From 2c0640d02862785c3cb784276c9af3508fbe5541 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 12 Feb 2016 15:39:59 +0100
Subject: Rupture field, decomposition field, algebraic closure.

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@@ -385,13 +385,13 @@ suivants se produit :
 On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les
 algébriques de degré $1$ sur $k$.
 
-\thingy La dichotomie décrite ci-dessus admet une sorte de
-réciproque : d'une part, si $t$ est une indéterminée, alors dans
-$k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien
-transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non
-constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un
-polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une
-$k$-algèbre de dimension finie intègre donc
+\thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy-bis} La dichotomie
+décrite ci-dessus admet une sorte de réciproque : d'une part, si $t$
+est une indéterminée, alors dans $k(t)$ (le corps des fractions
+rationnelles) l'élément $t$ est bien transcendant sur $k$ (en fait,
+toute fraction rationnelle non constante est transcendante sur $k$) ;
+d'autre part, si $\mu$ est un polynôme unitaire irréductible sur $k$,
+alors $k[t]/(\mu)$ est une $k$-algèbre de dimension finie intègre donc
 (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps
 de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est
 algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$
@@ -706,6 +706,108 @@ algébrique sur $k(x_i,y_j)$
 (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)).
 \end{proof}
 
+
+\subsection{Corps de rupture, corps de décomposition, clôture algébrique}
+
+\begin{defn}
+Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible.  On
+appelle \textbf{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K
+\subseteq L$ telle que $\mu$ admette une racine $x$ dans $K$ pour
+laquelle $L = K(x)$.  (Bien sûr, $\mu$ est alors le polynôme minimal
+de $x$ sur $K$.)
+\end{defn}
+
+On a déjà introduit le terme « corps de rupture »
+en \ref{monogeneous-extensions-dichotomy-bis}, mais il s'agit bien de
+la même notion, plus précisément :
+\begin{prop}\label{existence-uniqueness-rupture-field}
+Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible.  Alors :
+(1) il existe un corps de rupture de $\mu$ sur $K$, à savoir
+$K[t]/(\mu)$.  (2) Si $K \subseteq L$ est un corps de rupture de $\mu$
+sur $K$ avec $L = K(x)$, et si $K \subseteq L'$ est une extension dans
+laquelle $\mu$ a une racine $x'$, alors il existe un unique morphisme
+de corps\footnote{On rappelle qu'un morphisme de corps est
+  automatiquement injectif.} $L \to L'$ qui soit l'identité sur $K$ et
+envoie $x$ sur $x'$.  (3) Si en outre $K \subseteq L'$ est aussi un
+corps de rupture de $\mu$ sur $K$, le morphisme en question est un
+isomorphisme ; autrement dit : si $K \subseteq L$ et $K \subseteq L'$
+sont deux corps de rupture de $\mu$ sur $K$ avec $L = K(x)$ et $L' =
+K(x')$, il existe un unique morphisme $L \to L'$ qui soit l'identité
+sur $K$ et envoie $x$ sur $x'$, et c'est un isomorphisme ; notamment,
+deux corps de rupture de $\mu$ sur $K$ sont isomorphes.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+L'affirmation (1) a déjà été démontrée
+en \ref{monogeneous-extensions-dichotomy-bis}, en appelant $x$ la
+classe de $t$ dans $K[t]/(\mu)$.  Pour ce qui est de (2), il suffit de
+le prouver pour $L = K[t]/(\mu)$, or le morphisme $L \to L'$ recherché
+doit provenir d'un morphisme $K[t] \to L'$ envoyant $t$ sur $x'$, ce
+morphisme existe bien et est unique (il s'agit de l'évaluation
