engendré en tant que corps} par les
 
 \thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des
 polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est
-appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois
+appelé corps des \defin{fractions rationnelles} (ou parfois
 « fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$
 sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$.
 
@@ -316,16 +323,16 @@ multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est
 inversible.
 
 \thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Rappelons par ailleurs le
-\textbf{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$
+\defin[Gauß (lemme de)]{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$
 est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors l'anneau
 $A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est factoriel ; et
 par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible (dans $A[t]$) si et
 seulement si $f$ est constant et irréductible dans $A$, \emph{ou bien}
 $f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$} et le pgcd (dans $A$) des
-coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \textbf{primitif}
+coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \defin[primitif (polynôme)]{primitif}
 lorsque cette dernière condition est vériifée).  Le point-clé dans la
 démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$ des coefficients d'un
-polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \textbf{contenu} de $f$, est
+polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \defin{contenu} de $f$, est
 multiplicatif (i.e., $c(fg) = c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en
 facteurs irréductibles dans $A[t]$ d'un élément de $A[t]$ s'obtient
 alors à partir de celle de $K[t]$ et de celle dans $A$ du contenu.
@@ -347,11 +354,11 @@ $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $A$, l'intersection de
 toutes les sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est encore une
 sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$, c'est-à-dire que c'est la
 plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$.  On l'appelle
-$k$-algèbre \textbf{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note
+$k$-algèbre \defin[engendrée (algèbre)]{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note
 $k[x_i]_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui
 nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note
 $k[x_1,\ldots,x_n]$, et on dit que $k[x_1,\ldots,x_n]$ est une
-$k$-algèbre \textbf{de type fini} (en tant que $k$-\emph{algèbre}).
+$k$-algèbre \defin[type fini (algèbre)]{de type fini} (en tant que $k$-\emph{algèbre}).
 
 \danger On prendra garde au fait que la même notation
 $k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée
@@ -397,17 +404,17 @@ cette $k$-algèbre est engendrée par $1, x, xy, xy^2, xy^3,\ldots$ et
 on peut montrer qu'aucun nombre fini de ses éléments ne suffit à
 l'engendrer.
 
-\thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
+\thingy Une \defin{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
 \to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est
 un corps).  Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son
 noyau est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut
 donc être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq
 K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée,
-on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$.  Un
-\textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou
-encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de
+on dit aussi que $k$ est un \defin{sous-corps} de $K$.  Un
+\defin[intermédiaire (corps)]{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou
+encore \defin{sous-extension}, est, naturellement, une extension de
 corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$ ; on dit aussi que $k
-\subseteq E \subseteq K$ est une \textbf{tour} d'extensions (et de
+\subseteq E \subseteq K$ est une \defin[tour d'extensions]{tour} d'extensions (et de
 même pour n'importe quel nombre de corps intermédiaires).
 
 \thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension
@@ -415,11 +422,11 @@ de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$,
 l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et
 les $x_i$ est encore un sous-corps de $K$ contenant $k$ et les $x_i$,
 c'est-à-dire que c'est le plus petit corps intermédiaire contenant
-les $x_i$.  On l'appelle sous-extension \textbf{engendrée} (dans $K$)
+les $x_i$.  On l'appelle sous-extension \defin[engendrée (sous-extension)]{engendrée} (dans $K$)
 par les $x_i$ et on la note $k(x_i)_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont
 en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés
 par $1,\ldots,n$, on note $k(x_1,\ldots,x_n)$, et on dit que
-$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \textbf{de type fini}
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \defin[type fini (extension de corps)]{de type fini}
 (en tant qu'extension de \emph{corps}).
 
 \danger On prendra garde au fait que la même notation
@@ -464,7 +471,7 @@ de type fini.  Mais ce n'est pas évident !  (Cela sera démontré en
 une extension de corps et $x\in K$, on a noté
 (cf. \ref{subfield-generated}) $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée
 par $x$.  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une extension
-\textbf{monogène} (certains auteurs utilisent « simple », notamment en
+\defin[monogène (extension)]{monogène} (certains auteurs utilisent « simple », notamment en
 anglais).
 
