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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 24 Mar 2016 14:38:21 +0100
Subject: Valuation ring versus valuation function.

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 notes-accq205.tex | 74 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------
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@@ -3470,13 +3470,15 @@ non-singulières).
 \subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields}
 
 \begin{defn}
-Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.  On appelle
-\index{valuation (anneau de)}\defin{anneau de valuation} de $K$
-au-dessus de $k$ un sous-anneau $R$ de $K$ contenant $k$ et vérifiant
-la propriété suivante :
+Soit $K$ un corps.  On appelle \index{valuation (anneau
+  de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$
+vérifiant la propriété suivante :
 \begin{center}
 pour tout $x \in K$, on a soit $x \in R$ soit $x^{-1} \in R$.
 \end{center}
+Lorsque $k$ est un sous-corps de $K$ contenu dans $R$, on peut dire
+que $R$ est un anneau de valuation \textbf{au-dessus} de $k$.
+
 Lorsque de plus $R \neq K$, on dit qu'il s'agit d'un anneau de
 valuation \emph{non-trivial}.
 \end{defn}
@@ -3506,10 +3508,11 @@ On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ :
 cette définition a bien un sens comme on le vérifie facilement, et
 fait de l'ensemble des valuations (non compté le symbole
 spécial $\infty$) un \emph{groupe}, appelé \textbf{groupe des
-  valuations} de $R$ (ou de $K$ pour $R$), qui n'est autre que le
-groupe quotient $K^\times/R^\times$.  Avec l'ordre qu'on a mis
-ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe ordonné}, c'est-à-dire que si
-$u \geq v$ alors $u+w \geq v+w$ quel que soit $w$.
+  valuations} (ou \textbf{des valeurs}) de $R$ (ou de $K$ pour $R$),
+qui n'est autre que le groupe quotient $\Gamma := K^\times/R^\times$.
+Avec l'ordre qu'on a mis ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe
+  ordonné}, c'est-à-dire que si $u \geq v$ alors $u+w \geq v+w$ quel
+que soit $w$.
 
 Lorsque le groupe des valuations est $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire qu'il
 est engendré par un unique élément (on peut alors choisir un
@@ -3517,6 +3520,61 @@ générateur strictement positif, qui est forcément le plus petit
 élément strictement positif, et qu'on peut noter $1$), on dira que $R$
 est un anneau de valuation \defin[discrète (valuation)]{discrète}.
 
+\begin{prop}\label{valuation-ring-versus-valuation-function}
+Si $R$ est un anneau de valuation de $K$ et $v\colon K \to \Gamma \cup
+\{\infty\}$ la valuation associée, on a les propriétés suivantes :
+\begin{itemize}
+\item[(o)]$v(x)=\infty$ si et seulement si $x=0$,
+\item[(i)]$v(xy) = v(x)+v(y)$,
+\item[(ii)]$v(x+y) \geq \min(v(x),v(y))$,
+\end{itemize}
+et de plus, dans (ii), il y a égalité si $v(x)\neq v(y)$.  L'anneau
+$R$ peut se retrouver à partir de la valuation comme $\{x\in K : v(x)
+\geq 0\}$.  Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe totalement
+ordonné et $v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction
+surjective vérifiant (o), (i) et (ii), alors $R := \{x\in K : v(x)
+\geq 0\}$ est un anneau de valuation qui a $v$ pour valuation
+associée.
+
+En particulier, on peut définir un anneau de valuation discrète comme
+un anneau $R$ muni d'une fonction $v\colon K \to \mathbb{Z} \cup
+\{\infty\}$ qui vérifie (o), (i) et (ii) et qui atteint la valeur $1$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si $v$ est la valuation associée à un anneau de valuation $R$, alors
+l'affirmation (o) est la définition du symbole $\infty$, et
+l'affirmation (i) est la définition de l'addition dans $\Gamma$ ; pour
+montrer (ii), on peut supposer (puisque $\Gamma$ est totalement
+ordonné) que $v(x) \geq v(y)$, c'est-à-dire $x = yz$ avec $z \in R$,
+auquel cas on a $x+y = y(1+z)$ avec $1+z \in R$, ce qui montre bien
+$v(x+y) \geq v(y)$.
+
+Pour déduire $v(x+y) = \min(v(x),v(y))$ de (ii) dans le cas où $v(x)
+\neq v(y)$, on peut supposer $v(x) > v(y)$, et donc $v(x+y) \geq
+v(y)$ ; mais par ailleurs, $y = (x+y) - x$ (et bien sûr $v(-1) = 0$ vu
+que $(-1)^2 = 1$) si bien que $v(y) \geq \min(v(x+y),v(x))$, or on a
+$v(x) > v(y)$ donc en fait $v(x+y) = v(y)$, ce qu'on voulait.
+
+Le fait que $R = \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ est la définition de
+l'ordre (et le fait que $0 = v(1)$).
+
+Enfin, si $v$ vérifie (o), (i) et (ii) et $R := \{x\in K : v(x) \geq
+0\}$, alors $R$ est un sous-anneau de $K$ car il contient $0$
+d'après (o), est stable par addition d'après (ii) et par
+multiplication d'après (i) ; et c'est un anneau de valuation car si
+$x\not\in R$ c'est que $v(x) < 0$ donc $v(x^{-1}) = -v(x) > 0$ (en
+utilisant (i)), donc $x^{-1} \in R$.  Et la valuation associée à $R$
+est bien $v$ car $x = yz$ pour $z \in R$ entraîne $v(x) \geq v(y)$
+par (i), et notamment $v(x) = v(y)$ si et seulement si $x = yz$ pour
+un certain $z \in R^\times$ : alors $v \colon K^\times \to \Gamma$
+définit un isomorphisme de groupes ordonnés de $K^\times/R^\times$
+sur $\Gamma$.
+
+Pour ce qui est de l'affirmation du dernier paragraphe, constater que
+$v\colon K^\times \to \mathbb{Z}$ est surjective si et seulement si
+elle atteint la valeur $1$.
+\end{proof}
+
 
 
 
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