+en $x'$), et il passe au quotient de façon unique (puisque $x'$ a pour
+polynôme minimal $\mu$ sur $K$).  Enfin, pour ce qui est de (3), le
+morphisme est un isomorphisme (i.e., est surjectif) puisque son image
+est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$.
+\end{proof}
+
+\begin{defn}
+Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque.  On appelle
+\textbf{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K
+\subseteq L$ telle que $f$ soit complètement décomposé sur $L$, i.e.,
+$f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient dominant de $f$,
+et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et que $L =
+K(x_1,\ldots,x_n)$.
+\end{defn}
+
+\begin{prop}
+Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme.  Alors : (1) Il existe
+un corps de décomposition de $f$ sur $K$.  (2) Si $K \subseteq L$ est
+un corps de décomposition de $f$ sur $K$, et si $K \subseteq L'$ est
+une extension dans laquelle $f$ est complètement décomposé, il existe
+un morphisme de corps $L \to L'$ qui soit l'identité sur $K$ ; de
+plus, (2b) dans les conditions, si $f$ est irréductible, et si $x$ et
+$x'$ sont une racine de $f$ dans $L$ et $L'$ respectivement, on peut
+de plus choisir l'isomorphisme pour envoyer $x$ sur $x'$.  (3) Si en
+outre $K \subseteq L'$ est aussi un corps de décomposition de $f$
+sur $K$, tout morphisme comme en (2) est un isomorphisme ; autrement
+dit : si $K \subseteq L$ et $K \subseteq L'$ sont deux corps de
+décomposition de $f$ sur $K$, il existe un morphisme $L \to L'$ qui
+soit l'identité sur $K$, et un tel morphisme est un isomorphisme ;
+notamment, deux corps de décomposition de $f$ sur $K$ sont isomorphes.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Pour montrer (1), (2) et (2b), on procède par récurrence sur le degré
+de $f$.  Si $\deg f = 1$, toutes les affirmations sont triviales
+($K$ lui-même est un corps de décomposition de $f$ sur $K$, et c'est
+le seul).  Sinon, soit $f_1$ un facteur irréductible de $f$ sur $K$
+(qui est $f$ lui-même si $f$ est irréductible) et soit $E$ le corps de
+rupture de $f_1$, dans lequel $f_1$ admet une racine, disons $x_1$, et
+si on cherche à prouver (2b) on prendra $x_1 = x$ : comme $x_1$ est
+racine de $f$ dans $E$, on peut écrire $f = (t-x_1) f_2$ dans $E[t]$,
+avec $\deg f_2 < \deg f =: n$, ce qui permet par récurrence
+d'appliquer les conclusions à $f_2$.
+
+Pour montrer (1), on utilise l'hypothèse de récurrence pour construire
+un corps de décomposition $L$ de $f_2$ sur $E$ : disons $L =
+E(x_2,\ldots,x_n)$ avec $x_2,\ldots,x_n$ les racines de $f_2$, et il
+est clair que $f$ est complètement décomposé sur $L$ et on a $L =
+K(x_1,\ldots,x_n)$, donc $L$ est un corps de décomposition de $f$
+sur $K$.  Pour montrer (2) et (2b), soit $x'$ une racine de $f$
+dans $L'$ : d'après \ref{existence-uniqueness-rupture-field}(2), il
+existe un unique plongement de $E$ dans $L'$ envoyant $x_1$ sur $x'$ :
+quitte à identifier $E$ à son image, on peut considérer qu'il s'agit
+de l'identité ; comme $L$ est un corps de décomposition de $f_2$
+sur $E$, par l'hypothèse de récurrence, il existe un morphisme $L \to
+L'$ qui soit l'identité sur $E$, donc sur $K$, ce qui prouve (2), et
+ce morphisme envoie $x_1$ sur $x'$ (on les a identifiés), ce qui
+prouve aussi (2b).
+
+Enfin, pour ce qui est de (3), le morphisme est un isomorphisme (i.e.,
+est surjectif) puisque son image est un corps contenant $K$ et toutes
+les racines $x'_1,\ldots,x'_n$ de $f$ dans $L'$, or on a $L =
+K(x'_1,\ldots,x'_n)$.
+\end{proof}
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