 On se pose la question de mieux comprendre cette extension.  Pour
@@ -476,7 +483,7 @@ $\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Exactement l'un des deux cas
 suivants se produit :
 \begin{itemize}
 \item Soit $\varphi$ est injectif (=son noyau est nul), auquel cas on
-  dit que $x$ est \textbf{transcendant} sur $k$.  Dans ce cas, d'après
+  dit que $x$ est \defin{transcendant} sur $k$.  Dans ce cas, d'après
   la propriété universelle du corps des fractions
   (cf. \ref{universal-property-of-fraction-field}), $\varphi$ se
   prolonge de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$
@@ -487,12 +494,12 @@ suivants se produit :
   d'identifier $k(x)$ avec le corps des fractions rationnelles en une
   indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée).
 \item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
-  unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
-  de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
-  \textbf{entier}) sur $k$.  Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
+  unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \defin{polynôme minimal}
+  de $x$, et alors $x$ est dit \defin[algébrique (élément)]{algébrique} (ou
+  \defin[entier (élément)]{entier}) sur $k$.  Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
   (cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à
   $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie
-  sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$
+  sur $k$, qu'on appelle le \defin[degré (d'un élément)]{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$
   est intègre (puisque c'est une sous-algèbre d'un corps), et de
   dimension finie, c'est un corps
   (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) : on a donc $k(x) =
@@ -516,7 +523,7 @@ alors $k[t]/(\mu)$ est une $k$-algèbre de dimension finie intègre donc
 (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps
 de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est
 algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$
-est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$
+est appelé \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$
 sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut encore parler de
 corps de rupture quitte à diviser par le coefficient dominant ; en
 revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va de soi que le
@@ -525,11 +532,11 @@ degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x := \bar t$
 de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).
 
 \thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
-\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
+\defin[algébrique (extension)]{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
 sur $k$.  On dit aussi que $K$ est algébrique « au-dessus de » $k$ ou
 « sur » $k$.
 
-Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule
+Un corps $k$ est dit \defin{algébriquement clos} lorsque la seule
 extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
 précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires
 irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.
@@ -540,8 +547,8 @@ algébriquement clos (« théorème de D'Alembert-Gauß »).
 \thingy\label{degree-and-finite-extensions} Si $k\subseteq K$ est une
 extension de corps, on peut considérer $K$ comme un $k$-espace
 vectoriel, et sa dimension (finie ou infinie) est notée $[K:k]$ et
-appelée \textbf{degré} de l'extension.  Une extension de degré fini
-est aussi dite \textbf{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que
+appelée \defin[degré (d'une extension)]{degré} de l'extension.  Une extension de degré fini
+est aussi dite \defin[finie (extension)]{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que
 $K$ est « fini sur $k$ » pour dire que son degré est fini).  Il va de
 soi qu'une sous-extension d'une extension finie est encore finie.
 
@@ -609,10 +616,10 @@ de $k$ engendrée par tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$ est
 tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$
 algébriques sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui
 est manifestement la plus grande extension intermédiaire algébrique
-sur $k$ : on l'appelle la \textbf{fermeture algébrique} de $k$
+sur $k$ : on l'appelle la \defin{fermeture algébrique} de $k$
 dans $K$ (la précision « dans $K$ » est importante).
 
-Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement
+Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \defin{algébriquement
   fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément
 de $K$ est soit transcendant sur $k$ soit élément de $k$ (=algébrique
 de degré $1$).  Un corps algébriquement clos est algébriquement fermé
@@ -643,7 +650,7 @@ plus bas pour une réinterprétation des résultats de cette section.)
 
 \begin{defn}\label{definition-linear-disjointness}
 Si $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux extensions contenues
-dans une même troisième $M$, on dit qu'elles sont \textbf{linéairement
+dans une même troisième $M$, on dit qu'elles sont \defin[linéairement disjointes (extensions)]{linéairement
   disjointes} lorsque toute famille d'éléments de $K$ linéairement
 indépendante sur $k$ est encore linéairement indépendante sur $L$
 quand on la voit comme une famille d'éléments de $M$.  (Il suffit,
@@ -702,7 +709,7 @@ linéairement disjointes.
 
