From 2c69ae81eb8d5c349358f87505593b08ed237609 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 2 Apr 2016 17:34:03 +0200
Subject: More about valuations, more examples, and discuss closed points
 w.r.t. rational/geometric points.

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@@ -2669,7 +2669,7 @@ les ensembles qu'on a dit, et on a observé qu'elles sont
 décroissantes.
 \end{proof}
 
-\thingy\label{rational-points-of-zariski-closed-sets} On aurait pu
+\thingy\label{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets} (1) On aurait pu
 être tenté d'associer dès le départ à $\mathscr{F}$ l'ensemble
 $Z(\mathscr{F}) \cap k^d$ des zéros dans $k^d$, plutôt que
 $(k^{\alg})^d$, des éléments de $\mathscr{F}$ : le problème avec ce
@@ -2698,10 +2698,35 @@ on peut dire que les points rationnels de $Z(I)$ sont ceux qui sont
 fixés par le groupe de Galois absolu, i.e., par tous les
 automorphismes de $k^{\alg}$ au-dessus de $k$.
 
-Par opposition à « point rationnel », un élément de $Z(I)$ peut
-s'appeler un \defin[géométrique (point)]{point géométrique} : de façon générale, le terme
-« géométrique » a souvent la signification « défini sur la clôture
-  algébrique ».
+(2) Par opposition à « point rationnel », un élément de $Z(I)$ peut
+s'appeler un \defin[géométrique (point)]{point géométrique} : de façon
+générale, le terme « géométrique » a souvent la signification « défini
+  sur la clôture algébrique ».  Les points géométriques (=solutions
+d'équations polynomiales \emph{dans la clôture algébrique}) sont donc
+ceux avec lesquels nous avons travaillé tout du long de cette section.
+
+(3) On parle aussi de \defin[fermé (point)]{point fermé} pour désigner
+les $Z(\mathfrak{m})$ avec $\mathfrak{m}$ un idéal \emph{maximal} de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ contenant $I$ (si $I\neq(1)$, il y en a toujours
+d'après \ref{existence-maximal-ideals}) : on a vu
+en \ref{maximal-ideals-of-polynomial-rings} que si $k$ est
+algébriquement clos, les points maximaux coïncident avec les
+[singletons des] points géométriques=rationnels ; mais en général, ce
+ne sont pas toujours des singletons (par exemple, en une seule
+variable $t$, le fermé de Zariski $Z(t^2+1)$ sur $\mathbb{R}$ est un
+point fermé qui contient deux points géométriques, $\pm\sqrt{-1}$).
+La terminologie « point fermé » vient de ce que ce sont des
+\emph{fermés} de Zariski définis sur $k$ qui soient aussi petits que
+possible.
+
+Les points rationnels sont des points fermés particuliers (sur un
+corps algébriquement clos, ce sont les seuls, comme on vient de le
+rappeler), et chaque point géométrique $x$ appartient à un unique
+point fermé (considérer $Z(\mathfrak{I}(x))$
+dans \ref{zeros-and-ideals-bijections}), et on peut vérifier que si
+$k$ est parfait, les points fermés sont exactement les \emph{orbites}
+sous le groupe de Galois absolu (comparer
+avec \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations}).
 
 \thingy\label{regular-functions-on-a-zariski-closed-set} Si $I$ est un
 idéal radical de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si bien que $\mathfrak{I}(Z(I)) =
@@ -3316,10 +3341,10 @@ degré $2$ qui ne se factorise pas même sur la clôture algébrique
 (géométriquement, ceci signifie que la conique ne sera pas réunion de
 deux droites, même sur la clôture algébrique), \emph{à condition
   d'avoir un point rationnel}
-(cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le
-rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente
-variable.  L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas
-anecdotique.
+(cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}(1)) qui
+puisse jouer le rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites
+de pente variable.  L'exemple qui suit montre que cette hypothèse
+n'est pas anecdotique.
 
 \thingy Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un
 corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas somme
@@ -3570,13 +3595,6 @@ non-singulières).
 
 \subsection{Valuations et places}\label{subsection-places-of-function-fields}
 
-Pour comprendre cette section et surtout
-la \ref{subsection-places-of-curves} qui va suivre, on gardera
-l'exemple \ref{function-field-of-the-line} en tête (les $v_h$ ou
-$v_\xi$ introduits à cet endroit sont des exemples de valuations de
-$k(t)$ au-dessus de $k$ comme on va les définir ci-dessous, on verra
-même que ce sont les seules non-triviales).
-
 \begin{defn}\label{definition-valuation-ring}
 Soit $K$ un corps.  On appelle \index{valuation (anneau
   de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$
@@ -3697,6 +3715,56 @@ et $\infty$.  Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps
 de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive
 sur $k$, ce qui revient au même).
 
