From 2a3985128157eab35a1e04b9fff3ddc2b9d7f88d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 31 Mar 2016 15:19:28 +0200
Subject: Additional statement in the key lemma, on the degree of the residue
 field.

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 notes-accq205.tex | 47 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------
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@@ -3609,16 +3609,20 @@ inversible, c'est le plus grand idéal strict (=différent de l'idéal
 unité) pour l'inclusion, c'est donc bien le seul idéal maximal.
 \end{proof}
 
-\thingy Le corps quotient de $R$ par son idéal maximal $\mathfrak{m}$
-s'appelle le \defin{corps résiduel} d'un anneau local, ou en
-particulier, d'un anneau de valuation avec $\mathfrak{m} := \{x\in R :
-v(x)>0\}$ comme on vient de l'expliquer.  Lorsque $v$ est une
-valuation sur un corps $K$, on peut bien sûr parler de son corps
-résiduel, défini comme le quotient de l'anneau de valuation $R :=
-\{x\in K : v(x) \geq 0\}$ par l'unique idéal maximal de ce dernier.
+\thingy Le corps quotient d'un anneau local $R$ par son idéal maximal
+$\mathfrak{m}$ s'appelle le \index{résiduel (corps)}\defin{corps
+  résiduel} de $R$ ; en particulier, ceci s'applique à un anneau de
+valuation avec $\mathfrak{m} := \{x\in R : v(x)>0\}$ comme on vient de
+l'expliquer.  Lorsque $v$ est une valuation sur un corps $K$, on peut
+bien sûr parler de son corps résiduel, défini comme le quotient de
+l'anneau de valuation $R := \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ par l'unique
+idéal maximal de ce dernier.
 
 On note parfois $\mathcal{O}_v$ pour l'anneau de valuation d'une
-valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal.
+valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal, et enfin
+$\varkappa_v$ pour son corps résiduel $\mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$.
+On remarquera que si la place $v$ est au-dessus de $k$, alors
+$\varkappa_v$ est une extension de $k$.
 
 Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de
 fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle
@@ -3642,6 +3646,11 @@ sur $k$ et le corps $K$ est \emph{fini} sur $k(x)$.
 v(x_n) < \infty$, alors $x_1,\ldots,x_n$ sont linéairement
 indépendants sur $k(x_n)$, et en particulier le degré $[K : k(x_n)]$
 (lequel est fini d'après (A)) est supérieur ou égal à $n$.
+
+(C) Si $x$ vérifie $0 < v(x) < \infty$, alors $[\varkappa_v : k] \leq
+[K : k(x)]$ (en particulier, il est fini d'après (A)), où $\varkappa_v
+:= \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ est le corps résiduel de la
+place $v$.
 \end{lem}
 \begin{proof}
 Pour ce qui est de (A), commençons par supposer $v(x) < 0$ et
@@ -3662,8 +3671,8 @@ fini, elle est \emph{finie}
 (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1)).  Ceci démontre (A).
 
 Passons à l'affirmation (B) : supposons qu'on ait $f_1 x_1 + \cdots +
-f_n x_n$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls.  Posons $x := x_n$.  On
-a vu ci-dessus que $x$ était transcendant sur $k$, c'est-à-dire que
+f_n x_n = 0$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls.  Posons $x := x_n$.
+On a vu ci-dessus que $x$ était transcendant sur $k$, c'est-à-dire que
 les $f_i$ sont des fractions rationnelles en $x$.  Quitte à chasser
 les dénominateurs, on peut supposer $f_i \in k[x]$ et que $x$ ne les
 divise pas tous.  Soit $c_i = f_i(0)$ le terme constant de $f_i$ (non
@@ -3674,6 +3683,24 @@ la valuation $v(c_j x_j) = v(x_j)$ est strictement plus petite que
 celle de n'importe quel autre terme dans cette somme (puisque $v(g_i)
 \geq 0$ et $v(x x_i) = v(x_n) + v(x_i) > v(x_n) \geq v(x_j)$), ce qui
 interdit que la somme puisse être nulle.  Ceci démontre (B).
+
+Pour ce qui est de (C) : considérons des éléments $b_1,\ldots,b_n$ de
+$\varkappa_v$ qui sont linéairement indépendants sur $k$, et soient
+$y_i \in \mathcal{O}_v$ qui représente la classe $b_i \in \varkappa_v
+= \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ : on aura montré (C) si on montre que
+$y_1,\ldots,y_n$ sont linéairement indépendants sur $k(x)$.  Supposons
+qu'on ait $f_1 y_1 + \cdots + f_n y_n = 0$ avec $f_i \in k(x)$ non
+tous nuls.  On a vu en (A) que $x$ était transcendant sur $k$,
+c'est-à-dire que les $f_i$ sont des fractions rationnelles en $x$.
+Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer $f_i \in k[x]$ et
+que $x$ ne les divise pas tous.  Soit $c_i = f_i(0) \in k$ le terme
+constant de $f_i$ (non tous nuls, donc), mettons $f_i = c_i + x g_i$
+où $g_i \in k[x]$.  On a $c_1 y_1 + \cdots + c_n y_n + g_1 x y_1 +
+\cdots + g_n x y_n =0$.  Tous les termes de cette somme sont dans
+$\mathcal{O}_v$ : en réduisant modulo $\mathfrak{m}_v$, les $g_i x
+y_i$ disparaissent car $x \in \mathfrak{m}_v$ par hypothèse, et les
+$y_i$ se réduisent en $b_i$.  On a donc $c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n =
+0$, une contradiction.  Ceci démontre (C).
 \end{proof}
 
 \begin{prop}
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cgit v1.2.3