 \thingy\label{definition-compositum} Lorsque $k \subseteq K$ et $k
 \subseteq L$ sont deux extensions contenues dans une même
-troisième $M$, on appelle \textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le
+troisième $M$, on appelle \defin{composé} des corps $K$ et $L$ le
 sous-corps de $M$ engendré par $K$ et $L$, autrement dit $k(K \cup L)
 = K(L) = L(K)$, et on le note $K.L$.
 
@@ -824,7 +831,7 @@ de \ref{base-of-compositum}.
 
 \begin{defn}\label{definition-transcendence-basis}
 Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
-$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
+$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \defin[algébriquement indépendante (famille)]{algébriquement
   indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
   transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in
 k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que
@@ -844,7 +851,7 @@ relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, c'est-à-dire entre
 un nombre fini d'entre eux).
 
 Une famille $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $K$ est appelée
-\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est
+\defin{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est
 algébriquement indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique
 au-dessus de l'extension $k(x_i)_{i\in I}$ de $k$ engendrée par
 les $x_i$.
@@ -869,7 +876,7 @@ finie quelconque d'entre elles.)
 
 \thingy Lorsque les $(x_i)_{i\in I}$ sont algébriquement indépendants,
 on dit aussi que l'extension $k \subseteq k(x_i)_{i\in I}$ est
-\textbf{transcendante pure} : autrement dit, une extension
+\defin[transcendante pure (extension)]{transcendante pure} : autrement dit, une extension
 transcendante pure est un corps de fractions rationnelles en un nombre
 quelconque (peut-être infini, cf. ci-dessus) de variables.
 
@@ -1005,7 +1012,7 @@ est équipotent à l'ensemble de ses parties finies).
 \begin{defn}\label{definition-transcendence-degree}
 Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base
 de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne
-dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de
+dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \defin{degré de
   transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$.
 \end{defn}
 
@@ -1110,7 +1117,7 @@ annoncé.
 
 \begin{defn}
 Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible.  On
-appelle \textbf{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K
+appelle \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K
 \subseteq L$ telle que $\mu$ admette une racine $x$ dans $K$ pour
 laquelle $L = K(x)$.  (Bien sûr, $\mu$ est alors le polynôme minimal
 de $x$ sur $K$.)
@@ -1150,7 +1157,7 @@ est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$.
 
 \begin{defn}\label{definition-decomposition-field}
 Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque.  On appelle
-\textbf{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K
+\index{décomposition (corps de)}\defin{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K
 \subseteq L$ telle que $f$ soit scindé (=complètement décomposé)
 sur $L$, i.e., $f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient
 dominant de $f$, et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et
@@ -1258,7 +1265,7 @@ L'intérêt principal de la proposition qu'on vient de démontrer est de
 montrer l'existence et l'unicité de la clôture algébrique :
 
 \begin{defn}\label{definition-algebraic-closure}
-Soit $K$ un corps.  On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une
+Soit $K$ un corps.  On appelle \defin{clôture algébrique} de $K$ une
 extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$
 soit scindés sur $L$.
 \end{defn}
@@ -1309,7 +1316,7 @@ de façon « canonique » de les identifier).
 
 \subsection{Éléments et extensions algébriques séparables}
 
-\thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est
+\thingy On rappelle que la \defin{caractéristique} d'un corps $k$ est
 le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneaux
 $\mathbb{Z} \to k$ : plus concrètement, c'est le plus petit entier $p$
 tel que $p = 0$ dans $k$ (au sens où $1 + 1 + \cdots + 1 = 0$ avec $p$
@@ -1318,7 +1325,7 @@ c'est soit $0$ soit un nombre premier (positif).
 
