From 2fb7c4256d25eac9e16c36933ab0d1f492312b2c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 3 Mar 2016 15:55:48 +0100
Subject: =?UTF-8?q?State=20and=20prove=20the=20weak=20and=20strong=20Nulls?=
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MIME-Version: 1.0
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index b475c64..a505959 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -2042,7 +2042,7 @@ k$ envoyant $f(t_1,\ldots,t_n)$ sur $f(x_1,\ldots,x_n)$ est surjectif
 vers un corps et a pour noyau $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$, ce
 dernier est un idéal maximal.
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{maximal-ideals-of-polynomial-rings}
 Soit $k$ un corps algébriquement clos.  Les idéaux maximaux de
 $k[t_1,\ldots,t_n]$ sont exactement les idéaux
 $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} := \{f \in k[t_1,\ldots,t_n] :
@@ -2109,9 +2109,77 @@ $K = k[z_1,\ldots,z_n]$ est fini sur $k$.
 \end{proof}
 
 
+\subsection{Le Nullstellensatz}
+
+\thingy Soit $k$ un corps.  On se pose la question de savoir si
+$h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ ont un zéro commun (un « zéro
+  commun » étant un $(x_1,\ldots,x_n)$ dans $k^n$ ou peut-être dans
+$(k^{\alg})^n$ tels que $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$).  Une chose est
+évidente : si $h_1,\ldots,h_m$ engendrent l'idéal unité, c'est-à-dire
+si on peut écrire $q_1 h_1 + \cdots + q_m h_m = 1$ pour certains
+$q_1,\ldots,q_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$, alors $h_1,\ldots,h_m$ n'ont
+pas de zéro commun (ni dans $k$ ni même dans $k^{\alg}$) : en effet,
+en évaluant $q_1 h_1 + \cdots + q_m h_m = 1$ sur un hypothétique zéro
+commun on obtiendrait l'absurdité $0 = 1$.
+
+Le résultat suivant affirme que, sur un corps algébriquement clos (ou
+si on cherche un zéro commun dans un corps algébriquement clos), c'est
+exactement le bon critère.
+
+(« Nullstellensatz », de l'allemand « der Satz » = la phrase, le
+théorème, « die Stelle » = l'endroit, la place, « die Nullstelle » =
+le zéro d'une fonction ou d'un polynôme ; donc : « théorème du lieu
+  d'annulation ».)
+
+\begin{prop}[« Nullstellensatz faible »]\label{weak-nullstellensatz}
+Soient $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ avec $k$
+\emph{algébriquement clos}.  Si $h_1,\ldots,h_m$ n'engendrent pas
+l'idéal unité, alors ils ont un zéro commun dans $k$ (il existe
+$x_1,\ldots,x_n \in k$ tels que $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$ pour
+tout $i$).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $\mathfrak{M}$ un idéal maximal contenant $(h_1,\ldots,h_m)$ (qui
+existe d'après \ref{existence-maximal-ideals} puisque
+$(h_1,\ldots,h_m)$ n'est pas l'idéal unité).
+D'après \ref{maximal-ideals-of-polynomial-rings}, il existe
+$x_1,\ldots,x_n \in k$ tels que $\mathfrak{M} =
+\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$, notamment $h_i \in
+\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$ pour chaque $i$, et ceci signifie
+exactement $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{thm}[« Nullstellensatz fort »]\label{strong-nullstellensatz}
+Soient $g,h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ avec $k$
+\emph{algébriquement clos}.  Si $g$ s'annule sur tous les zéros
+communs de $h_1,\ldots,h_m$ (autrement dit si $h_i(x_1,\ldots,x_n) =
+0$ pour chaque $i$ implique $g(x_1,\ldots,x_n) = 0$) alors il existe
+$\ell \in \mathbb{N}$ tel que $g^\ell$ appartienne à l'idéal
+$(h_1,\ldots,h_m)$ engendré par les $h_i$.
+\end{thm}
+\begin{proof}
+Le cas $g = 0$ est trivial, donc supposons le contraire.
+
+Introduisons une nouvelle indéterminée $u$, et considérons les
+polynômes $h_1,\ldots,h_m$ et $ug-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_n,u]$.
+L'hypothèse signifie exactement qu'ils n'ont pas de zéro commun
+dans $k^{n+1}$.  Le Nullstellensatz faible \ref{weak-nullstellensatz}
+implique donc qu'ils engendrent l'idéal unité de
+$k[t_1,\ldots,t_n,u]$, c'est-à-dire qu'il existe $q_1,\ldots,q_m,r \in
+k[t_1,\ldots,t_n,u]$ tels que $q_1 h_1 + \cdots + q_m h_m + r(ug-1) =
+1$.  Remplaçons $u$ par $\frac{1}{g} \in k(t_1,\ldots,t_n)$ dans cette
+égalité : on a $\tilde q_1 h_1 + \cdots + \tilde q_m h_m = 1$ où les
+$\tilde q_i \in k(t_1,\ldots,t_n)$ sont les $q_i$ ainsi substitués.
+Mais les $\tilde q_i$ admettent $g^\ell$ comme dénominateur commun
+(disons $\tilde q_i = p_i / g^\ell$ avec $p_i \in k[t_1,\ldots,t_n]$)
+où $\ell$ est la plus grande puissance de $u$ intervenant dans
+n'importe lequel des $p_i$.  En chassant ces dénominateurs, on trouve
+$p_1 h_1 + \cdots + p_m h_m = g^\ell$, ce qu'on voulait montrer.
+\end{proof}
+
+
 
 % TODO:
-% * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski.
 % * Différentielles.
 % * Valuations.  Clôture intégrale ?
 
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cgit v1.2.3

