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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 8 Feb 2016 11:21:45 +0100
Subject: Rupture field, degrees of extensions.

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 notes-accq205.tex | 56 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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@@ -92,7 +92,8 @@ aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.
 note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
 petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de
 tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même
-cette propriété).
+cette propriété).  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une
+extension \textbf{monogène}.
 
 \danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut
 désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$
@@ -111,8 +112,8 @@ une indéterminée $x$ sur $k$.
 existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est
 l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$
 sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in
-k[t]$).  Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Deux cas
-peuvent se produire :
+k[t]$).  Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Exactement
+l'un des deux cas suivants se produit :
 \begin{itemize}
 \item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est
   \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge
@@ -132,6 +133,55 @@ peuvent se produire :
   de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi
   on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$).
 \end{itemize}
+On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les
+algébriques de degré $1$ sur $k$.
+
+\thingy La dichotomie décrite ci-dessus admet une sorte de
+réciproque : d'une part, si $t$ est une indéterminée, alors dans
+$k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien
+transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non
+constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un
+polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une
+extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de
+l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps
+$k(x) = k[t]/(\mu)$ est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme
+irréductible $\mu$ sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut
+encore parler de corps de rupture quitte à diviser par le coefficient
+dominant ; en revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va
+de soi que le corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si
+$\mu$ est de degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x
+:= \bar t$ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).
+
+\thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
+\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
+sur $k$.
+
+Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule
+extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
+précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires
+irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.
+
+\thingy Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut
+considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie
+ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de
+l'extension.  Une extension de degré fini est aussi dite
+\textbf{finie}.
+
+Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$
+est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal
+au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$.  \textit{A contrio}, si $x$
+est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini.  En particulier, on a
+montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
+  et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}.
+
+On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$
+sont deux extensions imbriquées alors $[L:k] = [K:k]\, [L:K]$ (au sens
+où le membre de gauche est fini si et seulement si les deux facteurs
+du membre de droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est
+égal).  Cela résulte du fait plus précis que si $(x_\iota)_{\iota\in
+  I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une
+$K$-base de $L$, alors $(x_\iota y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in
+  I\times\Lambda}$ est une $k$-base de $L$ (vérification aisée).
 
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