 Si $k$ est de caractéristique $p>0$, alors l'application
 $\Frob_p\colon k \to k$ définie par $x \mapsto x^p$, ou
-\textbf{Frobenius} d'exposant $p$, est un morphisme de corps, i.e., on
+\defin{Frobenius} d'exposant $p$, est un morphisme de corps, i.e., on
 a $(x+y)^p = x^p + y^p$ et $(xy)^p = x^p y^p$ ; en particulier, il est
 injectif.  On notera $k^p$ l'image de ce morphisme
 (cf. \ref{definition-perfect-field}), qui est donc un sous-corps
@@ -1330,7 +1337,7 @@ et peut se noter indifféremment $\Frob_{p^e}$ ou $\Frob_p^e$.  Son
 image se note bien sûr $k^{p^e}$.
 
 \thingy Si $k$ est un corps, et $f \in k[t]$ un polynôme en une
-indéterminée sur $k$, on dit que $f$ est \textbf{séparable} lorsque
+indéterminée sur $k$, on dit que $f$ est \defin[séparable (polynôme)]{séparable} lorsque
 $f$ est premier avec sa dérivée $f'$ : ceci revient à dire que les
 racines de $f$ sont simples (=sans multiplicité) dans une extension où
 $f$ est scindé (cf. \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}).
@@ -1410,7 +1417,7 @@ irréductible dans $k^p[t]$ donc que $f$ l'est dans $k[t]$.
 
 \thingy\label{definition-separable-element} Lorsque $k \subseteq K$
 est une extension de corps, un élément $x \in K$ algébrique sur $k$
-est dit \textbf{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal
+est dit \defin[séparable (élément)]{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal
 l'est.  D'après ce qu'on a dit ci-dessus, en caractéristique $0$, tout
 algébrique est séparable ; et en caractéristique $p$, pour tout
 algébrique $x$ il existe un $e$ unique tel que $x^{p^e}$ soit
@@ -1466,7 +1473,7 @@ les choses qui va inspirer l'énoncé et la démonstration
 de \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}.
 
 \thingy\label{definition-separable-algebraic-extension} Une extension
-de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \textbf{séparable} (ou
+de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \defin[séparable (extension)]{séparable} (ou
 que $K$ est séparable sur / au-dessus de $k$) lorsque tout élément
 de $K$ est séparable sur $k$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
 C'est, bien sûr, toujours le cas en caractéristique $0$.
@@ -1598,17 +1605,17 @@ sur $k$ est tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments
 de $K$ algébriques séparables sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble
 est un corps, qui est manifestement la plus grande extension
 intermédiaire algébrique séparable sur $k$ : on l'appelle la
-\textbf{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$.
+\defin[fermeture séparable]{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$.
 
 La fermeture séparable de $k$ dans une clôture algébrique de $k$
-(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \textbf{clôture
+(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \defin{clôture
   séparable} de $k$.  Si $k$ est égal à sa clôture séparable (i.e.,
 séparablement fermé dans une clôture algébrique), on dit que $k$ est
-\textbf{séparablement clos}.
+\defin{séparablement clos}.
 
 \thingy Une extension algébrique $k \subseteq K$ telle que $k$ soit
 égal à sa propre fermeture séparable dans $K$ (i.e. séparablement
-fermé \emph{dans $K$}) est dite \textbf{purement inséparable}.  Dans
+fermé \emph{dans $K$}) est dite \defin{purement inséparable}.  Dans
 ce cas, en notant $p>0$ la caractéristique, le polynôme minimal
 sur $k$ d'un élément quelconque de $K$ est de la forme $t^{p^e} - c$
 pour un $c \in k$ (car si $f$ est le polynôme minimal de $x \in K$ et
@@ -1619,11 +1626,11 @@ réciproquement, si cette condition est vérifiée, l'extension est
 purement inséparable (car un polynôme de la forme $t^{p^e} - c$ n'est
 séparable que pour $e=0$).
 
