From 37ed8e98b5ee7200288490fe8787753beca0d8fe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 8 Apr 2016 15:26:19 +0200
Subject: Record more precise statement proved in a lemma, for future use.

---
 notes-accq205.tex | 12 +++++++++---
 1 file changed, 9 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'notes-accq205.tex')

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index c30b845..4d57c4b 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -4602,6 +4602,11 @@ place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$
 avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel
 de $v_i$, et où $\tilde k$ est le corps des constantes (fermeture
 algébrique de $k$ dans $K$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}).
+
+Plus exactement, la dimension de $L$ est $[\tilde k:k]$ lorsque tous
+les $r_i$ sont nuls, et augmente d'au plus $\deg(v_i)$ lorsque $r_i$
+est augmenté de $1$.
+
 En particulier, cette dimension est \emph{finie}.
 \end{lem}
 \begin{proof}
@@ -4611,8 +4616,8 @@ précisément $\tilde k$
 (cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est
 vérifiée dans ce cas.
 
-Supposons la propriété vérifiée pour certains $r_j$ et montrons
-qu'elle l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$,
+Supposons l'inégalité vérifiée pour certains $r_j$ et montrons qu'elle
+l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$,
 par $r'_i := r_i+1$, avec $r'_j = r_j$ si $j\neq i$.  Soit $L'$
 l'espace correspondant (défini de la même façon que $L$ mais avec
 les $r'_j$).  Soit $z$ tel que $v_j(z) = r_j+1$.  Alors pour $f \in
@@ -4623,7 +4628,8 @@ application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant $f$ sur la classe
 de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, dont le noyau
 est $L$.  En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) +
 \dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui
-conclut la récurrence.
+conclut la récurrence ; et on a bien montré l'affirmation commençant
+par « plus exactement ».
 \end{proof}
 
 \begin{thm}[« identité du degré »]\label{degree-identity}
-- 
cgit v1.2.3