+\thingy Si $A$ est un anneau et $v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$
+(où $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné) une fonction vérifiant
+(o), (i) et (ii) de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function},
+alors $A$ est intègre (à cause de (i)), et il est facile de vérifier
+que $v$ se prolonge de façon unique en une valuation sur son corps des
+fractions $K$ en posant $v(x/y) = v(x)-v(y)$ (ce qui est manifestement
+nécessaire et bien défini).  Cette observation peut simplifier la
+recherche ou l'étude des valuations sur un corps défini comme corps
+des fractions.  Le plus souvent, dans la situation qu'on vient de
+décrire, on considère $v$ positive sur $A$, et alors $A \subseteq R_v$
+en notant $R_v$ l'anneau de valuation.
+
+\thingy Les exemples les plus importants de valuations sont celles
+introduites en \ref{function-field-of-the-line} ci-dessus (les $v_h$
+ou $v_\xi$ introduits à cet endroit sont des exemples de valuations de
+$k(t)$ au-dessus de $k$, et
+en \ref{subsection-places-of-the-projective-line} on verra même que ce
+sont presque les seules non-triviales ; ce sont par ailleurs des
+valuations \emph{discrètes}).
+
+Un autre exemple très semblable (important pour l'arithmétique,
+quoique moins pour la géométrie) est donné par les valuations
+$p$-adiques sur les rationnels : si $\frac{a}{b}$ est un rationnel et
+$p$ un nombre premier, on peut définir $v_p(\frac{a}{b})$ comme
+l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $a$ moins
+l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $b$.  On peut
+montrer qu'il s'agit là de toutes les valuations non-triviales
+sur $\mathbb{Q}$.  (Les $v_h$ sur $k(t)$ évoquées ci-dessus sont
+l'analogue exact de ces $v_p$ sur $\mathbb{Q}$ en utilisant la
+décomposition des polynômes en facteurs irréductibles au lieu de la
+décomposition des entiers en facteurs premiers.)  Il s'agit là aussi
+de valuations discrètes ; en revanche, elles ne sont pas au-dessus
+d'un corps.
+
+Pour donner au moins quelques exemples de valuations qui ne soient pas
+discrètes, sur l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en deux indéterminées
+on peut définir $v(x^i y^j) = (i,j)$ à valeurs dans le groupe
+$\mathbb{Z}^2$ muni de l'ordre lexicographique donnant le poids le
+plus fort à la première coordonnée (il s'agit bien d'un groupe
+totalement ordonné) : ceci s'étend de façon unique en une valuation
+sur ($k[x,y]$, puis) $k(x,y)$, qui n'est pas une valuation discrète.
+Si $\theta$ est un nombre réel strictement positif et irrationnel, on
+peut aussi définir $v(x^i y^j) = i + j\theta$ à valeurs dans
+$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\theta \subseteq \mathbb{R}$ muni de son
+ordre hérité des réels, ce qui, de nouveau, définit une valuation sur
+($k[x,y]$, puis) $k(x,y)$, qui n'est pas une valuation discrète.  Ce
+type d'exemple ne nous intéressera guère, car on va voir
+en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} ci-dessous que toutes les
+valuations non-triviales sur les courbes sont discrètes.
+
 \begin{prop}\label{valuation-rings-are-local-rings}
 Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local
   (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal
@@ -3822,6 +3890,21 @@ relation $1 = b'_1 x + \cdots + b'_{n-1} x^{n-1}$, toujours avec $b'_i
 bien montré que $x \in K$ implique soit $x\in R$ soit $x^{-1} \in R$.
 \end{proof}
 
+\thingy En particulier, si $I \subseteq J$ sont deux idéaux premiers
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, si bien que $Z(I) \supseteq Z(J)$ sont deux
+fermés de Zariski irréductibles
+(cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}), alors le corps des
+fonctions rationnelles $K = \Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$ de $Z(I)$
+(cf. \ref{function-field-of-an-irreducible-set}) a au moins une
+valuation $v$ qui soit positive sur $A := k[t_1,\ldots,t_d]/I$ et
+strictement positive sur son idéal premier $J/I$ (et exactement sur
+ces éléments de $A$).  Cette situation nous importera notamment dans
+le cas où $Z(I)$ est une courbe (par exemple $I = (P)$ avec $P \in
+k[x,y]$ irréductible comme on a vu
+en \ref{function-field-of-a-plane-curve}) et $Z(J)$ un point de la
+courbe (plus exactement, un point fermé,
+cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}(3)).
+
 \begin{prop}\label{valuation-rings-and-integral-closure}
 Soit $K$ un corps et soit $A \subseteq K$ un sous-anneau.  Alors
 l'intersection $B$ de tous les anneaux de valuations de $K$
@@ -3995,7 +4078,7 @@ $y_i$ se réduisent en $b_i$.  On a donc $c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n =
 0$, une contradiction.  Ceci démontre (C).
 \end{proof}
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{valuations-on-curves-are-discrete}
 Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$
 (cf. \ref{definition-function-field}).  Alors toutes les valuations
 (cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}) non-triviales de
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cgit v1.2.3