-\thingy On pourrait définir la notion de \textbf{degré séparable}
+\thingy On pourrait définir la notion de \defin{degré séparable}
 d'une extension algébrique $k \subseteq K$, qui est le degré sur $k$
 de la fermeture séparable $k'$ de $k$ dans $K$, soit
 $[K:k]_{\sep} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}}
-:= [K:k']$ le \textbf{degré inséparable}).  Les degrés séparables (et
+:= [K:k']$ le \defin{degré inséparable}).  Les degrés séparables (et
 les degrés inséparables) se multiplient comme les degrés
 (cf. \ref{remark-multiplicativity-of-degree}) : nous ne ferons pas la
 démonstration, mais le point-clé est que si $k\subseteq K$ est une
@@ -1640,7 +1647,7 @@ ce qui se voit de façon analogue
 \subsection{Corps parfaits, théorème de l'élément primitif}
 
 \begin{defn}\label{definition-perfect-field}
-Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de
+Un corps $k$ est dit \defin[parfait (corps)]{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de
 caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le
 morphisme de Frobenius, $\Frob\colon x\mapsto x^p$, est surjectif $k
 \to k$, i.e. tout élément a une racine $p$-ième (automatiquement
@@ -1820,11 +1827,11 @@ l'élément $x_{d+1}$ est séparable.
 
 \thingy\label{definition-conjugate-elements}
 Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$
-deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \textbf{conjugués} sur $K$
+deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \defin[conjugués (éléments)]{conjugués} sur $K$
 lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur $K$, autrement dit,
 lorsque l'un est racine du polynôme minimal de l'autre (il s'agit
 d'une relation d'équivalence dont les classes sont parfois appelées
-\textbf{classes de conjugaison} au-dessus de $K$).  De façon
+\defin[conjugaison (classe de)]{classes de conjugaison} au-dessus de $K$).  De façon
 équivalente, deux éléments $x,x'$ de $L$ sont conjugués lorsque tout
 polynôme de $K[t]$ qui s'annule sur l'un s'annule aussi sur l'autre.
 
@@ -1846,7 +1853,7 @@ $r\in\{0,1,2\}$ avec $\zeta$ une racine primitive cubique de l'unité
 les $\Frob_p^r(x) = x^{p^r}$ pour $0\leq r \leq d-1$.
 
 \thingy\label{definition-normal-extension} Une extension de corps $K
-\subseteq L$ algébrique est dite \textbf{normale} lorsqu'elle vérifie
+\subseteq L$ algébrique est dite \defin[normale (extension)]{normale} lorsqu'elle vérifie
 les propriétés suivantes dont on peut montrer qu'elles sont
 équivalentes :
 \begin{itemize}
@@ -1874,7 +1881,7 @@ de rupture de $t^3 - 2$, c'est une extension de degré $3$, donc ne
 contenant pas de racine primitive cubique $\zeta$ de l'unité qui est
 algébrique de degré $2$).
 
-(On appelle \textbf{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$
+(On appelle \defin{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$
 dans $L^{\alg}$ le corps de décomposition des polynômes minimaux
 sur $K$ de tous les éléments de $L$, i.e., le sous-corps de $L^{\alg}$
 engendré par tous les conjugués de tous les éléments de $L$, ou encore
@@ -1887,7 +1894,7 @@ $\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[3]{2})$ de décomposition de $t^3 - 2$.)
 \thingy Une extension algébrique $K \subseteq L$ qui soit à la fois
 normale (cf. \ref{definition-normal-extension}) et séparable
 (cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}) est dite
-\textbf{galoisienne}.
+\defin[galoisienne (extension)]{galoisienne}.
 
 À titre d'exemple, une clôture séparable $K \subseteq K^{\sep}$ de $K$
 fournit une extension galoisienne (elle est séparable par définition,
@@ -1897,14 +1904,14 @@ si $K$ est parfait, la clôture séparable coïncide avec la clôture
 algébrique.
 
 \thingy Si $K \subseteq L$ est une extension galoisienne, on appelle
-\textbf{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq
+\defin[Galois (groupe de)]{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq
 L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$, ou
 $K$-automorphismes de $L$, c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes
 de $K$-algèbres $L \to L$ (automorphismes de $L$ = isomorphismes de
 $L$ sur lui-même), c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes
 de $L$ qui soient l'identité sur $K$.  Lorsque $L$ est la clôture
 séparable de $K$, on dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de
-Galois \textbf{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois
+Galois \defin[absolu (groupe de Galois)]{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois
 $\Gamma_K$.
 
 Les deux exemples suivant sont essentiels : le groupe de Galois de
@@ -2114,7 +2121,7 @@ degré $n!$).
 Soit $G$ un groupe ou même simplement un monoïde (=ensemble muni d'une
 opération binaire associative avec un élément unité), noté
 multiplicativement, et $L$ un corps.  Soient $\chi_1,\ldots,\chi_n$
-des \textbf{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes
+des \defin[caractère]{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes
 $G \to L^\times$ (autrement dit, des applications $\chi\colon G\to
 L^\times$ telles que $\chi(1) = 1$ et $\chi(g_1 g_2) =
 \chi(g_1)\,\chi(g_2)$).  On suppose que les $\chi_1,\ldots,\chi_n$
@@ -2149,7 +2156,7 @@ contredisant la minimalité de $n$.
 
 \subsection{Anneaux noethériens}
 
-\thingy Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{de type fini} (en
+\thingy Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit \defin[type fini (idéal)]{de type fini} (en
 tant qu'\emph{idéal}) lorsqu'il est engendré (en tant qu'idéal !,
 c'est-à-dire en tant que sous-module de $A$) par un nombre fini
 d'éléments, autrement dit, $I = (x_1,\ldots,x_n) := \{\sum_{i=1}^n a_i
@@ -2166,7 +2173,7 @@ comme combinaison $A$-linéaire des $y_i$ ne fait intervenir qu'un
 nombre fini de ceux-ci, donc un nombre fini des $y_i$ suffit à
 exprimer tous les $x_j$ donc tous les éléments de $I$.
 
-\thingy Un anneau $A$ est dit \textbf{noethérien} lorsque tout idéal
+\thingy Un anneau $A$ est dit \defin[noethérien (anneau)]{noethérien} lorsque tout idéal
 $I$ de $A$ est de type fini.
 
 Remarquons qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est
@@ -2439,7 +2446,7 @@ $p_1 h_1 + \cdots + p_m h_m = g^\ell$, ce qu'on voulait montrer.
 
 \thingy\label{radical-ideals}
 Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit
-\textbf{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit
+\defin[radical (idéal)]{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit
 (cf. \ref{nilpotent-element-and-reduced-ring}), c'est-à-dire que si
 $x^n \in \mathfrak{r}$ implique $x \in \mathfrak{r}$ (pour $x\in A$ et
 $n \in \mathbb{N}$).
@@ -2481,13 +2488,13 @@ l'idéal $I$, on a $Z(\surd I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en un
 point alors $f$ s'annule aussi) ; on peut donc se contenter de
 considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal radical.
 
-\thingy On appellera \textbf{fermé de Zariski} (défini sur $k$)
+\thingy On appellera \index{Zariski (fermé de)}\defin{fermé de Zariski} (défini sur $k$)
 dans $(k^{\alg})^d$ une partie $E$ de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour
 une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu
 qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical.
 
 Un fermé de Zariski de la forme $Z(f)$ s'appelle une
-\textbf{hypersurface}.
+\defin{hypersurface}.
 
 Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble
 $(k^{\alg})^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) =
@@ -2655,7 +2662,7 @@ sur $\mathbb{C}$).
 
 Lorsqu'on a besoin de désigner les éléments de $Z(I) \cap k^d$,
 c'est-à-dire les solutions dans $k^d$, on dira que ce sont les
-\textbf{points rationnels} du fermé de Zariski $Z(I)$ : cette
+\defin[rationnel (point)]{points rationnels} du fermé de Zariski $Z(I)$ : cette
 terminologie vient de la situation $k=\mathbb{Q}$ et a été étendue à
 n'importe quel corps.  (À titre d'exemple, $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$
 est un point rationnel du « cercle » $Z(x^2+y^2-1)$ sur $\mathbb{Q}$,
@@ -2669,7 +2676,7 @@ fixés par le groupe de Galois absolu, i.e., par tous les
 automorphismes de $k^{\alg}$ au-dessus de $k$.
 
 Par opposition à « point rationnel », un élément de $Z(I)$ peut
-s'appeler un \textbf{point géométrique} : de façon générale, le terme
+s'appeler un \defin[géométrique (point)]{point géométrique} : de façon générale, le terme
 « géométrique » a souvent la signification « défini sur la clôture
   algébrique ».
 
@@ -2691,14 +2698,14 @@ $\mathfrak{I}(Z(I))$ par définition.  Il s'ensuit que son image,
 c'est-à-dire les restrictions à $Z(I)$ des polynômes dans
 $k[t_1,\ldots,t_d]$, s'identifie à
 $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{I}(Z(I))$, c'est-à-dire
-$k[t_1,\ldots,t_d]/I$.  Cet anneau quotient s'appelle l'\textbf{anneau
+$k[t_1,\ldots,t_d]/I$.  Cet anneau quotient s'appelle l'\defin[régulières (fonctions)]{anneau
   des fonctions régulières} du fermé de Zariski $Z(I)$ (une fonction
 régulière est donc simplement la restriction d'un polynôme).
 
 \bigbreak
 
 \thingy\label{definition-irreducible-closed-set}
-On dit qu'un fermé de Zariski $Z(I)$ est \textbf{irréductible}
+On dit qu'un fermé de Zariski $Z(I)$ est \defin{irréductible}
 lorsqu'il ne peut pas s'écrire comme réunion de deux fermés de Zariski
 différents de lui, i.e., si $Z(I) = Z(I_1) \cup Z(I_2)$ alors $Z(I_1)
 = Z(I)$ ou bien $Z(I_2) = Z(I)$.
@@ -2756,8 +2763,8 @@ qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_n]$ peut être irréductible mais
 cesser de l'être quand on le considère à coefficients dans un corps
 plus gros (notamment, tout polynôme de degré $>1$ en $n=1$ variable se
 factorise dans $k^{\alg}$).  Lorsque ceci \emph{ne} se produit
-\emph{pas}, on dit que le polynôme est \textbf{géométriquement
-  irréductible} ou \textbf{absolument irréductible}.  Plus
+\emph{pas}, on dit que le polynôme est \defin{géométriquement
+  irréductible} ou \defin{absolument irréductible}.  Plus
 précisément :
 
 \begin{itemize}
@@ -2821,7 +2828,7 @@ vectoriels isomorphes, mais il y a un \emph{unique} isomorphisme entre
 eux qui soit compatible avec les applications $\iota_1\colon V\to
 V'_1$ et $\iota_2\colon V\to V'_2$ construites en même temps.
 
-Cet espace $V'$ s'appelle l'\textbf{extension des scalaires} de $V$ de
+Cet espace $V'$ s'appelle l'\defin{extension des scalaires} de $V$ de
 $k$ à $k'$ et se note $V \otimes_k k'$.  Sa dimension sur $k'$ est,
 par contruction, égale à la dimension de $V$ sur $k$.  On notera
 $x\otimes 1$ l'élément $\iota(x)$ défini ci-dessus (dont les
@@ -2860,7 +2867,7 @@ trois espaces vectoriels ou plus.
 
 \thingy Signalons au passage, sans plus développer, que l'extension
 des scalaires qu'on a définie ci-dessus fait partie d'une construction
-plus générale appelée \textbf{produit tensoriel}.  Le produit
+plus générale appelée \index{tensoriel (produit)}\defin{produit tensoriel}.  Le produit
 tensoriel de deux espaces vectoriels $V$ et $W$ sur un corps $k$ est
 l'espace vectoriel $V\otimes_k W$ dont une base est le produit d'une
 base de $V$ et d'une base de $W$ (dans le cas qu'on a considéré, une
@@ -3015,11 +3022,11 @@ polynôme en $y$.)
 \subsection{Définition et premiers exemples}
 
 \thingy\label{definition-function-field}
-Soit $k$ un corps.  On appelle \textbf{corps de fonctions de
+Soit $k$ un corps.  On appelle \defin[fonctions (corps de)]{corps de fonctions de
   dimension $n$} sur $k$ une extension de corps de $k$ qui soit de
 type fini (cf. \ref{subfield-generated}) et de degré de
 transcendance $n$ sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-degree}).
-Notamment, pour $n=1$, on parle de \textbf{corps de fonctions de
+Notamment, pour $n=1$, on parle de \defin[courbe (corps de fonctions)]{corps de fonctions de
   courbe} sur $k$.
 
 Par abus de langage, on dira parfois simplement que $K$ est une
@@ -3051,7 +3058,7 @@ d'être donnée.
 \thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des
 fractions rationnelles en une indéterminée $t$ (l'extension
 \emph{transcendante pure} de degré de transcendance $1$) : on
-l'appelle \textbf{droite projective} (ou simplement « droite »)
+l'appelle \defin{droite projective} (ou simplement « droite »)
 sur $k$ et on peut la noter $\mathbb{P}^1_k$ ou simplement
 $\mathbb{P}^1$ (ainsi, $k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$).
 
@@ -3193,7 +3200,7 @@ vers $B$ qui annule l'image de $P$), et en vérifiant que $t \mapsto
 \frac{y}{x+1}$ est sa réciproque, on voit que c'est un isomorphisme.
 
 Toute cette situation se résume en disant que le cercle $C =
-\{x^2+y^2=1\}$ est une courbe \textbf{rationnelle} (sur le corps $k$
+\{x^2+y^2=1\}$ est une courbe \defin[rationnelle (courbe)]{rationnelle} (sur le corps $k$
 quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement
 paramétrée.  Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait
 qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et
@@ -3240,7 +3247,7 @@ une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point
 données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}.
 On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du
 fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est
-\textbf{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent
+\defin[singulier (point)]{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent
 simultanément.
 \begin{itemize}
 \item La courbe d'équation $y^2 = x^3 + x^2$ sur un corps de
@@ -3248,7 +3255,7 @@ simultanément.
   irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$
   en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc
   facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale
-  $x=c$.)  Cette courbe porte le nom standard de « \textbf{cubique nodale} »,
+  $x=c$.)  Cette courbe porte le nom standard de « \defin{cubique nodale} »,
   et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ».
   (Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$
   avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que
@@ -3309,7 +3316,7 @@ simultanément.
 \end{center}
 \bigskip
 \item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible).  Cette
-  courbe porte le nom de « \textbf{cubique cuspidale} » parce que le
+  courbe porte le nom de « \defin{cubique cuspidale} » parce que le
   point $(0,0)$ est un « cusp » ou point de rebroussement.  Le même
   procédé de paramétrage que ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$
   (par ailleurs trouvable directement).  Cette fois-ci, il y a bien
@@ -3419,9 +3426,9 @@ courbes du tout : si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal
 premier quelconque, alors $X := Z(I)$ est un fermé de Zariski
 irréductible, et le corps des fractions de l'anneau intègre
 $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ des fonctions régulières sur $X$ mérite de
-s'appeler \textbf{corps des fonctions rationnelles} de $X$, qu'on peut
+s'appeler \defin[rationnelle (fonction)]{corps des fonctions rationnelles} de $X$, qu'on peut
 noter $k(X)$.  Le degré de transcendance $\degtrans_k k(X)$ sera
-appelé \textbf{dimension} de $X$, mais nous ne considérerons vraiment
+appelé \defin{dimension} de $X$, mais nous ne considérerons vraiment
 que le cas des courbes, c'est-à-dire, de la dimension $1$ : celui-ci a
 de particulier qu'on pourra alors voir un élément de $k(X)$ comme une
 vraie fonction de $X$ vers $\mathbb{P}^1$, quitte à lui la
@@ -3469,6 +3476,12 @@ non-singulières).
 % * Différentielles.
 % * Valuations.  Clôture intégrale ?
 
+%
+%
+%
+
+\printindex
+
 
 %
 %
-- 
cgit v1.2.3

